בבלוג 63 עסקנו במכפלה ישרה כדרך מתמטית פשוטה לאחד מערכות מופרדות למערכת אחת. הדגמנו זאת באמצעות מכפלת שאריות 2 בשאריות 3 וקיבלנו מערכת חדשה שהיא איזומורפית (ראו הסבר המושג בבלוג 62) לשאריות 6.
שאלנו גם האם כל מכפלה ישרה של שאריות יוצרת מבנה איזומורפי לשאריות של תוצאת הכפולה? לדוגמה: האם שאריות של 2 ו-5 ייצרו מבנה איזומורפי לשאריות של 10? האם שאריות של 2 ו-2 ייצרו מבנה איזומורפי לשאריות של 4?
התשובה, שאולי תפתיע אתכם, היא שבמקרה הראשון כן, אבל לא במקרה השני!
כדי לרמוז על הכלל ניתן עוד שתי דוגמאות: שאריות של 5,6 ייצרו מבנה איזומורפי; שאריות 4,6 - לא ייצרו.
כדי להדגים מתי התופעה אינה מתרחשת נבחן את הדוגמה של 2,2: "מבנה העל" שלנו כולל ארבעה איברים: (0,0), (0,1), (1,0) ו-(1,1). אולם הפעם כפולות האיבר (1,1), שהוא איבר היחידה של המבנה, אינן יוצרות שאריות 4.
למבנה החדש יש תכונה מעניינת: כל חיבור של איבר עם עצמו, או במילים אחרות כפולתו ב-2, תוצאתה היא איבר ה-0, שהוא (0,0)!
והנה הכלל: אם שני מספרי השאריות זרים זה לזה (כלומר: אין להם מחלק משותף) – נקבל את שאריות מכפלתם. אם הם אינם זרים זה לזה, מבנה העל אינו שאריות מכפלתם. בכל מקרה, מספר האיברים במכפלה ישרה הוא מכפלת מספרי האיברים המרכיבים אותה! (לדוגמה: מכפלת שאריות 4,6 כוללת 24 איברים).
ההוכחות לכך אינן קשות, אך אינן מתאימות לבלוג. נסו להוכיח בעצמכם.
עתה נכליל את אפשרויות המכפלה הישרה: מרכיביה יכולים להיות כל מבנה, לאו דווקא שאריות, ומספר המרכיבים אינו מוגבל לשניים אלא יכול להיות כל מספר, אפילו אינסופי! לדוגמה: אנו יכולים ליצור מבנה של שלושה מספרים ממשיים (a,b,c) באמצעות הפעולות הבאות: הראשון עם פעולת החיבור, השני עם פעולת החיסור והשלישי עם פעולת הכפל. הסימן "*" יסמן את פעולת המכפלה הישרה בין השלשות. כך נקבל בדוגמה זו .(2,3,4)*(5,6,7) = (7,-3,28)
אנו יכולים ליצור מכפלה ישרה בין אינסוף שאריות 2, וכל איבר יהיה סדרה של אינסוף ספרות בינאריות (0 או 1), וכל כפולה של איבר ב-2 תיתן את איבר ה-0, שהוא סדרה אינסופית של אפסים. זה אולי נראה כמו משחק חסר תכלית, אך למעשה מדובר באחד הכלים ליצירת מבנים חשובים ביותר.
נדגים זאת על ידי מבנה המוכר לכם: ניצור את הזוגות הבאים: המספר הראשון יהיה מספר ממשי חיובי עם פעולת הכפל והשני יכיל שני איברים בלבד: 1 ו-(1-) עם פעולת הכפל. למשל: .(3,1)*(5,-1)=(15,-1)
נוכל להיווכח שלמעשה קיבלנו מבנה איזומורפי של מכפלת כל הממשיים, חיוביים ושליליים. למשל הדוגמה שלהלן איזומורפית למכפלת המספר הממשי 3 במספר הממשי 5-).
המכפלה הישרה אינה הדרך היחידה ליצור מערכת חדשה מתוך מערכות ידועות. יש דרכים רבות לעשות את זה, אך רובן סבוכות, והמכפלה הישרה מדגימה בפשטות את העיקרון היצירתי.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
