פותר בלוגריתמוס 41 הוא צבי מילר מאריאל.
כל הכבוד!
נציג את הפתרון:
לגבי המעגל הראשון: כאשר כל שקרמת קורא ליושב לפניו "שקרן", מתחייב מכך שהיושבים הם שקרן ודובר אמת לסרוגין, ומכאן שמספר השקרמתים במעגל חייב להיות זוגי.
הסבר: אילו היה מספרם אי-זוגי, אזי השקרמת הראשון והאחרון היו מאותו שבט, ובני אותו שבט תמיד יאמרו על בני שבטם שהם דוברי אמת – כי דובר אמת יאמר את האמת על דובר אמת, ושקרן ישקר על שקרן. לכן לא ייתכן שהאחרון יאמר על הראשון: "שקרן".
השני גם אמר שהוא מכפלה של 3 במספר ראשוני גדול ממנו – שחייב להיות אי-זוגי – לכן גם ההמכפלה תהיה אי-זוגית, וכבר גילינו שזה לא נכון, ומכאן השני הוא שקרן.
מזה גם אפשר לדעת שהשקרמת הסמוך לו דובר אמת ודבריו אמת – אכן יש מספר ראשוני של יושבים במעגל. המספר היחיד שהוא ראשוני וזוגי הוא 2, ולכן מתברר שבמעגל יושבים רק זוג המדברים: הראשון דובר אמת והשני שקרן.
פתרון המעגל השני מורכב יותר, אך אם נתקדם צעד-צעד ניווכח שהצעדים פשוטים למדי, אם כי הם דורשים מחשבה מדוקדקת.
שקרמת מהמעגל הראשון טען שבכל חמישיה רצופה במעגל השני יש שקרן אחד בדיוק ושמספר השקרמתים במעגל מסתיים ב-1. איננו יודעים אם דובר האמת או דובר השקר טען זאת, אך ננסה לבדוק זאת.
לדוגמה, אם נבחר במעגל השני שקרן כלשהו בתור מספר 1, אזי לפי הטענה המספרים 5-2 הם דוברי אמת, ולכן מס' 6 חייב להיות שקרן – אחרת החמישיה 6-2 לא תכיל שקרן. באותו אופן, גם 11, 16, 21 וכו', בקפיצות של 5, הם שקרנים. יש לנו אם כן קבוצות של חמישיות רצופות 5-1, 10-6, 15-11, וכו', כשהראשון בכל קבוצה הוא שקרן.
גם הקבוצה האחרונה, שמשלימה את המעגל, חייבת להיות בת 5 שקרמתים, כשהראשון שביניהם שקרן, כי הוא חייב להיות במרחק 5 שקרמתים מהראשון בחמישיה הראשונה. מכאן – מספר השקרמתים במעגל מתחלק ב-5 ולכן אינו יכול להסתיים בספרה 1. לכן השקרמת מהמעגל הראשון שאמר זאת הוא השקרן, ואילו זה שאמר שיש שקרן יחיד בכל שישייה רצופה דיבר אמת.
לפי השיקולים שלעיל - מספר השקרמתים מתחלק ב-6, ולכן שני הראשונים שטענו שמספרם הוא 68 ו-86 הם שקרנים, והשלישי, שקרא להם שקרנים, הוא לכן דובר אמת.
מאחר שהשלישי כגם אמר שמספרם מתחלק ב-11, וכבר הוכחנו שהוא מתחלק גם ב6, המספר היחיד הקטן מ-100 שמקיים את התנאים האלה הוא 66.
כיוון שמספר 17 הוא שקרן, אזי השקרנים הם – בקפיצות של 6: 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59 ו-65. היחידים שאינם ראשוניים הם 35 ו-65 ולכן דובר האמת הוא מספר 34.
ואני מציב למתעניינים שאלה כללית: במעגל, בכל m רצופים ישנםn שקרנים. מה אפשר לומר על מספר השקרמתים במעגל? על כך נשיב בבלוג הבא.
את תשובותיכם נא שילחו ל-paziam1@gmail.com. שמות הפותרים יפורסמו בבלוגריתמוס הבא.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
