בכתבה הקודמת בסדרה ראינו שכשיש כמה אפשרויות לבחירה, לא תמיד השיטה המוכרת של "האפשרות שקיבלה את מרבית הקולות היא המנצחת" היא השיטה הטובה ביותר לבחור בין אפשרויות. ראינו מקרה שבו כדאי לקחת בחשבון גם את סדר העדיפויות של הבוחרים, ולא רק את האפשרות שכל אחד מהם מעדיף במיוחד.
בכתבה הבאה בסדרה נראה שיטות נוספות לבחירה. בינתיים נתייחס לכמה קריטריונים שצריך לקחת בחשבון כדי ששיטת הבחירה תהיה הוגנת. מתמטיקאים ואחרים שעוסקים בתורת ההצבעה הגדירו כמה קריטריונים שקובעים אם שיטת בחירה זו או אחרת היא הוגנת. אלו הם ארבעת הקריטריונים המרכזיים מביניהם.
קריטריון הרוב – המועמד שנבחר בעדיפות הראשונה אצל מרבית האנשים הוא המנצח. ניקח לדוגמה כפר ובו 100 אנשים. בבחירות על ראשות הכפר יש שלושה מתמודדים: אביב, בני וגאיה. 60 מצביעים בחרו באביב כעדיפות הראשונה שלהם, 27 אנשים בחרו בבני כעדיפות הראשונה ו-13 בחרו בגאיה. אם בני יוכרז כמנצח בבחירות, זה לא ייראה הוגן. לפי קריטריון הרוב, אביב הוא האיש שאמור להיבחר לראש הכפר.
התפלגות המצביעים למועמד המועדף לראשות הכפר
עקרון קונדורסה (על שם המתמטיקאי והפילוסוף הצרפתי המרקיז דה קונדורסה) – המועמד שגובר על כל אחד מהמועמדים האחרים בהתמודדות "ראש בראש" הוא המנצח בבחירות. נדגים את העיקרון הזה דרך הבחירות למועצת תלמידים בכיתה י"א 5 בבית הספר טשרניחובסקי. בכיתה יש 30 תלמידים וארבעה מועמדים למועצה: גילי, גל, גלית וגיל. תלמידי הכיתה התבקשו לדרג את המועמדים לפי העדיפות שלהם. המחנכת עברה על ההצבעות והנה התוצאות:
16 תלמידים מעדיפים את גיל על פני גילי.
17 תלמידים מעדיפים את גיל על פני גל.
25 תלמידים מעדיפים את גיל על פני גלית.
המשמעות היא שבבחירות ראש בראש גיל מנצח כל אחד מהמועמדים האחרים, ולכן נראה הגיוני שהוא יהיה נציג הכיתה במועצת התלמידים.
אבל אם נסתכל מי המועמד שנבחר בעדיפות הראשונה, נקבל ש:
14 תלמידים בחרו בגילי כעדיפות הראשונה שלהם.
3 תלמידים בחרו בגל כעדיפות הראשונה שלהם.
12 תלמידים בחרו בגיל כעדיפות הראשונה שלהם.
תלמיד אחד בחר בגלית כעדיפות הראשונה.
יש כאן בעיה – הכי הרבה תלמידים בחרו בגילי כעדיפות ראשונה, אבל אם גילי תוכרז במנצחת, ולא גיל, נפר את עקרון קונדורסה.
עקרון ה-Monotonicity – העיקרון שקובע שאם התקיימו בחירות והוכרז מנצח, המועמד שניצח ימשיך לנצח גם בכל הצבעה חוזרת שבה המצביעים ישנו את העדפותיהם לטובתו. העיקרון הזה פחות ברור מקודמיו, ונדגים אותו באמצעות דוגמה שבה הוא אינו מתקיים.
נחזור לאביב, בני וגאיה שמתמודדים על ראשות הכפר. מועצת הכפר החליטה ששיטת הבחירות הקודמת לא היתה טובה מספיק, ולכן הפעם הבחירות יתקיימו בשני סבבים: המועמד שיקבל את מספר הקולות הנמוך ביותר בסיבוב הראשון יודח מהמירוץ וסבב נוסף יתקיים בין שני המועמדים המובילים. מי שינצח בסיבוב השני יוכרז כראש הכפר.
בסיבוב הראשון של הבחירות אביב קיבל 33 קולות, בני קיבל 31 קולות וגאיה קיבלה 36 קולות. בסיבוב השני, בין אביב לגאיה, אביב קיבל 54 קולות וגאיה קיבלה 46 קולות ולכן אביב הוא המנצח. אך אבוי, המעטפה שבה היו תוצאות הבחירות עפה ברוח ולא הגיעה ליושב ראש ועדת הבחירות של הכפר, ולכן לפי תקנון הכפר צריך לערוך את הבחירות מחדש.
בבחירות החדשות, כמעט כל תושבי הכפר הצביעו בסיבוב הראשון כפי שהצביעו בבחירות המקוריות, פרט לשישה תושבים שהחליטו להצביע לאביב במקום לגאיה. תוצאות הסיבוב הראשון אם כך הן: 39 קולות לאביב, 31 קולות לבני ו-30 קולות לגאיה. הסיבוב השני התקיים הפעם בין אביב לבין בני. בספירת הקולות התברר שאביב קיבל 48 קולות ובני 52 קולות ולכן בני נבחר לראש הכפר.
מקרה כזה הוא דוגמה להפרה של עקרון ה-Monotonicity. אף על פי שהשינוי בהעדפות הבוחרים היה של שישה קולות בלבד לטובת אביב (המנצח בבחירות המקוריות), בני היה זה שניצח בסופו של דבר.
מי צריך להיות המנצח בבחירות לראשות הכפר? | תמונה: שאטרסטוק
עקרון אי-התלות בין אפשרויות לא רלוונטיות– אם התקיימו בחירות והוכרז מנצח, המועמד שניצח יישאר המנצח בכל חישוב מחדש של הקולות שיחול כתוצאה מפרישה של מועמדים.
מה המשמעות של העיקרון? בואו נסתכל על תחרות תחפושות שמתקיימת בבית הספר נתן אלתרמן. לגמר התחרות הגיעו שלושה תלמידים: אלונה שהתחפשה לבובת לגו, לילי שבאה בתור מלכת אנגליה וגלעד שהתחפש לטרול.
במהלך התחרות תלמידי בית הספר דירגו את שלושת המועמדים ואז התבצע החישוב הבא: כל דירוג במקום הראשון שווה שלוש נקודות, דירוג במקום השני שווה שתי נקודות ודירוג במקום השלישי שווה נקודה אחת. אלו התוצאות:
81 תלמידים דירגו את אלונה ראשונה, את לילי שנייה ואת גלעד שלישי.
72 תלמידים דירגו את גלעד ראשון, את לילי שנייה ואת אלונה שלישית.
6 תלמידים דירגו את לילי ראשונה, את גלעד שני ואת אלונה שלישית.
דירוגים אחרים (למשל, אלונה במקום הראשון, גלעד בשני ולילי שלישית) לא היו. לפי התוצאות האלו, אלונה קיבלה 81 קולות במקום הראשון, ו-78 קולות במקום השלישי, ובסך הכול 319 נקודות; לילי קיבלה 6 קולות במקום הראשון ו-153 קולות במקום השני, כלומר 324 נקודות בסך הכול; גלעד קיבל 72 קולות במקום הראשון, 6 קולות במקום השני ו-81 קולות במקום השלישי, או 303 נקודות בסך הכול.
קיבלנו אם כך שלילי היא הראשונה, אלונה במקום השני וגלעד שלישי!
גלעד התרגז מאוד עם היוודע התוצאות והודיע שהוא פורש מהתחרות. בעקבות זאת חושבו התוצאות מחדש, כשהפעם המקום הראשון קיבל שתי נקודות והמקום השני קיבל נקודה אחת. החישוב נעשה על בסיס התוצאות הקודמות:
81 תלמידים דירגו את אלונה ראשונה, את לילי במקום שנייה ואת גלעד שלישי.
72 תלמידים דירגו את גלעד ראשון, את לילי שנייה ראשונה ואת אלונה שלישית שנייה.
6 תלמידים דירגו את לילי ראשונה, את גלעד שני ואת אלונה שלישית שנייה.
לפי החישוב החדש, לילי קיבלה 78 קולות במקום הראשון ו-81 קולות במקום השני, ולכן סיימה עם 237 נקודות. אלונה קיבלה 81 קולות במקום הראשון ו-78 קולות במקום השני ולכן צברה 240 נקודות בסך הכול. והפעם קיבלנו שאלונה היא המנצחת!
מה קרה כאן? המפסיד בתחרות פרש ובעקבות הפרישה שלו המנצחת השתנתה. זוהי הפרה של עקרון אי-התלות בין אפשרויות לא רלוונטיות.
תיארנו והדגמנו ארבעה עקרונות ששיטה הוגנת לבחירה צריכה לקיים. שימו לב שלא תמיד העקרונות מתקיימים יחד. למשל בדוגמה של הבחירות למועצת התלמידים בכיתה י"א 5, גילי מנצחת לפי עקרון הרוב אבל גיל מנצח לפי עקרון קונדורסה. ואכן בשנת 1952 הוכיח הכלכלן קנת' ארו שכשיש שלוש אפשרויות או יותר לבחירה, אין שיטת בחירה ביניהן שמקיימת את כל ארבעת הקריטריונים. מכאן נובע שאין שיטת בחירה דמוקרטית שהיא הוגנת מבחינה מתמטית.
המשמעות של כך היא ששיטת בחירה "הוגנת" היא עניין סובייקטיבי – כל אחד מאיתנו בוחן את השיטות הקיימות ובוחר את הטובה ביותר מביניהן בכל מצב. בכתבה הבאה נציג כמה שיטות לבחירה ונתייחס ליתרונות ולחסרונות שלהן.
יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
