בבלוג 49 הצבנו לכם שני אתגרים. הפעם נטפל במשימה הראשונה: עלינו לנסות לתאר את המשטח x*y=z בחלק החיובי של המרחב, כלומר: כאשר x ו-y חיוביים.
הנה תזכורת לשרטוט המרחב התלת-ממדי שהובא בבלוג הקודם (קופסה מ-5- ועד 5+ של שלושת הצירים):
לצערנו, לא נמצא ציור ברור שמראה את קטע המשטח החיובי, אך לוח הכפל הוא כלי עזר מצוין להבנת המשטח.
התבוננו בו וחישבו על הקו העליון האופקי כציר x, ועל האנכי השמאלי כציר y.
בשלב הראשון, חישבו על כל משבצת כעל עמודה שמתרוממת לגובה של הערך שלה בסנטימטרים (ציר z). למשל, המשבצת שבה כתוב 35 תתרומם לגובה של 35 סנטימטרים. נקבל סדרה של "מגדלים" צפופים בגבהים שונים וכדי לעבור ממגדל לשכנו נצטרך לקפץ בצורה מסוכנת... אך אם נעבור ממספרים בדידים לרציפים נקבל במקום עיר (מגדלים) משטח רציף בשלושה ממדים, הלא הוא x*y=z, שעליו נוכל לנוע בביטחון בלי לחשוש שאיברינו יתרסקו בקפיצה הבאה.
למשטח הזה יש תכונות מפליאות. אם תלכו בו למשל בכיוון הקו האנכיx=3 , תיווכחו שאתם עולים בקו ישר, כשבכל צעד בגודל משבצת של סנטימטר אתם מתרוממים בשלושה סנטימטרים, והנוסחה תהיה z=3. ובהכללה, אם ננוע אנכית בכיוון הישר x=a, נקבל את הישר z=ay. ובאופן דומה, אם ננוע אופקית בכיוון y=b נקבל z=bx.
נראה שהמשטח כולו מורכב מקווים ישרים? רחוק מכך! נסו לנוע בכיוון האלכסון הראשי מנקודת ה-0 ועד 10*10=100. לשם פשטות נניח שכל אלכסון של משבצת הינו יחידה אחת. אחרי היחידה הראשונה נגיע לגובה של סנטימטר אחד, אחרים שתיים: 4 סנטימטרים, אחרי שלוש: 9 סנטימטר. כלומר, אם נעביר מישור מאונך לאלכסון הראשי ונסמן את חיתוכו עם המישור xy כציר x', נקבל את העקומה z=(x')2, וזוהי פרבולה! ובאופן דומה, אם נעלה בכיוון הישר העובר דרך 1x1, 2x3, 3x5, 4x7, כלומר בכיוון אלכסוני בלוח הכפל כשהמרחק בין שתי נקודות כאלה מוגדר לשם הפשטות כיחידה אחת על ציר x, נקבל את הנוסחה z=0.5(x2+x), שגם היא פרבולה.
ולסיום המפתיע: אם נחתוך את המשטח על ידי מישור מקביל למישור xy-z=a, נקבל את העקומה xy=a וזוהי היפרבולה!
הרחבת ההסבר למעוניינים
כל משטח תלת-ממדי, אם ייחתך על ידי מישור, החיתוך יופיע במישור כעקומה. במקרה שלנו המשטח הוא xy=z. אם נחתוך אותו על ידי מישור מקביל ל-xy, למשל בגובה של 12, נוסחת המישור תהיה z=12 , ולכן החיתוך שלו במשטח תהיה העקומה xy=12. הנקודות שעליו, כאשר ערך z הוא תמיד 12, הן לדוגמה: (1,12) (2,6) (4, 3) (3 ,4) (2 ,6) (1 ,12). כל אלה הן נקודות על ההיפרבולה xy=12 , z=12
העקומה היחידה שחסרה לנו היא האליפסה. מה לעשות? בגיאומטריה, כמו בחיים, אי אפשר לקבל את הכל...
במשימה השניה מבלוג 49 נטפל בבלוג 51.
להתראות,
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
