אפס עצרת ופונקציית גמא

2 עצרת הוא 1*2 או 2 ו-6 עצרת הוא 1*2*3*4*5*6 או 720. עבור כל n טבעי, n עצרת הוא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ-1 ועד n. אבל כמה זה אפס עצרת? והאם יש משמעות ל-1.5 עצרת? צפו בהסבריו של ד"ר ג'יימס גריים בסרטון שלפניכם מבית Numberphile.

צפייה מהנה!

להצגת כתוביות בעברית בחרו אחרי הפעלת הסרטון ב"הגדרות" וכתוביות בעברית.
 

הסרטון הופק בידי בריידי הרן מ-Numberphile; מרואיין: ד"ר ג'יימס גריים.

 

הערה חשובה: בסרטון חלה טעות בהצגה של פונקציית הגמא. הנוסחה הנכונה היא:

$$\Gamma(n)=\int_0^\infty \mathrm{t}^{n-1}\;\;\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$$

בסרטון ראינו שאפשר וטבעי להגדיר את 0 עצרת כ-1, כך שהחוקיות המתמטית של פונקציית העצרת נשמרת. בנוסף הכרנו על קצה המזלג את פונקציית גמא, שהיא מעין הרחבה של פונקציית העצרת גם למספרים הממשיים ואף למספרים המרוכבים.

נעמיק קצת את ההיכרות שלנו עם פונקציית גמא. נתחיל בפונקציה הידועה והמוכרת – פונקציית העצרת.

עבור כל n טבעי ההגדרה של n! היא:
$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dotsm \times 3 \times 2 \times 1$$

הגרף של פונקציית העצרת n! נראה כך:

הגרף מורכב מנקודות בדידות, אבל אנחנו יכולים לחבר ביניהן בעקומה שתגדיר ערך גם עבור המספרים שנמצאים במרווחים בין הנקודות. למעשה, קיים מגוון רב של עקומות אפשריות שעוברות דרך הנקודות האלו.

במהלך המאה ה-18 חבורה של שלושה מתמטיקאים ניהלה דיונים וחילופי מכתבים בניסיון למצוא נוסחה לפונקציה שתתאים לעקומה כזאת. בשנת 1725 מונה כריסטיאן גולדבך לפרופסור למתמטיקה באוניברסיטת סנט פטרבורג. הוא פגש שם את המתמטיקאי השוויצרי הנודע ורב הפעלים לאונרד אוילר ועורר בו עניין בתורת המספרים. כעבור שלוש שנים עזב גולדבך את האוניברסיטה והתמנה למורה פרטי של פיוטר השני, בנו של הצאר.

סיעור המוחות המתמטי בין השניים המשיך במכתבים שנשמרו. המכתבים האלה מאפשרים לנו ללמוד רבות על ההיסטוריה וההתפתחות של המחקר המתמטי של גולדבך ואוילר. גורם נוסף בחבורה היה המתמטיקאי ההולנדי דניאל ברנולי, שכיהן גם הוא כפרופסור למתמטיקה בסנט פטרבורג בשנים 1733-1724 ולאחר מכן עבר לבזל. ברנולי ואוילר אף חלקו דירה בסנט פטרבורג ושיתפו פעולה במחקרים מתמטיים רבים.

באוקטובר 1729 שלחו ברנולי ואוילר מכתבים לגולדבך שבהם הציגו שני ייצוגים שונים לאותה פונקציה. אוילר המשיך במחקר ומצא ייצוגים נוספים של הפונקציה בעזרת אינטגרל ותכונות מעניינות נוספות של הפונקציה. הפונקציה הזאת נקראת פונקציית גמא על שם האות היוונית  גמא $(\Gamma)$.

פונקציית גמא – הצגה אינטגרלית
עבור כל מספר מרוכב x בעל חלק ממשי גדול מאפס נגדיר:

$$\Gamma(x)=\int_0^\infty \mathrm{t}^{x-1}\;\;\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$$

פונקציית גמא זכתה למחקר נרחב ובמשך השנים חוקרים רבים מצאו לה ייצוגים נוספים.

עבור מספר טבעי n פונקציית גמא מקיימת:

$\Gamma(n) = (n-1)!$
או
$n! = \Gamma(n+1) $

כלומר, פונקציית גמא מרחיבה את פונקציית העצרת בהזזה של 1 (עצרת של מספר טבעי שווה ל-$\Gamma$ של המספר הגדול ממנו ב-1).

נשים לב שלכל מספר ממשי x בעל חלק ממשי חיובי, מתקיים ש-$\Gamma(x)$ גם כן ממשי. הגרף של$g(x) = \Gamma(x+1)$ נראה כך עבור x ממשי,$x \gt -1$:

הגרף של$g(x) = \Gamma(x+1)$. צוייר בעזרת תוכנת GeoGebra

הנקודות A עד F מסמנות את הערכים של ! 0עד !5 בהתאמה. אנחנו יכולים לראות בתרשים שהנקודות האלו נמצאות על הגרף של$\Gamma(x+1)$.

נחשב לדוגמה את $\Gamma(4.8)$.

הערך של $\Gamma(4.8)$ מחושב באמצעות הנוסחה הבאה:

$$\Gamma(4.8)=\int_0^\infty \mathrm{t}^{3.8}\;\;\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$$

ננסה להעריך לפי הגרף את הערך של $\Gamma(4.8)=\Gamma(3.8+1)=g(3.8)$. אפשר לראות שערך הפונקציה בנקודה 3.8 הוא בין 15 ל-20. נחשב קירוב לערכה של $\Gamma(4.8)$ בעזרת המחשבון שלWolfram  ונקבל ש-$\Gamma(4.8) \approx 17.8379$.

עד כה הגדרנו את פונקציית העצרת רק למספרים מרוכבים שהחלק הממשי שלהם חיובי. נרצה להרחיב את ההגדרה למספרים מרוכבים שהחלק הממשי שלהם הוא מספר שלילי או אפס.

בדומה לפונקציית העצרת שמקיימת את השוויון $n! = n (n-1)$, פונקציית גמא מקיימת את השוויון הבא:

$$\Gamma(x+1) = x \,\Gamma(x)$$

או בחילופי אגפים:

$$\Gamma(x) = {\Gamma(x+1) \over x}$$

נגדיר באמצעות השוויון הזה את פונקציית גמא עבור כל המספרים המרוכבים שחלקם הממשי שלילי או אפס, מלבד השלמים האי-חיוביים (0, 1-, 2-,....). בשלמים אי-חיוביים לא נוכל להשתמש בשוויון הזה, כי אי אפשר לחלק באפס. בנקודות האלה, שבהן הפונקציה אינה מוגדרת, היא שואפת לאינסוף בערכה המוחלט. נקודות כאלה נקראות קטבים של הפונקציה. הגדרה כזאת של פונקציה באמצעות הפונקציה עצמה, עבור ערכים שכבר ידועים (הגדרת f(x) באמצעות f(x+1) שכבר ידוע), נקראת הגדרה רקורסיבית.

כדי להבהיר זאת ניתן דוגמה: מהו $\Gamma(-1/2)$? ראשית נחשב את $\Gamma(1/2)$ באמצעות האינטגרל שלמעלה ונקבל$\Gamma(1/2) \approx  1.7724$. ולכן, 

$$\Gamma(-1/2) = {\Gamma(1/2) \over (-1/2)}\approx -3.5449$$

כעת אפשר לחשב גם את $\Gamma(-1.5)$ באמצעות $\Gamma(-1/2)$ שכבר חישבנו, וכן הלאה.

נשים לב שלכל מספר ממשי x שאינו אפס או מספר שלם שלילי, מתקיים ש- $\Gamma(x)$גם כן ממשי. הגרף של הפונקציה $\Gamma(x)$ עבור המספרים הממשיים כולל המספרים השליליים נראה כך:

פונקציית גמא. צויר בעזרת תוכנת GeoGebra

נציין שאפשר להגדיר את פונקציית הגמא לא רק בעזרת הנוסחה האינטגרלית וההגדרה הרקורסיבית אלא גם באמצעות מה שמתמטיקאים מכנים "המשכה אנליטית במישור המרוכב". ההגדרה הזו תיתן בסופו של דבר את אותה פונקציה בדיוק, אך על כך אולי נסביר בהזדמנות אחרת.

מפונקציה תיאורטית ליישומים מעשיים
לפונקציית גמא יש שימושים רבים ומגוונים בתחומים נוספים במתמטיקה (מעבר לתורת המספרים), במדעים המדויקים, במדעי החיים, בהנדסה ואף במדעי החברה. בסטטיסטיקה, למשל, אפשר למצוא את הפונקציה בנוסחאות של כמה וכמה התפלגויות. אחת מהן נקראת התפלגות גמא. נציג כאן כמה דוגמאות לתחומים שבהם אנחנו משתמשים בהתפלגות גמא:

תהליכים שמבוססים על זמן המתנה בין מאורעות

• זרימת מוצרים בפסי ייצור ובקווי חלוקה
• עומס על שרתי אינטרנט
• קלקולים במערכות אלקטרוניות

שירותים פיננסיים

• גודלן של תביעות ביטוח
• גודלן של הלוואות חדלות פירעון

אקלים

• כמות הגשם שנאגרת במאגרי מים.

בכל אחד מהתחומים האלה, ובתחומים רבים נוספים (כגון פיסיקה, ביולוגיה, תורת האינפורמציה ועוד), התפלגות גמא מאפשרת לנו לבנות מודל מתמטי שמתנהג בצורה דומה למציאות. המודל המתמטי מאפשר לנו לנתח את התנהגות המערכת ולהעריך מדדים שונים כמו המספר הממוצע של הלקוחות שממתינים בתור, זמן ההמתנה הממוצע של לקוח או סיכון במתן הלוואות. הנתונים האלה מאפשרים לנו להיערך בצורה טובה יותר: לשפר את השירות ללקוחות, לקצר את התורים ואת זמני ההמתנה, לחסוך בעלויות ולהקטין סיכונים.

בכתבה ראינו איך אפשר להרחיב את מושג העצרת (המוזזת) לפונקציה על כמעט כל המישור המרוכב. בנוסף ראינו איך פונקציית גמא, שנולדה כהרחבה תיאורטית למושג העצרת, זכתה ליישומים רבים ומגוונים בעולם המתמטיקה והמדע.

נהניתם? צפו בסרטונים נוספים מבית Numberphile באתר דוידסון אונליין.

יפעת אדלר וארי שביב
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.