והרי התשובות לשאלות בבלוג 33.
א) סכום המספרים מ-1 ועד n הוא n*(n+1)/2. אם נציב n=9 נקבל 45.
ב) ומכאן, הסכום של כל שורה, ולכן גם כל טור ואלכסון, הוא שליש – כלומר 15.
ג) האיבר המרכזי נמצא בשלשה עם כל אחת משמונת המספרים הנותרים. נזכור שהסכום של כל שלשה הוא 15, ושכל המספרים מ-1 ועד 9 מופיעים בריבוע. כתוצאה מכך אנו יודעים שהמספר 9 יופיע באחת השלשות ולכן לא יתכן שהמספר המרכזי יהיה גדול מ-5, שכן אז סכום השלשה יהיה גדול מ-15. באופן דומה יש שלשה שמכילה את 1 ולכן לא יתכן שהמספר המרכזי יהיה קטן מ-5, כי אז סכום השלשה יהיה קטן מ-15. לפיכך, המספר במשבצת המרכזית חייב להיות 5.
ד+ה) מאחר ש-5 הוא ממוצע המספרים בריבוע וגם בכל שורה, 45/9=15/3=5 , ברור שבכל שלשה יהיה מספר אחד שגדול מ-5. אם 9 יהיה פינתי ובפינה הנגדית ישלים אותו ה-1, הרי באחת הפינות של האלכסון השני יימצא בהכרח מספר שהוא לפחות 6 באותה שורה או באותו טור עם 9, והסכום יהיה גדול מ-15. לכן נציב את 1 במשבצת אמצעית בהיקף, למשל באמצע השורה הראשונה, ואת 9 באמצע השורה השלישית.
ברור שלא נוכל להציב 7 בשורה של 1, כי נצטרך להשלים אותו ב-7 נוסף – ולא בשלישית, כי שם מוצב 9. לכן 7 ומשלימו 3 יהיו בשורה 2.
קיבלנו את ההצבה הבאה:
ההשלמה היחידה האפשרית ל-1 היא 8 ו-6; ההשלמה היחידה האפשרית ל-7 היא 6 ו-2; וכך הלאה, עד שמתקבל הריבוע המלא:
ו) השיקולים שלעיל הוכיחו שכל שמונה השלשות בריבוע חייבות להיות כפי שהוצגו, אך יכולנו, למשל, להציב את 9 בכל אחת מארבע המשבצות האמצעיות ואת 4 בכל אחד משני הצדדים שנותרו. כלומר יש לנו שמונה אפשרויות, שהן כל הסימטריות לפתרון היסודי.
ולהלן התשובות לשאלות הנוספות.
1) אם נוסיף לכל מספר a שלם קבוע, נוסיף לכל שלשה 3a וריבוע הקסם יהיה בעל שלשות שסכומן יכול להיות כל מספר שמתחלק ב-3,לדוגמה, 0:
2) אם במקום כל מספר a בציור 2 נכתוב 2a נקבל שהמכפלה של כל שלשה היא 215.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
