האם תמיד הכי טוב ש"הרוב קובע"?

בכתבה הקודמת בסדרה סיפרנו על תורת ההצבעה, ענף שעוסק במתמטיקה שמאחורי התהליך שבו מדינות או קבוצות מקבלות החלטה משותפת ובוחרות בין כמה אפשרויות. ראינו שהתהליך הזה הוא פשוט כשיש שתי אפשרויות בלבד, אבל מסתבך כשמספר האפשרויות גדול יותר.

אנו מבצעים בחירות כמעט כל יום, כשאנחנו מחליטים איזה שמפו לקנות במרכול או באיזו מסעדה לאכול. מאחורי כל בחירה כזו עומדת מערכת של שיקולים והעדפות אישיות. מה קורה כשקבוצה של אנשים צריכה לקבל החלטה ביחד, כשלכל אחד בה יש שיקולים והעדפות משלו? שיטת ההחלטה המוכרת ביותר היא "האפשרות (או המפלגה) שקיבלה את מרבית הקולות היא המנצחת". בכתבה הזו נעלה את השאלה אם השיטה הזו היא תמיד הטובה ביותר?

בשביל לענות על השאלה נסטה הפעם מהעיסוק בבחירות לכנסת וניקח מצב פשוט יותר לכאורה, שבו משפחה מנסה להחליט איפה לבלות את החופשה שלה. האפשרויות שהועלו הן נופש בים המלח, טיול ברמת הגולן או בילוי בלונה פארק.

אבי המשפחה אוהב נוף ירוק ולכן מעדיף את רמת הגולן. הוא לא אוהב את ים המלח, כי חם שם מדי, ויהנה לבלות בלונה פארק (אבל בכל זאת מעדיף טיול).

אם המשפחה אוהבת מאוד את ים המלח. היא לא מתלהבת מטיולים ברמת הגולן (המסלול בנחל יהודייה ארוך מדי!). גם היא תהנה מהלונה פארק, אבל לא כמו בחוף.

מאיה, כמו אמא, אוהבת לצוף על הגב בים המלח ולא רוצה לטייל ברמת הגולן. היא מוכנה לבלות בלונה פארק, אבל מעדיפה את ים המלח.

מיכאל רוצה לנסוע ללונה פארק יותר מכל דבר! הוא לא רוצה לנסוע לרמת הגולן (לטייל זה קשה!) וגם לא לים המלח (משעמם!).

איפה נבלה את החופשה? ים המלח, הלונה פארק או רמת הגולן? | תמונות: Sotti ,Myself ו-Gsella, ויקיפדיה

אם כל אחד מבני המשפחה יצביע לפי העדיפות הראשונה שלו נקבל שני קולות לטובת נופש בים המלח, קול אחד לטיול ברמת הגולן וקול אחד לבילוי בלונה פארק. לכן החופשה שתיבחר, בשיטת "האפשרות שקיבלה את מרבית הקולות היא המנצחת", היא נופש בים המלח. תהנו מהמים ואל תשכחו לקחת קרם הגנה!

אבל האם זו באמת האפשרות הטובה ביותר לחופשה המשפחתית? בואו נחשוב על זה עוד קצת. אבא ומיכאל לא אוהבים את ים המלח בכלל. האם המקום המתאים ביותר לחופשה משפחתית הוא מקום שבו חצי מבני המשפחה לא ייהנו? בואו נסתכל שוב על ההעדפות של המשפחה. אולי יש אפשרות טובה יותר לחופשה שכל בני המשפחה ייהנו בה?

הדוגמה הזו ממחישה שיש מקרים בהם השיטה שבה האפשרות שקיבלה את מרבית הקולות התומכים היא המנצחת לא כל כך מתאימה כדי לקבל את ההחלטה הטובה ביותר. בשביל לפתור את הבעיה במקרה של החופשה המשפחתית אפשר להשתמש בשיטה אחרת, שתיקח בחשבון גם את האפשרויות השנואות ולא רק את המועדפות. במקרה הנוכחי נראה שהאפשרות של בילוי בלונה פארק תהיה טובה יותר – אמנם רק מיכאל רואה בה אפשרות מועדפת, אבל גם שאר בני המשפחה ייהנו ממנה.

נסתכל עכשיו על משפחה אחרת שיש בה רק שלוש נפשות – אבא, אמא וניר, ונסתכל על ההעדפות שלהם בטבלה:

שימו לב שקורה כאן משהו מעניין. השיטה של "האפשרות שקיבלה את מרבית הקולות היא המנצחת" לא מתאימה כאן, כי יש תיקו בין האפשרויות. אם אמא תחליט שנוסעים לים המלח וזהו, אבא וניר יכולים להגיד לה שזה לא פייר ושאם כבר אז צריך לנסוע ללונה פארק. למה? כי שניהם מעדיפים את הלונה פארק על פני ים המלח. הבעיה היא שאותו טיעון יהיה נכון לכל אחת מהאפשרויות האחרון, כיוון שיש סימטריה בין כולן. לכן המשפחה לא תוכל לבחור מקום חופשה בלי שלשניים מהשלושה יהיה מקום משותף ששניהם מעדיפים לבלות בו את חופשתם. המקרה הזה נקרא "פרדוקס ההצבעה" או "פרדוקס קונדורסה".

בכתבות הבאות נראה שיטות נוספות לבחירה ונדבר על קריטריונים לשיטות בחירה הוגנות.

יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.