כבר נכתב בעבר במדור על משפטים שנדרשו שנים רבות להוכיח אותם, כמו משפט פרמה. למשפט פרמה ולמשפטים רבים אחרים נמצאה בסופו של דבר הוכחה, אך עדיין נותרו משפטים שלא הוכחו ושנחשבים השערות בלבד. אחד מהם הוא השערת גולדבך.

השערת גולדבך טוענת שכל מספר זוגי שגדול מ-2 אפשר להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים. לדוגמה: $8=3+5$$14=11+3=7+7$$22=11+11=5+17=3+19$. הטענה הזו נשמעת פשוטה ואלגנטית, אך אף אחד לא הצליח להוכיח אותה כבר כמעט 300 שנים.

תחילתו של הסיפור על השערת גולדבך בהתכתבות בין המתמטיקאי הגרמני כריסטיאן גולדבך למתמטיקאי המפורסם לאונרד אוילר בשנת 1742. בהתכתבות ביניהם העלה גולדבך כמה השערות בנוגע לכתיבת מספרים כסכום של מספרים ראשוניים. אוילר טען שכל ההשערות הללו נובעות מההשערה של גולדבך שכל מספר שלם זוגי הוא סכום של שני מספרים ראשוניים. מכיוון שבאותו זמן המספר 1 נחשב ראשוני, הטענה היתה נכונה גם עבור המספר 2, ששווה לסכום 1+1. היום אנחנו מדקדקים ומנסחים את ההשערה כך: כל מספר שלם זוגי גדול מ-2 הוא סכום של שני מספרים ראשוניים. 


מכתב מגולדבך לאוילר מ-7 ביוני 1742 | תמונה: ויקיפדיה

אוילר כתב לגולדבך שהוא מאמין שההשערה נכונה אך אינו יודע איך להוכיח אותה. מתמטיקאים נוספים ניסו למצוא הוכחה ולא הצליחו, אבל כמו במקרים אחרים הניסיונות שלהם תרמו בדרכים אחרות לעולם המתמטיקה. אחת התוצאות היא הגרסה החלשה של השערת גולדבך, שלפיה כל מספר שלם אי-זוגי הגדול מ-5 הוא סכום של שלושה מספרים ראשוניים. תוצאה אחרת, שההוכחה שלה אינה מדויקת, היא נוסחה למספר הדרכים השונות שבהן אפשר לכתוב מספר שלם זוגי כסכום של שני מספרים ראשוניים. לפי הנוסחה הזו, ככל שהמספר גדול יותר עולה גם מספר הדרכים שבהן אפשר לכתוב אותו כסכום של שני מספרים ראשוניים.


התפלגות מספר הייצוגים האפשריים לכתיבת מספר זוגי (מ-4 עד 60) | תרשים: Oleg Alexandro, ויקיפדיה

הדרך להוכחה

מתמטיקאים שונים הצליחו להוכיח שהשערת גולדבך נכונה עד למספר $N$ מסוים. לדוגמה, נילס פיפינג הוכיח ב-1938 שההוכחה נכונה לכל מספר $N\leq10^5$. כמו בבעיית ארבעת הצבעים, גם כאן המחשב סייע להוכחת ההשערה. עד כה הצליח המתמטיקאי אוליביירה אה סילבה להוכיח באמצעות מחשב את ההשערה לכל $N\leq4 \times 10^{18}$.

נחזור קצת למתמטיקה שמאחורי ההשערה: השערת גולדבך שייכת לתורת המספרים, תחום במתמטיקה שעוסק בתכונותיהם של המספרים הטבעיים 1, 2, 3, ... ההשערה מתייחסת לפירוק מספרים לסכום של מספרים ראשוניים, שנחשבים אבני הבניין של עולם המספרים.

בתורת המספרים אפשר למצוא משפטים רבים שנוגעים למספרים ראשוניים. אחד מהם הוא "המשפט היסודי של האריתמטיקה", שמדבר על פירוק של מספרים למכפלת מספרים ראשוניים. לפי המשפט הזה, כל מספר טבעי $N$ גדול מ-1 אפשר להציג כמכפלה של מספרים ראשוניים, בהצגה יחידה (עד כדי סדר). לדוגמה, $24=2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$ או $2034=2 \times 3 \times 3 \times 113 = 2 \times 3^2 \times 113$.

תורת המספרים היא אחד הענפים הוותיקים בעולם המתמטיקה ושורשיה נטועים עוד ביוון העתיקה בטענות על שלשות פיתגוראיות. אפשר למצוא בענף הזה בעיות רבות שהניסוח שלהן פשוט אך ההוכחה שלהן קשה והשערת גולדבך היא אחת מהן. הוכחה להשערה תתקשו כנראה למצוא, אבל בינתיים אתם יכולים לחשוב, לשחק עם מספרים שונים ולמצוא להם פירוק לסכום של מספרים ראשוניים. מה למשל עם המספר 320? וכמה דרכים תמצאו לפירוק המספר 102?

יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

6 תגובות

  • א.עצבר

    הערה למשפט פרמה

    משפט פרמה הוא טענה מסוג "אין"
    פרמה טוען...אין משוואות מסוימות מסוג........... אאא + בבב = גגג
    א, ב, ג , הם מספרים טבעיים. טענה מסוג "אין" אינה ניתנת להוכחה.
    טענה מסוג "יש" חייבת בהוכחה. טענה מסוג "אין" כלל לא חייבת בהוכחה, והיא תקפה מיד עם הופעתה.
    טענת פרמה תקפה מיד עם הופעתה, והיא תופרך אם תוצג משוואה מתאימה. אאא + בבב = גגג
    עד היום לא הוצגה משוואה מתאימה, ולכן התוקף של טענת פרמה נמשך. כל הניסיונות להוכיח את טענת פרמה, הן בזבוז זמן לריק,,,,וחבל על כך. אי אפשר להוכיח את הטענה " אין גמדים באופק"
    טענה זו תקפה מיד עם הופעתה, והיא תופרך אם פתאום יתגלה גמד באופק. א.עצבר

  • ששון

    התוקף של משפט פרמה נמשך מפני

    התוקף של משפט פרמה נמשך מפני שאנדרו ווילס הוכיח את המשפט ע׳׳י הוכחת משפט טניאמה שימורה

  • א.עצבר

    השערה חדשה בתורת המספרים

    השערות בתורת המספרים. מספרים אמיתיים ומשוואות אמיתיות. מספר אמיתי זוגי מתחלק ללא הגבלה ב 2 ,
    ומגיע עד 1
    מספר אמיתי אי זוגי, מתחלק ללא הגבלה
    במספר אי זוגי אחר, ( או בעצמו )
    ומגיע עד 1 משוואות אמיתיות,
    מכילות רק מספרים אמיתיים. שורה ראשונה של
    מספרים אמיתיים,
    תתחיל כך. 2 , 3 , 4, 5 , 7 , 8 , 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31, 32, 37, 41, שורה שנייה של מספרים אמיתיים, תתחיל כך.
    4, 9, 16, 25, 49, 64, 121, 169, 256, 289 , 361, 529 , 961, 1024 , שורה שלישית של מספרים אמיתיים, תתחיל כך.
    8, 27, 64, 125 , 343 , 512 , 1331 , 2197 , 4096 , 4913 , 6059 , השערות, לגבי משוואות אמיתיות, שמופיעים בהם רק מספרים אמיתיים. בשורה ראשונה יש משוואות אמיתיות ללא הגבלה
    3+5 = 8 , 11-7= 4 , 5-3=2 , 41=37= 4 , 5+11=16 , 13+19=32 , בשורה שנייה יש רק משוואה אחת
    25-9=16 , בשורה שלישית אין משוואות אמיתיות. אי אפשר להוכיח את ההשערה של שורה שלישית, כיוון שזו השערה מסוג "אין"
    אפשר רק לנסות להפריך את ההשערה, על ידי הצגת משוואה אמיתית, משורה זו. אפשר גם להפריך את השערת השורה השנייה, על ידי הצגת משוואה אמיתית נוספת. בהצלחה למפריכים. א.עצבר

  • א.עצבר

    משפט חדש בגיאומטריה קלסית...משפט הטבעת הריבועית

    משפט חדש בגיאומטריה קלסית – משפט הטבעת הריבועית כמו שטבעת מעגלית מופיעה כמעגל גדול ובתוכו מעגל קטן ממנו ,
    כך טבעת ריבועית מופיעה כריבוע גדול, ובתוכו ריבוע קטן ממנו.
    אורך צלע הריבוע הגדול יסומן עם האות ג,
    ואורך צלע הריבוע הקטן יסומן עם האות א (משפט הטבעת הריבועית הוא , משוואה של שטחים)
    כמות השטח בריבוע שאורך צלעו ג
    מינוס כמות השטח בריבוע שאורך צלעו א
    = כמות שטח הטבעת. (משפט הטבעת הריבועית מובן מאליו ואין צורך להוכיחו) טבעת ריבועית מושלמת.
    טבעת ריבועית מושלמת היא זו, שמכמות השטח של הטבעת ניתן ליצור ריבוע.
    את אורך צלעו של הריבוע התיאורטי הזה, נסמן באות ב (עתה יש לנסח את משפט הטבעת הריבועית המושלמת )
    כמות השטח בריבוע שאורך צלעו ג
    מינוס כמות השטח בריבוע תיאורטי שאורך צלעו ב
    = כמות שטח ריבוע ,שאורך צלעו א משפט טבעת ריבועית מושלמת במספרים נראה כך.....גג מינוס בב = אא והשאלה הנשאלת היא....איך משיגים את המספרים האלה ? שיטת עצבר להשגת המספרים של טבעת ריבועית מושלמת , מתחילה בבחירת מספר.
    המספר הנבחר הזה,,,,,,,,,, יקבע את ערכם של שני המספרים האחרים.
    ואלה הם חמשת השלבים של השיטה. 1...יש לבחור מספר הגדול מ 1 , עבור אורך צלע של ריבוע א
    2...יש להעלות את המספר הנבחר בחזקת 2 , ולקבל מספר שטח אא , של הריבוע.
    3...יש להפחית 1 ממספר השטח אא , ולקבל מספר מנחה.
    4.. (מחצית מספר מנחה) יתאים לאורך צלע של ריבוע ב
    5.. (מחצית מספר מנחה) + 1 , יתאים לאורך צלע של ריבוע ג. טבלת דוגמאות: בחירה של ----------------- מספר------חישוב של ----- חישוב של ------משפט טבעת
    צלע א -------- אא -------- מנחה --------צלע ב -------- צלע ג ---- ריבועית מושלמת
    1.1 ******* 1.21 **** 0.21 ***** 0.105 **** 1.105 *** גג מינוס בב = אא
    11 ******** 121 ***** 120 ****** 60 *******61 **** גג מינוס בב = אא
    3*********** 9 ****** 8 ******* 4 ******** 5 **** גג מינוס בב = אא
    4.5 *******20.25 ***19.25 *****9.625 *****10.625 ** גג מינוס בב = אא
    17 ******** 289 **** 288 ***** 144 ******* 145 *** גג מינוס בב = אא בשיטה זו ניתן ליצור טבעות ריבועיות מושלמות ללא סוף, ולכל טבעת מושלמת יהיו 3 מספרים ייחודיים.
    בשיטה זו גם אפשר להעניק מספרים לאורך הצלעות של משולש ישר זווית, ומספרים אלו יקיימו את משפט פיתגורס. גם משפט פיתגורס הוא משוואה של שטחים.
    משפט הטבעת הריבועית המושלמת, ומשפט פיתגורס הם משפטים דומים.
    לכן, שיטת עצבר מתאימה גם לטבעות ריבועיות מושלמות, וגם למשולשים ישרי זווית. טבלת דוגמאות למשולשים ישרי זווית.
    בטבלה זו מופיעים ניצב א , ניצב ב , ויתר ג.
    נבחר מספר לניצב א , ונחשב את מספר ניצב ב, ואת מספר היתר ג. בחירה של ----------- מספר------חישוב של ---- חישוב של ----------משפט
    ניצב א ---- אא ------ מנחה ------ניצב ב -------- יתר ג -----------פיתגורס 2.4 *****5.76 *** 4.76 **** 2.38 ****** 3.38 **** גג מינוס בב = אא
    24 ***** 576 ****575 ****287.5 ***** 288.5 **** גג מינוס בב = אא המספר הנבחר קובע את צורת המשולש.
    בבחירת 2.4 הניצבים כמעט שווים באורכם.
    ככל שהמספר הנבחר יגדל, ההפרש באורכי הניצבים ילך ויגדל. א.עצבר

  • רמי

    מספר הפירוקים לסכום של 2 מספרים ראשוניים של 320 ו 102

    המספר 320 ניתן לפרוק ב 11 צורות שונות
    המספר 102 ניתן לפרוק ב 8 צורות שונות

    לדוגמא הזוגות של 102:
    59 43
    61 41
    71 31
    73 29
    79 23
    83 19
    89 13
    97 5

  • יעל נוריק

    נהדר!

    תודה :)