כל גוני הקשת

קשת בענן היא תופעה מרהיבה, שהציתה את דמיונם של רבים משחר האנושות. מהקשת שהתווה האל כסמל וכהבטחה לברית עם נוח לאחר שפסק המבול הגדול; דרך האלה איריס, שגילמה את הקשת במיתולוגיה היוונית, או הקשת ביפרוסט במיתולוגיה הנורדית, המגשרת בין עולמות; ואפילו עד קצה הקשת, שהוא המקום שבו מחביאים הלפרקונים האירים את שק הזהב שלהם – הקשת הצבעונית בשמים מלאה בסמליות. ואילו במציאות, הקשת נוצרת מחיבור של גשם ושמש: אבל איך?

שבירה, החזרה ונפיצה

כדי להבין את תופעת הקשת בענן, יש צורך להבין תחילה את התופעות המתרחשות כאשר קרני האור עוברות בין חומר אחד לאחר – למשל בין אוויר וזכוכית - ואת האופטיקה הגיאומטרית המתארת את מהלך הקרניים בחומרים האלו. כאשר קרן אור מונוכרומטית – המורכבת מאור בעל אורך גל יחיד – פוגעת במשטח זכוכית, קורות שתי תופעות: התופעה האחת היא החזרה, שבה מוחזרת קרן האור מפני משטח הזכוכית, כפי שיודע כל מי שסנוור או סונוור על ידי מראה או מסך של טלפון חכם. קרן האור מוחזרת בזווית שווה לזווית הפגיעה שלה, ביחס לאנך למשטח הזכוכית (קו דמיוני בזווית של 90 מעלות מהמשטח).

התופעה השנייה שמתרחשת היא תופעת השבירה. חלק מהאור שכן עובר מהאוויר לזכוכית או לחומר שקוף אחר נראה כ"נשבר", כאשר כיוון הקרן משתנה. אפשר לראות את זה היטב כאשר שמים כפית בכוס מים: במבט מהצד נראה כאילו החלק שמחוץ למים והחלק שבתוכם אינם נפגשים באותה נקודה והכפית "שבורה", מכיוון שקרני האור חוזרות בזוויות שונות אם הן עוברות דרך המים או לא.
זווית השבירה תלויה במקדם השבירה של החומר, המתאר את היחס בין מהירות האור ברִיק (ואקום) למהירותו  בחומר מסוים. מכיוון שכך, מקדם השבירה בריק שווה ל-1, ובאוויר הוא די קרוב: 1.000277. בזכוכית מקדם השבירה הוא בין 1.5 ל-1.75, תלוי בסוג הזכוכית ומרכיביה. התלות בין זווית הפגיעה וזווית השבירה נקראת "חוק סנל", על שם המתמטיקאי ההולנדי וילברורד סנל ואן רוין (Snel van Royen) שניסח אותו בשנת 1626, אם כי התופעה הייתה מוכרת  גם קודם.

ברוב המקרים יתרחשו שתי התופעות יחד: חלק מהאור הפוגע יעבור לחומר החדש ויישבר, וחלק ממנו יוחזר חזרה. היחס בין עוצמת האור שתוחזר וזו שתועבר תלוי בזווית הפגיעה ובמקדם השבירה של החומר.

מה קורה כאשר האור אינו מונוכרומטי? כאשר האור מורכב מכמה צבעים, למשל אור השמש, מתרחשת תופעה נוספת הנקראת "נפיצה". תופעת הנפיצה מתרחשת משום שלכל צבע אור מהירות מעט שונה בחומר (בריק לכל הצבעים אותה מהירות – מהירות האור). מכיוון שכך, מקדם השבירה הוא שונה מעט ולכן אור לבן – המורכב מכמה צבעים – יישבר באופן שיפיץ את הצבעים השונים בזוויות מעט שונות, וייצור את תופעת הנפיצה, שאנו רואים למשל במעבר של אור דרך מנסרות. למעריצי פינק פלויד שביניכם, עטיפת האלבום "הצד האפל של הירח" מתארת את תופעת השבירה והנפיצה.

מפגש בטיפת מים

מקדם השבירה של מים הוא 1.33, וכאמור תופעת השבירה של קרני אור במים נראית בבירור  ב"שבירה" של עצמים – כפית למשל – המצויים חלקם בתוך המים וחלקם מחוצה להם.
החזרה של קרני אור ממים מודגמת בכל השתקפות של נוף באגם או של עננים בשלולית. לעתים אפשר לראות בו-זמנית גם את מה שנמצא מתחת למים וגם את מה שמשתקף בהם (ושנמצא למעשה מעליהם).
טיפת מים בודדת שונה מאגם או משלולית במובנים רבים. לצורך הדיון בתופעת השבירה וההחזרה, נתמקד בהבדל אחד ברור, והוא צורת פני השטח. באגם או בשלולית פני השטח חלקים ומישוריים – אם נדמיין קווים היוצאים בזווית ישרה לפני האגם בכל נקודה על פניו, הם כולם יהיו מקבילים זה לזה. לכן גם ההחזרה של האור, התלויה בזווית הפגיעה במשטח, תהייה דומה בכל אזור של האגם, וההשתקפות המתקבלת מההחזרה תהיה נאמנה למציאות. לעומתם טיפת מים היא עגולה, וכל מי שהסתכלה על בבואתה בגב המעוגל של כף או כפית יודעת שהבבואה מתעוותת. זה קורה מכיוון שבמשטח עגול, אותם קוים אנכיים דמיוניים יהיו כל אחד בזווית אחרת, ובהתאם ההחזרה של האור תהיה בזווית שונה מאזורים שונים של המשטח.

עכשיו אפשר לתאר את מהלך קרן השמש שפוגעת בטיפת גשם: בכל מעבר של הקרן בין האוויר לתוך הטיפה והחוצה מתרחשות תופעות השבירה וההחזרה. הקרן שיוצרת בסופו של דבר את הקשת עוברת את התהליך שלוש פעמים: בפעם הראשונה הקרן נעה מכיוון השמש לעבר הטיפה, עוברת מהאוויר אל תוך הטיפה ונשברת. בשבירה זו מתרחשת גם נפיצה: האור הלבן מהשמש נפרד לצבעים המרכיבים אותו. בתוך הטיפה האור ממשיך במסלולו עד שהוא מגיע לצד השני של הטיפה מבפנים. כאן מתרחשת שבירה שנייה וחלק מהאור יוצא מהטיפה, אבל אנחנו מתעניינים דווקא בחלק המוחזר. חלק זה מוחזר לכיוון גבול הטיפה שקרוב יותר לשמש, ושוב נשבר ויוצא אל האוויר.
אם נסכם את המסלול, הוא כולל שבירה (אוויר-מים) ונפיצה, החזרה (בתוך הטיפה) ושוב שבירה (מים-אוויר).

כמות האור שתצא מהטיפה בסוף השלב השלישי נקבעת על ידי זוויות השבירה וההחזרה בכל פגיעה, והיא תלויה גם באורך הגל – כלומר, בצבעו. עבור אור אדום, למשל, הזווית שבה מתקבלת כמות האור הרבה ביותר שעובר את המסלול הנ"ל, היא 42 מעלות ביחס לקרן האור הראשונה המגיעה מהשמש. מעבר לכך, בגלל הצורה המיוחדת של הטיפה והאופן שבו פוגעות בה קרני השמש, בזוויות גדולות יותר מ-42 מעלות לא יוצאות קרניים מהטיפה. זו הסיבה שהאזור שמעל לקשת נראה לנו חשוך יותר מזה שמתחתיה.
עבור כל צבע, הזווית שבה מתקבלת כמות האור הרבה ביותר שונה מעט, וקטנה ככל שאורך הגל מתקצר. זאת אומרת שעבור אור ירוק למשל תתקבל זווית קטנה יותר, ועבור אור סגול זווית קטנה אף יותר. זו הסיבה שהפס האדום הוא תמיד העליון בקשת.
עד כאן תיארנו את מהלך קרן האור מהשמש ועד שהיא יוצאת מטיפת הגשם. ואולם, כדי שנראה קשת בענן, הקרניים צריכות להגיע בסופו של דבר אל העיניים שלנו, הצופים.   

אם נדמיין זאת באופן גיאומטרי הרי נוצרים כאן משולשים: הקדקוד הרחוק של המשולש הוא השמש, וצלע אחת היא הקו הדמיוני המחבר בין השמש והטיפה. הצלע השנייה היא הקו המחבר בין הטיפה ובין העיניים של הצופה, והצלע השלישית "מחברת" את ראשו של הצופה אל השמש. טיפה שיוצרת משולש כזה עם העיניים שלנו וגם הזווית בין שתי הצלעות שיוצאות מהטיפה היא 42 מעלות, תחזיר אלינו אור אדום. אם הזווית קטנה יותר – למשל, 41 מעלות – אזי הטיפה תחזיר אלינו אור כחול.

גשם, גשם בוא

כשיורד גשם יש הרבה טיפות באוויר, ולא רק אחת. תיאור הטיפה הבודדת עזר לנו להבין מדוע יש הפרדה של הצבעים בקשת, ומדוע הצבעים נראים בבירור ואינם מתערבבים חזרה זה בזה (בגלל זוויות המקסימום השונות). כדי להבין את צורתה של הקשת, אנו צריכים להרחיב את מבטנו אל כלל הטיפות באוויר.

מכיוון שאנחנו חיים בעולם תלת-ממדי ולא דו-ממדי, יש זווית מרחבית נוספת שלא התחשבנו בה ואין עליה כל מגבלה. לכן ניקח את המשולש שדמיינו קודם ונסובב אותו סביב הצלע המחברת את ראש הצופה עם השמש.

שילוב של כמה תופעות פיזיקליות מאפשר לנו לראות את הקשת בענן | איור: אלה אוריון-לכמן ומריה גורוחובסקי

הצורה המתקבלת מסיבוב שכזה הוא חרוט, שעל ההיקף של בסיסו נמצאות כל הטיפות שתורמות לצבע מסויים בקשת: לכל צבע יש חרוט אחר במקצת בגלל הזוויות השונות שהוזכרו למעלה. הדבר נכון גם לגבי צופים שונים שראשם אינו נמצא באותה הנקודה, ולכל אחד מהם חרוט אחר עד שאפשר לומר שכל צופה רואה קשת אחרת.

כמה מההיקף של בסיס החרוט באמת חופף למסך הגשם? התשובה לשאלה הזו תקבע כמה מהקשת נראה. לרוב, מסך הגשם החופף לבסיס החרוט נחתך על ידי קו הקרקע, ומכאן באה צורת הקשת. זווית השמש בשמים קובעת גם היא אם בסיס החרוט יהיה רובו מתחת לקרקע או לא. אם נעמוד על הר גבוה, הקרקע תהיה נמוכה יותר ולכן יש סיכוי לראות את כל המעגל – במקרה כזה נראה "קשת עגולה", שבה כל הטיפות בבסיס החרוט מחזירות אלינו את האור מהשמש. אפשר גם לנסות לראות קשת מכדור פורח, ממטוס, או להעלות רחפן עם מצלמה לאוויר. בגן המדע של מכון דוידסון במכון ויצמן, לדוגמה, יש מתקן ממטרות שמדמה גשם, והאדמה באזור הרלוונטי (בסיסי החרוט השונים עבור אנשים שעומדים במרכז המתקן) חפורה, כך שאפשר לראות את החלק התחתון של הקשת.

קשתות מיוחדות

לעתים, כאשר האזור שבו נמצאת השמש נקי לחלוטין מעננים וכשהשמש מאירה בעוצמה, אפשר לראות קשת נוספת מעל הקשת ה"רגילה". הקשת הנוספת חלשה יותר, וצבעיה הפוכים: במקום שהאדום יהיה עליון והכחול תחתון, הכחול נמצא למעלה והצבע האדום הוא הנמוך ביותר. במקרה כזה נאמר שיש "קשת כפולה".

מקורה של הקשת הכפולה בחלק מקרני האור שמוחזרות שוב בתוך הטיפה במקום לצאת ממנה ולהגיע אלינו. בשלב האחרון של יצירת הקשת ה"רגילה", הקרניים השונות (בצבעים השונים) עוברות מתוך הטיפה החוצה ונשברות כך שהן מגיעות אלינו בזוויות המיוחדות היוצרות את הקשת. כפי שתואר קודם, רוב העוצמה אכן עוברת מהטיפה החוצה אך חלק קטן בכל זאת מוחזר פעם שנייה בתוך הטיפה. החלק הזה חוזר אלינו מהצד השני של הטיפה, וההחזרה הכפולה הזאת גורמת לכך שהצבעים מחליפים את הסדר – האדום שהיה קיצוני עליון הופך להיות קיצוני תחתון וכך הלאה. לאחר ההחזרה הכפולה, הקרניים עוברות מהטיפה לאוויר ומגיעות אל העיניים שלנו.

ייתכנו גם קשתות מסדרים גבוהים יותר, אך אלה כצפוי מצריכות עוצמת אור התחלתית גבוהה מאוד, שכן עוצמת האור הנותרת בתוך הטיפה הולכת וקטנה באופן ניכר, והקשתות מהסדרים הגבוהים יותר הן חלשות מאוד.

רואים רחוק רואים כפול: בקשת כפולה, הקשת הנוספת חלשה יותר וסדר הצבעים בה הפוך | צילום: Shutterstock

לסיכום

תופעת הקשת בענן מדגימה היטב את תופעות השבירה, ההחזרה והנפיצה שהן הבסיס לאופטיקה גיאומטרית. במאמר זה הנחנו שהטיפה היא בצורת כדור מושלם, אך פיזיקאים ומתמטיקאים רבים ערכו חישובים בעבור צורות פחוסות שונות, ואופי הקשת המתקבלת יכול ללמד אותנו על הגשם שיוצר אותה. ציידי קשתות וצלמים מקצועיים מחפשים תדיר דרכים לצלם קשתות מיוחדות ומחפשים מקומות שמהם הקשת נראית מרהיבה במיוחד.

בין אם אתם מתלהבים מכל קשת באשר היא קשת כמוני, ובין אם לאו, עכשיו אתם יודעים מה אתם רואים, ולמה.