בלימודי המתמטיקה בחטיבת הביניים, שנותנים את הבסיס להמשך הלימודים בתיכון, אחד הנושאים המרכזיים הוא הפונקציה הריבועית. בדומה לפונקציות אחרות, גם את הפונקציה הריבועית אפשר לתאר בכמה דרכים: בייצוג אלגברי או בייצוג גרפי, שבמקרה של הפונקציה הריבועית נקרא "פרבולה". בכתבה הזאת נציג את הקשרים בין הייצוגים האלה ולא נשכח להתייחס לתופעות הפיסיקליות שאפשר לתאר בקירוב באמצעותם.
מה הקשר בין כדורסל לפונקציה הריבועית?
נתחיל בתרגיל: אתם צופים בטלוויזיה במשחק של מכבי תל אביב ביורוליג. אחד השחקנים זורק זריקה חופשית של כדור לכיוון הסל ובאמצע הזריקה התמונה נתקעת. תארו לעצמכם שבעת הזריקה הכדור הותיר 'עקבות', כך שאתם יודעים את המסלול שהכדור עבר, והצילום כולל יחד את השחקן, הכדור והסל, כמו בתמונה שלמטה. האם יש לנו דרך לדעת אם הכדור נכנס לסל?
זריקה חופשית של כדור לסל | תמונה: Coentor, ויקיפדיה
אפשר כמובן לנסות לנחש את התשובה, למשל על ידי ציור של המשך המסלול המשוער. אבל כדי לקבל תשובה ודאית יותר כדאי לנו להשתמש בכלים מתמטיים. מתברר שהמסלול שהכדור עובר בדרך לסל הוא בקירוב פרבולי, ולכן אפשר להתאים לו ייצוג אלגברי. כלומר, קיימים $a$, $b$ ו-$c$ ממשיים כך שאפשר לבנות פונקציה ריבועית מהצורה $f(x)=ax^2+bx+c$ שמסלול הכדור עובר בה. אם נמצא את הפונקציה, נדע לשרטט אותה ונוכל לגלות אם הכדור יגיע בסופו של דבר לסל.
המטרה, אם כך, היא למצוא שלושה משתנים, $a$, $b$ ו-$c$ . אם נדע לסמן לפחות שלוש נקודות שבהן הכדור עבר, הפונקציה שנמצא תהיה הפונקציה היחידה שמתאימה למסלול. היחידות נובעת מכך שאם ידועות שלוש נקודות, אפשר לבנות מערכת של שלוש משוואות עם שלושה נעלמים שיש לה פתרון יחיד. מתמטיקאים ופיסיקאים נוהגים לקרוא לזה מערכת עם שלוש דרגות חופש.
נחזור למציאת המשתנים. אנו יודעים בודאות ש-$a<0$, שכן צורת המסלול של הכדור מתאימה לפרבולה הפוכה. אבל מה הערך המדויק של $a$ ומהם ערכי שאר המשתנים? מכיוון שיש לנו תמונה, ולא נקודות מוגדרות במערכת צירים כמו בספרי לימוד, נעזר בתוכנת הגיאוגברה. ראשית, נכניס את התמונה לתוכנה ונגדיר עליה מערכת צירים. עכשיו נגדיר פונקציה ריבועית $f(x)=ax^2+bx+c$ ונגדיר "סליידרים" לפרמטרים $a$, $b$ ו-$c$, שהזזה שלהם ימינה או שמאלה תשנה את ערכי הפרמטרים. עכשיו אפשר "לשחק" עם הסליידרים כדי לשנות את צורת הפרבולה עד שתתאים למסלול הכדור. אם תעשו זאת בעצמכם תופתעו לגלות שזו משימה לא פשוטה כלל.
(לחיצה על היישומון תפתח אותו בגרסת HTML, לחצו כאן לגרסת ג'אווה)
נוצר באמצעות גיאוגברה
הגיאוגברה הייתה אמורה לעזור לנו, אבל בינתיים לא קידמה אותנו. אז מה אפשר לעשות? ניזכר שיש כמה דרכים לייצג בצורה אלגברית פונקציה ריבועית ונראה אם הישועה תבוא לנו מכאן. עד כה השתמשנו בייצוג הסטנדרטי של הפונקציה הריבועית - $f(x)=ax^2+bx+c$ - אבל יש ייצוג נוסף: $f(x)=a(x-p)^2+k$. הייצוג הזה מבטא את הטרנספורמציות שנעשות על הפונקציה הריבועית הבסיסית $f(x)=x^2$. אם נחזור עכשיו לגיאוגברה ונגדיר כך את הפונקציה הריבועית, נצליח למצוא פונקציה מתאימה בקלות רבה.
(לחיצה על היישומון תפתח אותו בגרסת HTML, לחצו כאן לגרסת ג'אווה)
נוצר באמצעות גיאוגברה
טרנספורמציות על הפונקציה $f(x)=x^2$
ננסה עכשיו להבין למה כשהשתמשנו בייצוג $f(x)=a(x-p)^2+k$ המשימה הייתה קלה. לשם כך ננסה להבין את המשמעות של המשתנים $a$, $p$ ו-$k$. הפונקציה הריבועית הבסיסית $f(x)=x^2$ היא פונקציה ריבועית ישרה שהקודקוד שלה נמצא בראשית הצירים וציר הסימטריה שלה הוא ציר ה-$y$. על הפונקציה הבסיסית הזו אפשר לעשות טרנספורמציות שמשנות את צורתה.
טרנספורמציה ראשונה היא מתיחה או כיווץ של קשתות הפונקציה או שיקוף של הפונקציה ביחס לציר ה-$y$. עושים אותה על ידי שינוי ערך המקדם של $x^2$ (כלומר שינוי ערך ה-$a$). טרנספורמציה אחרת היא הזזה אנכית של הפונקציה, למעלה או למטה, על ידי הוספת ערך $k $ ממשי לכל נקודה, כלומר הגדרת הפונקציה בצורה הבאה: $f(x)=ax^2+k$. הטרנספורמציה השלישית היא הזזה אופקית, ימינה או שמאלה של הפונקציה על ידי הגדרתה כ- $f(x)=a(x-p)^2$. הרכבה של ההזזות האלו תיתן לנו את הייצוג $f(x)=a(x-p)^2+k$.
מתיחה, כיווץ ושיקוף של הפונקציה $f(x)=x^2$
הזזה אופקית (מימין) והזזה אנכית (משמאל) של הפונקציה $f(x) =x^2$
אם נסתכל על הפונקציה הריבועית כעל הרכבה של טרנספורמציות שנעשות על הפונקציה הבסיסית, יהיה לנו קל יותר להתאים אותה לתמונה בגיאוגברה. את המשתנה $a$ נזיז כך שיתאים לרוחב של קשתות המסלול של הכדור;את המשתנה $p$נזיז כך שיתאים לערך ה-$x$ של קודקוד הפונקציה ואת המשתנה $k$ נתאים לערך ה-$y$ של הקודקוד.
עוד על הפונקציה הריבועית
צורת הפרבולה מתאימה היטב לתאר בקירוב גופים רבים שנזרקים כלפי מעלה ונופלים בהשפעת כוח הכבידה וללא התנגדות האוויר, לדוגמה חץ הנורה מקשת. כוחות שונים משפיעים על צורת המסלול ויקבעו את הגובה המקסימלי שאליו יגיע הגוף ואת רוחבו של המסלול, אך הצורה תהיה פרבולה.
אחד המדענים הראשונים שחקר את המסלולים שעוברים גופים היה גליליאו גליליי. הוא טען שכשזורקים גוף כלפי מעלה, המהירות פוחתת בקצב קבוע ובדיוק באותו קצב שבו המהירות גדלה כשהגוף נופל, ושיער שאפשר לתאר תנועה של גופים על ידי פרבולה. לא הרבה לאחר מכן הוכיח סר אייזק ניוטון שהפרבולה היא הצורה המתאימה ביותר לתיאור מקומו של גוף נע שמהירותו משתנה כתלות בזמן. הטענות האלה דורשות הסתייגות – התנגדות האוויר משנה את המסלול, ולכן במהירויות גבוהות שבהן כוח הגרר שמפעיל האוויר גדול יותר, הצורה מתעוותת. כך למשל קורה בירי ארטילרי של טילים ופגזים.
לפרבולה יש שימושים גם בתחומים אחרים של הפיסיקה, כמו מדע האופטיקה. נסתכל בהגדרה הבאה של הפרבולה: המקום הגיאומטרי של נקודות במישור שמרחקן מנקודה נתונה (המוקד) שווה למרחקן מישר נתון (המדריך). בתרשים שלמטה, לדוגמה, המוקד הוא בנקודה $(\dfrac{p}{2},0)$. אחת התכונות הפיסיקליות של הפרבולה היא שכל קרני אור המגיעות במאונך למדריך (הישר $y=\dfrac{-p}{2}$) ופוגעות בה, מוחזרות אל המוקד. משתמשים בתכונה הזאת כדי לרכז קרני אור ורדיו בטלסקופים ובאנטנות. ומנגד, אפשר להשתמש בפרבולה כדי לפזר קרני אור לכיוון אחיד, למשל בפנסים גדולים.
פרבולה ומשוואת הפרבולה כמקום גיאומטרי ביחס לנקודה $(\dfrac{p}{2},0)$
ראינו לפיכך שהפרבולה נוכחת ושימושית בחיינו, והרי כבר גליליאו גליליי אמר, "ספר הטבע נכתב בשפת המתמטיקה".
הכתבה נכתבה בשיתוף עם ג'ייסון קופר, המחלקה להוראת המדעים.
יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
