בבלוגריתמוס 69 הצבתי בפניכם אתגר. מיד נחזור וננסח אותו, אך לפני כן נציג את הרקע לפתרונו.
באותו בלוג העמקנו מעט בתיאור התכונות של קבוצת הראשוניים, מעבר להגדרה המוכרת, וראינו שזאת הקבוצה המצומצמת היחידה שיוצרת, בעזרת פעולת הכפל, את כל המספרים הטבעיים.
נעבור כעת לחידת ביניים לא קשה: מיצאו קבוצה שתיצור בעזרת פעולת כפל את כל המספרים הרציונליים, או בלשון פשוטה ומוכרת – את כל השברים.
פתרון חידת הביניים הוא מיידי, כי הן המונה והן המכנה הם מספרים טבעיים. כך שלמונה נדרשים כיוצרים כל המספרים הראשוניים: 2, 3, 5... וכו', ולמכנה נשתמש בכל השברים מהצורה 1 חלקי מספר ראשוני: 1/2, 1/3, 1/5... וכו'.
וכך נקבל כי: 671/189=11*61*(1/3)3*1/7 , שהיא קבוצת יוצרים בלתי תלויה ומצומצמת אחת ויחידה.
ועתה נעבור לחידה מבלוג 69: יש למצוא קבוצת יוצרים לשברים, אך לא לגבי כפל, אלא לגבי חיבור וחיסור. ברור שגם היוצרים יהיו שברים, אך איך נגדיר אותם?
אפשר לראות מיד שנוכל להגיע ל-m/n אם נגיע ל-1/n , ונחבר m כאלה. כך צמצמנו את הבעיה ליצירת כל ה-1/n, כאשר n מספר טבעי.
נדגים את השיטה לפתרון הכללי על ידי הרכבת השבר 1/72. מפירוק 72 למכפלת חזקות של מספרים ראשוניים ניצור את שני השברים:1/23 ו-1/32. כעת נכתוב את ערכם לפי המכנה המשותף, ונקבל: 9/72 ו-8/72. ומכאן הפתרון מיידי: 1/72=1/23-1/32.
והנה דוגמה יותר מורכבת: הרכבת השבר 1/225.
1/225=1/(9*25), כאן יהיו היוצרים: 1/32=25/225, 1/52=9/225.
לפי משפט חשוב שהוזכר בבלוג 69, "אם שני מספרים שלמים r ו-s הם זרים הדדית, כלומר אין להם מחלק משותף, אז קיימים a ו-b שלמים, כך ש- ar+bs=1".
ואכן, 9 ו-25, כחזקות של מספרים ראשוניים שונים, הם זרים, ו:
14*9-5*25=1 ולכן: 1/225=14/52-5/32.
נסו לענות עתה על שתי השאלות הבאות:
א) מה היא קבוצת היוצרים למקרה הכללי ביותר, כאשר n יכול להיות מכפלה של יותר משתי חזקות של מספרים ראשוניים?
ב) האם קיימת "קבוצת היוצרים הקטנה ביותר"?
התשובה לשאלה השנייה מפתיעה מעט...
בהצלחה!
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
