המספרים המרוכבים הם אחד הפרקים היפים ביותר במתמטיקה, וברבות השנים הם הפכו לכלי חיוני ביותר במדעים רבים. המסלול לגילוים לא היה פשוט, כפי שמעיד גם שמם. בעבר כינו אותם "המספרים הבלתי אפשריים" וכיום הם נקראים גם "מספרים מדומים" או "מספרים דמיוניים". השם "מספרים מרוכבים" עלול לעורר רושם שלא פשוט להבין אותם, אבל זה לא יהיה מדויק. אנו שמחים לערוך לכם היכרות עמם בדרך פשוטה למדי.

בסרטון שלפנינו ובסרטון הבא מציג בפנינו אדריאן דואדי את המספרים המרוכבים. דואדי הוא מתמטיקאי צרפתי שחי בשנים 2006-1935 ותרם רבות לחקר המספרים המרוכבים. דואדי נהג לכנות עצמים מתמטיים בשמות ידידותיים כמו ארנב ומטוס, ואנו חבים לו גם את סרט האנימציה המתמטי "הדינמיקה של הארנב". התיאוריה שפיתח יוצרת תמונות יפהפיות של פרקטלים שמסייעות למתמטיקאים במחקריהם ומעניקות הנאה אסתטית לרבים.

תמונת ויקיפדיה
הארנב של דואדי | תמונה: ויקיפדיה

אפילו דואדי לא יכול להסביר את כל תורת המספרים המרוכבים בשני פרקים של 13 דקות. הפרקים האלה מספקים טעימה על קצה המזלג מעולמם של המספרים המרוכבים, כעידוד להעמקה, ואולי תזכורת לשיעורים שנלמדו מזמן וכבר נשכחו. מטרתו  העיקרית של הסרטון שלפניכם היא להציג את הצד הגיאומטרי של המספרים המרוכבים.

צפייה מהנה!
 

זהו הסרטון החמישי בסדרת "ממדים" מאת Jos Leys (גרפיקה והנפשות),
Étienne Ghys (סצנות ומתמטיקה) ו-Aurélien Alvarez (יישום ועריכה).

בסרטונים הקודמים ראינו שהישר הוא חד-ממדי. אפשר להסתכל על הישר כעל ציר מספרים שבו המספרים החיוביים יהיו הנקודות בצד ימין של נקודת הראשית והמספרים השליליים יימצאו משמאלה. הנקודות הן עצמים גיאומטריים והמספרים לעומתם הם עצמים אלגבריים. בדרך הזו אנו יכולים לחשוב על מספרים כעל נקודות ועל נקודות כעל מספרים, וכך לערבב בין האלגברה והגיאומטריה. זהו אחד הרעיונות הפוריים ביותר במתמטיקה. וכמו שקורה לא פעם קשה לייחס אותו לאדם אחד. עם זאת, נהוג לייחס לפילוסופ הצרפתי רנה דקרט את השיטה ללימוד של הגיאומטריה בעזרת האלגברה, והוא היה אבי הגיאומטריה האלגברית.

 

אם הנקודות על הישר הן מספרים, אזי נוכל להבין את המשמעות הגיאומטרית של הפעולות הבסיסיות בין מספרים: חיבור וכפל.

לדוגמה, מבחינה גיאומטרית ההוספה של 1 נראית כהזזה: כל נקודה מוזזת ימינה ביחידה אחת. באותה דרך אפשר לראות בכפל ב-2 כסוג של מתיחה שבה כל נקודה מוזזת לנקודה הנמצאת במרחק כפול מראשית הצירים. כפל ב-(1-) שולח כל נקודה x אל (-x), כלומר, כל נקודה עוברת לנקודה הסימטרית לה יחסית לראשית הצירים. למעשה, כל נקודה מבצעת כך חצי סיבוב סביב ראשית הצירים. כפל ב-(2-) יהיה הרכבה של שתי הפעולות הקודמות מתיחה פי שתיים וביצוע חצי סיבוב.

כפי שראינו, כפל ב-(1-) מתאים לביצוע חצי סיבוב. כשאנו מבצעים זאת פעמיים אנחנו חוזרים לנקודה המקורית, כדיוק כפי ש-1=(1-)*(1-).  כלומר, הריבוע של (1-) הוא 1.

הריבוע של (1-) הוא 1. הריבוע של (2-) הוא 4 מאותה סיבה, וכך הלאה והריבוע של כל מספר יהיה תמיד חיובי. כלומר אין על ציר המספרים מספר שהריבוע שלו הוא (1-).

השורש של (1-)

כפי שראינו בסרטון 4 בסדרת טרום-אלגברה, מתמטיקאים רבים התקשו במשך מאות שנים להשלים עם קיומם של המספרים השליליים. ברור לפיכך שגם דרכם של המספרים המרוכבים אל חיק המתמטיקה היתה כרוכה בקשיים מרובים. במשך תקופה ארוכה היה מקובל לחשוב שאי אפשר לחשב שורש של (1-) ומי שניסו לפקפק בכך נתקלו בחשדנות רבה.

בתקופת הרנסנס העזו כמה אנשים יצירתיים לשבור את הטאבו. הם חשבו שאם יעזו לכתוב 1-√, הם יוכלו לכתוב גם מספרים כמו 1-√3 +2 ולשחק עם המספרים האלה באותה דרך פורמלית בלי לנסות להבין את משמעותם. החלוצים האלה ביצעו באומץ רב חישובים עם המספרים הבלתי אפשריים האלה. ומכיוון שהחישובים שלהם לא הניבו סתירות, המתמטיקאים קיבלו בהדרגה את המספרים האלה, בלי שתהיה הצדקה ממשית לקיומם.

סיפורם של המספרים המרוכבים הוא ארוך ומורכב. בתחילת המאה ה-19 הבחינו כמה מתמטיקאים, כמו גאוס, ווסל וארגנד, באופיים הגיאומטרי של המספרים המדומים האלה. בסרטון ראיתם מצגת של רעיון פשוט להפליא של ארגנד.

ראינו שכפל ב-(1-) מתאים לחצי סיבוב סביב ראשית הצירים. כדי למצוא את השורש הריבועי של (1-) עלינו למצוא פעולה שאם נפעיל אותה פעמיים ברצף נקבל חצי סיבוב, ולכן הכריז ארגנד שהשורש הריבועי של (1-) מתאים לרבע סיבוב. אם נבצע פעמיים רבע סיבוב נקבל חצי סיבוב, כלומר כפל ב-(1-).

בעקבות הרעיון הזה נאמר שהשורש הריבועי של (1-) מתקבל אם מתחילים במספר 1 ועושים רבע סיבוב. ברור שאם יוצאים מ-1 ועושים רבע סיבוב, אנחנו כבר לא על הישר, ולכן קיבלנו שהשורש הריבועי של (1-) אינו נקודה על הישר אלא נקודה במישור!

הרעיון פשוט ויפה: אפשר לחשוב גם על הנקודות במישור כעל מספרים. ואז הם כמובן לא יהיו המספרים שאנחנו רגילים אליהם. מסיבה זו אנחנו אומרים שהמספרים "המסורתיים" הם המספרים הממשיים ואילו המספרים שהגדרנו כרגע, שמקושרים לנקודות במישור, הם המספרים המרוכבים.

אם היינו רגילים לחשוב על נקודות במישור כעל זוג של מספרים ממשיים (x,y), ארגנד עודד אותנו להסתכל עליהן כעל מספר מרוכב אחד: x+yi. כלומר המישור הממשי הדו-ממדי הוא עבורו ישר חד-ממדי מרוכב!

מתמטיקאים ניסו להרחיב את הרעיון לשלושה ממדים, אך איך אפשר להכפיל נקודות במרחב? כעבור זמן רב הם הבינו שהדבר אינו אפשרי במרחב התלת-ממדי. במרחב הארבעה-ממדי, לעומת זאת, הם גילו שהדבר אפשרי בצורה חלקית, כל עוד מוותרים על תכונת החילופיות של הכפל. בנוסף גילו שבשמונה ממדים זה מתאפשר בתנאי שמוותרים על תכונת הקיבוציות של הכפל. באמצע המאה ה-20 הוכח שרק בממדים 1, 2, 4 ו-8 אפשר להכפיל נקודות!

נמשיך לדון בנושא המספרים המרוכבים בסרטון הבא.

יפעת בן יעקב (על פי אתר "ממדים")
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

2 תגובות

  • א.עצבר

    מדוע באו לעולם המספרים אחרי הפסיק ?

    מדוע באו לעולם המספרים אחרי הפסיק ?
    השימוש במספרים ללא סוף המופיעים אחרי הפסיק נובע מהחלטה להשתמש אך ורק בחלקים העשרוניים של 1 , כמו עשירית , מאית , אלפית , וכו , ( ההחלטה הפסיקית)
    לשם פשטות נשתמש בביטוי אנטי 10 כדי לתאר עשירית, אנטי 7 כדי לתאר שביעית, אנטי 3 כדי לתאר שליש , אנטי 1000 כדי לתאר אלפית , וכן הלאה.
    מעתה יהיו מספרים טבעיים ואנטי מספרים טבעיים, והמשוואה....... N כפול אנטי N = 1
    מתי מופיעים המספרים אחרי הפסיק ?
    המספרים אחרי הפסיק מופיעים, כאשר מקיימים את "ההחלטה הפסיקית" , ומנסים לתאר את אנטי 3 עם החלקים העשרוניים של 1
    אנטי 3 = 3אנטי10 + 3אנטי100 + 3אנטי1000 + 3אנטי10000 +++ ללא סוף.
    בתיאור זה אין כל תועלת, מכיוון שאנטי3 הוא ביטוי כמותי מדויק ומושלם, והאגף השמאלי של המשוואה הוא ביטוי כמותי מסורבל, לא יעיל, ולא מושלם. מה יקרה אם נבטל את ההחלטה הפסיקית ? ......אז נקבל מתמטיקה מדויקת ומושלמת.
    במקום המשוואה שאינה מדויקת ואינה מושלמת ...... 7 חלקי 11 = ...0.6363636
    נקבל משוואה מושלמת ........................................7 חלקי 11 = 7אנטי11
    תמיד אפשר לרשום משוואה מושלמת כמו...............37 חלקי 17 = 37 אנטי17
    מה התועלת ברישום הלא מושלם ........................37 חלקי 17 = 2.1764706 על פי ההחלטה הפסיקית, אורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו 1 ,
    הוא גדול מ 1.414213 וקטן מ 1.414214
    ובלי ההחלטה הפסיקית ....הוא גדול מ 2402אנטי1700 וקטן מ 109אנטי77 מדוע באה ההחלטה הפסיקית לעולם ? מדוע לא לבטל את ההחלטה הפסיקית ?
    מדוע לא להשתמש בכל האנטי מספרים , ולא רק באנטי מספרים עשרוניים ?
    הרי המתמטיקה ממש מושלמת בלי ההחלטה הפסיקית.
    התשובה היא פשוטה, המתמטיקה באה לשרת את הפרקטיקה של מדידות, ובלי
    ההחלטה הפסיקית , שרות זה לא היה מתקיים. האם המתמטיקה באה לשרת את הפרקטיקה של מדידות ?
    מיקרומטר הוא מד אורך מדויק , המסוגל למדוד קטרים עד רמת דיוק של מחצית מאית מ"מ .
    מדידת קוטר של מטבע בעזרת מיקרומטר יכולה להניב תוצאה מעשית כמו
    קוטר המטבע = 17 מ"מ + 9 עשיריות מ"מ + מאית מ"מ
    מדידה זו נרשמת כ 17.91 מ"מ , והיא מתאימה להחלטה הפסיקית. מיקרומטר אינו מספק תוצאה כמו 197אנטי11 מ"מ , אלא תוצאה כמו 17.91 מ"מ
    לכן, באה ההחלטה הפסיקית, במטרה ברורה לשרת את הפרקטיקה של מדידות. מדידה וחישוב של גדלים רציפים .............( אורך, זמן , אנרגיה )
    מדידה מתבצעת על גודל רציף וכל מדידה אינה מושלמת,
    כל מדידה מפיקה שני מספרים קרובים זה לזה, שהתוצאה האמיתית של המדידה אמורה להיות בין
    המספרים האלה. ככל שהמדידה מדויקת יותר, שני המספרים האמורים קרובים יותר זה לזה.
    כל חישוב על גודל רציף מתנהג כמו מדידה.
    לכן,
    אין הבדל עקרוני בין חישוב ומדידה (על גדלים רציפים), ורק רמת הדיוק מבדילה בינהם. צירוף אקראי של שני אורכים רציפים.
    אורך קיסם ואורך עיפרון מציגים צירוף אקראי של שני אורכים רציפים, ורק מדידה מסוגלת לגלות שני
    מספרים קרובים זה לזה, האומרים פי כמה גדול אורך העיפרון מאורך הקיסם.
    אורך היקף מעגל נבחר ואורך קוטרו מציגים צירוף אקראי של שני אורכים רציפים,ורק מדידה מסוגלת
    לגלות שני מספרים קרובים זה לזה, האומרים פי כמה גדול אורך ההיקף מאורך הקוטר.
    צירוף אקראי של שני אורכים רציפים, שייך לפיזיקאי המבצע מדידות, ואינו שייך למתמטיקאי.
    לכן, המעגל לא שייך למתמטיקה אלא הוא שייך לפיזיקה.
    א.עצבר

  • א.עצבר

    מספרים מביעים כמויות ערטילאיות חסרות כיוון

    מתמטיקה בעברית זה כמתנות כמתנות היא שפה של כמויות ערטילאיות, והמלים שלה הם מספרים.
    מספר הוא שרבוט קו בעל צורה ייחודית ושם ייחודי, והוא מביע כמות ערטילאית ייחודית. את המספר הראשון יש צורך להמציא :
    לשרבוט הקו הזה 1 יש צורה ייחודית , שמו המוסכם יהיה אחד, והוא יביע כמות ערטילאית מוחלטת.
    כמות ערטילאית מוחלטת נתפסת מתוך עצמה, וכל מה שאפשר להגיד לגבי 1 מופיע במשפט הבא
    הכמות הערטילאית של 1 שווה לכמות הערטילאית של 1 . משפט זה נרשם בקיצור כך 1 = 1 1 הוא המספר הראשון, והוא יהיה מספר היצירה של המספרים הגדולים מ 1 ששמם מספרחדים ,
    1 גם יהיה מספר היצירה של המספרים הקטנים מ 1 ששמם יהיה אנטי מספרחדים. יצירת המספרחדים
    מספרחדים הם מספרים הנוצרים על ידי צבירת 1 ,והם 2 שתיים , 3 שלוש , 4 ארבע , 5 , 6 ,,,,,
    משוואת היצירה של 5 היא 1 בהגדל 5 = 5 המשמעות של משוואת היצירה היא כדלקמן:
    1 ימני ו 5 שמאלי הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 אמצעי מתאר כמה פעמים נצבר 1 על
    עצמו, כדי שתתקבל הכמות הערטילאית של 5
    משוואת היצירה של 1578 היא 1 בהגדל 1578 = 1578 יצירת אנטי מספרחדים
    אנטי 2 יסומן 2' , אנטי 3 יסומן 3' ,,,,,,,ואנטי 1578 יסומן 1578'
    במשוואת היצירה של אנטי מספרחדים מופיעה המלה בהקטן במקום המלה בהגדל
    משוואת היצירה של 5' היא 1 בהקטן 5 = 5' המשמעות של משוואת יצירה זו היא כדלקמן.
    1 ו 5' הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 5 חלקים שווים, ( חלק יחיד מחלוקה זו הוא 5' – ששמו אנטי חמש).
    משוואת היצירה של אנטי 1578 היא - 1 בהקטן 1578 = 1578'
    1 ו 1578' הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 1578 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 1578 חלקים שווים ( חלק יחיד מחלוקה זו הוא 1578' ) ממשואות היצירה נובע כי אנטי א בהגדל א = 1 ( א' בהגדל א = 1 ) משוואות היצירה יוצרות שתי שורות אינסופיות של מספרים.
    שורת המספרחדים שכמותם הערטילאית גדולה מזו של 1 ............2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,,,,,,,,,,,,,,
    שורת אנטי מספרחדים שכמותם הערטילאית קטנה מזו של 1 .... 2' , 3' , 4' , 5' , 6' ,,,,,,,,,,,,,,, הופעת המספרים המשולבים ( מספרחד ואנטי מספרחד)
    בין כל שני מספרים עוקבים (בכל שורה) , יש כמויות ערטילאיות שאפשר לייצגן במספרים משולבים.
    את המספרים המשולבים נכנה בשם...... מספרפמים.
    מספרפם לדוגמה הוא 128 פעמים אנטי 56 , שירשם בקיצור 128פם56' והוא = 2+ 16פם56'
    המספרפם 128פם56' נמצא בין המספרחדים 2 ו 3
    המספרפם 56פם128' נמצא בין אנטי מספרחדים 2' 3' עם הופעת המספרפמים הושלמה שפת הכמויות הערטילאיות , או שפת הכמתנות.
    שפת הכמתנות היא שפה פשוטה מאוד, ובהחלט ניתן להשיב על השאלה
    מה יש בשפת הכמתנות ? תשובה
    יש אחד - ( שכמותו הערטילאית מוחלטת ומובנת מתוך עצמה)
    יש משוואת יצירה לשורה אינסופית של מספרחדים............. 1 בהגדל א = א
    ממשוואת היצירה נובע , כי הכמות הערטילאית של כל מספרחד, מובנת אך ורק על פי התייחסות
    לכמות הערטילאית של 1 . לעומת זאת, הכמות הערטילאית של 1 , מובנת מעצמה 1 = 1 ויש משוואת יצירה לשורה אינסופית של אנטי מספרחדים .... 1 בהקטן א = א'
    ממשוואת היצירה נובע , כי הכמות הערטילאית של כל אנטי מספרחד, מובנת אך ורק על פי
    התייחסות לכמות הערטילאית של 1 .לעומת זאת, הכמות הערטילאית של 1 , מובנת מעצמה 1 = 1 אם נתרגם יחסי לרציונלי , ומוחלט לאי רציונלי ( כלומר לא יחסי) נקבל את המשפט הבא:
    1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם רציונליים. ומהם שאר המספרים ?
    או מספרחדים, או אנטי מספרחדים, או מספרמים.
    אין עוד מספרים פרט לאלה.
    כל טענה על קיום עוד מספרים, חייבת בהצגת משוואת יצירה חדשה עם 1
    אבל כל מה שאפשר לעשות עם הכמות הערטילאית של 1 , זה צבירה עצמית או חלוקה אחידה.
    לכן, אין עוד מספרים פרט למספרחדים ולאנטי מספרחדים שמהם נובעים המספרפמים. שורש 2 אינו מספר , אלא כמות ערטילאית חסרת ייצוג מספרי. ( לכן הייצוג שלה מילולי) שפת הכמתנות הושלמה עם הצגת המספרחדים, האנטי מספרחדים , והמספרפמים.
    מה עושים עם שפת הכמתנות ?
    סופרים כמויות בדידות ( כמו שקלים , מכוניות, עצים, צלחות,,,,)
    וסופרים כמויות רציפות כמו גובה 176 ס"מ , או זמן כמו 44 דקות. לעומת השימוש המעשי של שפת הכמתנות, הכמתנים המקצועיים פשוט חוקרים את שפת הכמתנות
    מתוך עניין לשמו. חקירה זו מגלה מהר את המספרים המקיימים את כלל "אי היכולת"
    המספרחדים 3 5 7 11 13 17 19 וכו' הם תוצר של משוואת יצירה בלבד, והם מקיימים
    את כלל אי היכולת : מספרחד נבחר בצבירה עצמית, לא יכול ליצור מספרחד גדול ממנו.
    גם אנטי מספרחדים 3' , 5' , 7' , 11' , 13' , 17' , 19' וכו מקיימים את כלל אי היכולת :
    אנטי מספרחד נבחר בצבירה עצמית, לא יכול ליצור אנטי מספרחד גדול ממנו. החקירה מתוך עניין לשמו מגלה את כללי ההגדל העצמי
    מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרחד ( 7 בהגדל 7 = 49 )
    אנטי מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד אנטי מספרחד ( 7' בהגדל 7' = 49' )
    מספרפם בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרפם ( 12פם18' בהגדל עצמי = 144פם324')
    כל מספר בהגדל עצמי – שומר על אופיו
    מספרחד נשאר מספרחד, אנטי מספרחד נשאר אנטי מספרחד, ומספרפם נשאר מספרפם.
    החקירה מתוך עניין לשמו מגלה בעיית הרצף, הנובעת מכללי ההגדל העצמי
    היות שבין הכמות הערטילאית של 2 ( היוצרת בהגדל עצמי את 4 )
    לכמות הערטילאית של 3 ( היוצרת בהגדל עצמי את 9 )
    יש רק כמויות ערטילאיות של מספרפמים, היוצרות בהגדל עצמי רק מספרפמים,
    נובע מכאן , כי לכמויות הערטילאיות שאמורות ליצור בהגדל עצמי את 5 , 6 , 7 , 8 אין ייצוג מספרי.
    בעיית הרצף קובעת כי שפת הכמתנות היא מושלמת כאשר מדובר בכמויות בדידות, והיא אינה
    מושלמת כאשר מדובר בכמויות רציפות.( יש כמויות רציפות שאין להם ייצוג מספרי) כמויות רציפות מופיעות בתחום הגיאומטרי אורך , שטח, נפח , ובתחום הפיזיקלי זמן, אנרגיה,
    הדוגמה המפורסמת לכמויות רציפות שאין להם ייצוג מספרי, מופיעה בתחום הגיאומטרי.
    אי אפשר לייצג בכמויות ערטילאיות של מספרים, את האורכים הרציפים של צלע הריבוע ואלכסונו.
    אם נבחר כמות ערטילאית לייצוג אורך הצלע, לא תהיה לנו כמות ערטילאית לייצוג אורך האלכסון.
    אם נבחר מספר לייצוג אורך הצלע, לא יהיה לנו מספר לייצוג אורך האלכסון.
    ואם נבחר מספר לייצוג אורך האלכסון, לא יהיה לנו מספר לייצוג אורך הצלע. החקירה של שפת הכמתנות מתוך עניין לשמו ידועה ומפורסמת, וכל המחפש אותה ימצאנה.
    לפעמים, יש לחקירה כזו שימוש מעשי . מבחן נכון לא נכון ( מבחן נלנ)
    התוצאות של חקירה כמתנית מתוך עניין לשמו, חייבות לעמוד במבחן נלנ .
    הטענה כי שורות המספרים המקיימים את כלל אי היכולת היא אינסופית,חייבת לעמוד במבחן נלנ.
    כללי ההגדל העצמי חייבים לעמוד במבחן נלנ.
    הטענה האומרת ..אין משוואות מסוג אאא + בבב = גגג חייבת לעמוד במבחן נלנ.
    אי אפשר לענות על השאלה...מהו מבחן נלנ ? מכיוון שהתשובה חייבת לעמוד במבחן נלנ. א.עצבר