הפעם נעסוק בקשרי המשפחה בין החיבור לכפל.
בבלוגים הקודמים כבר חשפנו קשרים מסוימים בין השניים, אך הפעם נעמיק לחקור!
ראשית, נעמוד על תכונות זהות במבנה של שתי ה"שפות". כבר בבלוג 60 זיהינו את תכונת הקשירוּת. סכום או מכפלה של מספרים ממשיים הוא ממשי, כלומר פעולה בתחום נותנת תוצאה בתחום, והתחום הוא כלל המספרים הממשיים.
מתקיים בהם גם חוק הקיבוץ. לדוגמה, (a+b)+c=a+(b+c). לא משנה איך נקבץ את המספרים ואיפה נשים את הסוגריים, התוצאה תהיה תמיד זהה. לכן, אם אנו עוסקים אך ורק באחת משתי הפעולות, אנו יכולים לוותר על הסוגריים.
לכאורה נדמה שזו תכונה טבעית לכל פעולת חשבון, אך למעשה זו טעות גדולה. לדוגמה, ראו איך מתנהג החיסור: 1=3-(8-4), אבל 7=(4-3)-8.
אם תמשיכו לבדוק תיווכחו שגם החילוק וההעלאה בחזקה אינם מקיימים את חוק הקיבוץ.
תכונה נוספת המשותפת לכפל ולחיבור היא קיומו של איבר היחידה. בחיבור האיבר הזה הוא 0 ובכפל הוא 1: X+0=0+X=X ;X*1=1*X=X . כלומר, אם נפעיל את איבר היחידה על מספר כלשהו, משמאלו או מימינו, נקבל תמיד את אותו מספר עצמו! גם זו תכונה שאינה מצויה בשאר פעולות החשבון, אך הפעם התוצאה מעניינת: בפעולות אחרות קיים איבר יחידה ימני אך לא שמאלי: X-0=X ,X:1=X ,X1=X, אבל 0-X ,1:X ,1X-ו כולם שונים מ-.X
תכונה נוספת היא קיום איבר הופכי שכאשר אנו מצרפים אותו למספר X נקבל את איבר היחידה.
בחיבור האיבר הזה הוא (-x) בכפל הוא ,1/x ובשני המקרים אפשר לצרפם הן משמאל והן מימין. מעניין שלגבי החיסור והחילוק האיבר ההופכי הוא X, ולכן ניתן לצרפו משמאל ומימין כך ש: X-X=0 ,X:X=1. בהעלאה בחזקה, לעומת זאת, האיבר הוא 0 ואפשר לצרף אותו רק מימין: X0=1 ו-1 הוא איבר היחידה הימני, אולם , 0X =0ולכן 0 אינו איבר הופכי שמאלי.
ארבע התכונות: קשירות, קיבוציות. איבר יחידה דו-צדדי, ואיבר הופכי דו-צדדי – מגדירים ביחד את אחד היצורים המתמטיים החשובים – חבורה. תורת החבורות היא תורה מרכזית במתמטיקה.
לחיבור ולכפל יש גם תכונה נוספת: חילופיות. כלומר, X+Y=Y+X, X*Y=Y*X .
לא כל חבורה היא חילופית, אך התכונה הזו בצירוף עם הקיבוציות מאפשרת לנו חופש פעולה רב: מוכר לכם בוודאי הסיפור על גאוס הילד שקיבל כעונש לחבר את כל המספרים מ-1 ועד 100 וסיים את המשימה בתוך שניות אחדות אחרי שזיווג אותם ל-50 זוגות שסכומם 101: 100+1,99+2 וכו'. הוא היה יכול לעשות את זה כי חיבור המספרים יוצר חבורה חילופית. אילו היה צריך להעלות אותם בחזקה היה גאוס המסכן יושב בכיתתו עד היום בעונש והעולם היה מאבד גאון!
לכאורה מיצינו כאן את הדיון – מה עוד אפשר לומר על הקשרים בין חיבור לכפל? אך בבלוג 62 מצפה לכם הפתעה, שנכנה "הפתעת פורים".
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
