אחת החוויות המופלאות במדע, אותו רגע קסום של "א-הה!", מתרחש כשעובדות רבות, שנראה תחילה כאילו כל אחת מהן קיימת לעצמה ואינה קשורה לאחרות, מתלכדות לחוק יחיד שמסביר את כל העובדות המסובכות בעזרת נוסחה מתמטית, לעתים פשוטה להפליא. אולי המדהימה מביניהן היא הנוסחה E=MC2, שבה תיאר אלברט איינשטיין את הקשר בין אנרגיה למסה.
והנה עוד דוגמה: משחר ימי האנושות התבונן האדם בפליאה בתנועת כוכבי השמיים וניסה להבין איך הם חגים מעלינו וכיצד השמש חגה במעגל סביבנו – כיוון שבמשך מאות ואף אלפי שנים חשבו שכדור הארץ הוא מרכז היקום. ואז בא קופרניקוס, הפך את היוצרות וסילק אותנו מהמרכז. בא גליליאו אחריו וגילה את ירחי צדק, ואז, לפי האגדה, ראה אייזק ניוטון תפוח נופל, ובמקום לחשוב על חווה והנחש בגן עדן, הוא גילה דווקא את נוסחת כוח המשיכה בין כל שני גופים ביקום, העומד ביחס ישר למכפלת המסות וביחס הפוך לריבוע המרחק ביניהם – נוסחה פשוטה שחישבה את תנועת הגופים בדיוק מושלם... כמעט. והנה הכמעט הזה חיכה מאות שנים לאיינשטיין, שהעניק לנו בעזרת תורת היחסות הבנה חדשה של מהות הכבידה, ונוסחאות שהתגברו גם על אותו "כמעט".
זה ההבדל היסודי בין הפיסיקה למתמטיקה: כשמתגלות עובדות חדשות, הפיסיקה חייבת לבדוק מחדש את נוסחאותיה, ואילו במתמטיקה ההוכחה והנוסחה הן לנצח – בתנאי שלא נפלו בה טעויות. ואכן לעתים עלולות ליפול טעויות או אי דיוקים בהוכחות, במיוחד כשמדובר בהוכחות סבוכות שמשתרעות על עשרות או מאות דפים.
המקרה המפורסם בדורנו קשור להוכחת מה שהיה אולי המשפט המפורסם ביותר בתולדות המתמטיקה – המשפט האחרון של פרמה, שטוען כי אין פתרון במספרים שלמים לנוסחה xn+yn=zn עבור n>2.
במשך יותר מ-300 שנה הילך המשפט קסם על טובי המתמטיקאים, כי כל אותו זמן הוא לא היה עדיין משפט מתמטי אלא רק השערה, תוצאה של הערת אגב שכתב פרמה בשולי ספר. אף שנמצאו הוכחות פרטיות למספרים מסוימים, ואף לקבוצות של אינסוף מספרים, במשך שנים רבות לא נמצאה הוכחה עבור כל n. ואז, בסתר בסתר, במשך שנים, עמל המתמטיקאי אנדרו וילס על ההוכחה, עד שהגיש בשנת 1993 הוכחה באורך של מאתיים (!) עמודים בכנס מתמטי. אבל גם בהוכחה הזאת התגלה פגם, ונדרשו שנתיים נוספות עד שווילס הציג הוכחה נוספת, הפעם תקינה! והעיקר הוא שמרגע שהוכחה – ההוכחה עומדת לעד, ושום עובדות לא ישנו אותה יותר. לכל היותר ייתכן שתימצא הוכחה אחרת, ומוטב שתהיה פשוטה יותר, קצרה יותר ואלגנטית יותר.
בעולם המתמטיקה הוודאות אובדת רק כשמדובר בהשערות. המשפטים עצמם בטוחים! אך ההשערות הן כוח מדרבן ומאתגר למתמטיקאים.
הרי לפניכם אתגר למתעניינים – האתגר קשה, לכן נפתור אותו בבלוג הבא:
ידועים שלושת המשפטים הגיאומטריים הנפרדים: במשולש, שלושת התיכונים, האנכים וחוצי הזווית נפגשים בנקודה משותפת. למעשה, יש לנו אינסוף שלשות של קטעים כאלה, שיוצאים מהקודקוד אל הצלע שממול ומתלכדים בנקודה אחת. שלשה כזאת קיימת עבור כל נקודה במישור (לא נכלול את הנקודות על הצלעות). אם כך, האם, כמעשה ניוטון, קיימת נוסחה אחת שמגדירה מתי שלושה קטעים כלשהם כאלה ייפגשו בנקודה משותפת?
התשובה היא שיש!
ונרמוז גם שהפתרון קשור לחלוקת הצלעות על ידי הקטעים! נסו לגלות את התשובה, ובבלוגים הבאים נגלה לכם לא אחת אלא שתי נוסחאות – השנייה מביניהן קשורה בחלוקת הזוויות.
בהצלחה!
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
