המספרים הראשוניים, שנחשבים לאטומים של עולם המספרים, עומדים במוקד ההתעניינות של תורת המספרים מראשית ימיה. משפטים והשערות רבות נכתבו על המספרים הללו ועל תכונותיהם, כגון השערת גולדבך. בכתבה הזו נעסוק בסדר הגודל של המספרים הראשוניים בתוך המספרים הטבעיים, ובקשר שקיים בין מספרים ראשוניים עוקבים.
מספרים ראשוניים הם מספרים טבעיים גדולים מ-1 שמתחלקים ללא שארית רק בעצמם וב-1. אחד המשפטים הראשונים שנוגעים למספרים הראשוניים הוא המשפט של אוקלידס, שקובע שיש אינסוף מספרים ראשוניים. כמות המספרים הטבעיים גדולה יותר מזו של המספרים הראשוניים, ולכן אפשר לשאול מהי הצפיפות של המספרים הראשוניים בתוך המספרים הטבעיים. ובמילים אחרות, נשאל כמה מספרים ראשוניים יהיו בסדרה סופית של מספרים טבעיים.
כדי להבין את סדר הגודל של המספר הזה נסתכל קודם על שתי קבוצות אינסופיות אחרות של מספרים: הראשונה היא קבוצת המספרים שהם חזקות של המספר 2 (2, 4, 8, 16, 32...) והשנייה היא קבוצת המספרים הזוגיים. אם נסתכל על אלף המספרים הטבעיים הראשונים (1, 2, 3, 4..., 1000) נגלה שרק עשרה מספרים מביניהם הם חזקות של 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ו-512). לעומת זאת, 500 מהמספרים האלו הם מספרים זוגיים. אפשר להכליל ולומר שבתוך $x$ המספרים הטבעיים הראשונים יהיו מעט מספרים שהם חזקות של 2 אבל יהיו $\dfrac{x}{2}$ מספרים זוגיים.
כמות המספרים הראשוניים בין $x$ המספרים הטבעיים הראשונים אינה קטנה כמו החזקות של 2, אבל קטנה יותר מכמות המספרים הזוגיים. כבר בסוף המאה ה-19 הוכיחו במקביל המתמטיקאים ז'אק הדמר ושארל דה לה ואלֵה פוסָן שלכל מספר טבעי $x$, כמות המספרים הראשוניים הקטנים מ-$x$ היא בקירוב $\dfrac{x}{ln(x)}$. יש עוד כמה פונקציות שמבטאות את הגודל הזה, חלקן מדויקות יותר, אבל אנחנו נסתפק בזו, שכן היא פונקציה שקל להבין ולנתח אותה.
הפונקציה $\dfrac{x}{ln(x)}$ היא פונקציה עולה – ככל ש-$x$ גדול יותר, גם כמות המספרים הראשוניים תהיה גדולה יותר, אבל ככל ש-$x$ יגדל המספרים הראשוניים יהיו שכיחים פחות. כלומר היחס בין $x$ לבין מספר הראשוניים ילך ויקטן. דרך אחרת לראות את זה היא שאם נבחר רנדומלית מספר של עשרים ספרות, הסיכוי שהוא מספר ראשוני יהיה קטן יותר ממספר של עשר ספרות.
ההפרש בין שני מספרים ראשוניים עוקבים
הגענו למסקנה שהמספרים הראשוניים שכיחים פחות ופחות ככל שהמספר גדול יותר. אבל האם זה אומר שגם ההפרש בין שני מספרים ראשוניים עוקבים (מספר ראשוני $p$ ומספר ראשוני $q$ הראשון שבא אחריו, לדוגמה 19 ו-23) הולך וגדל? זו שאלה שקשה יותר לענות עליה.
כדי להבין את השאלה נחזור שוב לקבוצת החזקות של 2 ולקבוצת המספרים הזוגיים. אם נתון לנו מספר זוגי כלשהו, המספר הזוגי הבא אחריו יהיה גדול ממנו ב-2 וזה נכון לכל המספרים הזוגיים: ההפרש ביניהם הוא תמיד 2. במקרה של קבוצת החזקות של 2, ההפרש בין שני מספרים עוקבים בקבוצה (כמו 8 ו-16 או 512 ו-1024) הולך וגדל אקספוננציאלית. המשמעות היא גם שלכל מספר $k$ שנבחר קיים מספר סופי של זוגות מספרים עוקבים שההפרש ביניהם קטן מהמספר הזה. לדוגמה, יש רק שלושה זוגות שההפרש ביניהם הוא 15 או פחות: 2 ו-4; 4 ו-8 ;8 ו-16.
התשובה לשאלה על ההפרש בין זוגות של מספרים ראשוניים עוקבים אינה מוחלטת, אך יש לגביה כמה השערות. אחת מהן נקראת "השערת ההפרש החסום" (Bounded Gap Theory). ההשערה אומרת שיש אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים עוקבים שההפרש ביניהם אינו עולה על 70,000,000. הטענה הזו אולי נוגדת את האינטואיציה שלנו – אם הראשוניים שכיחים פחות ופחות, איך יכול להיות שלאינסוף זוגות יש חסם עליון ששומר על המרחק ביניהם?
את השערת ההפרש החסום הוכיח ב-2013 המתמטיקאי ייטאנג "טום" ז'אנג. כדי להבין את ההוכחה שלו נאמץ גישת חשיבה שונה מעט מהרגיל ונחשוב על המספרים הראשוניים כמספרים רנדומליים. זו גישה שנראית אולי מוזרה – הרי המספרים הראשוניים אינם שרירותיים! אבל מתברר שיש דרכים שבהן ההתנהגות של המספרים הראשוניים מזכירה קבוצת מספרים רנדומלית.
הנה לכם דוגמה. אם נבחר רנדומלית מספר טבעי $n$ גדול מ-3, השארית שלו בחלוקה ל-3 תהיה 0 (אם הוא מתחלק ב-3 ללא שארית), 1 או 2. בקבוצה רנדומלית סופית של מספרים טבעיים, השכיחות של מספרים שהשארית שלהם היא 0, 1 או 2 תהיה שווה בקירוב. אם נבחר באופן רנדומלי מספר ראשוני ונחלק אותו ב-3, נוכל לקבל 1 או 2 (שארית 0 אינה אפשרית שכן משמעותה היא שהמספר מתחלק ב-3, ולכן לא ייתכן שהוא ראשוני).
מתברר שבקבוצת מספרים ראשוניים סופית ורנדומלית, שכיחות המספרים שהשארית שלהם מחלוקה ב-3 היא 1 זהה לשכיחות המספרים שהשארית שלהם תהיה 2. כלומר יש לנו כאן התנהגות רנדומלית.
איך עוזרת לנו ההסתכלות על המספרים הראשוניים כעל קבוצת מספרים רנדומלית? נחשוב רגע שיש לנו "שק" של נקודות ונפזר אותן על משטח כלשהו. הנקודות ייפלו רנדומלית על המשטח ונראה שרבות מהן ינחתו קרוב זו לזו, בזוגות ובמקבצים, כמו בתמונה הבאה. התרגיל המחשבתי הזה יכול לעזור לנו להבין שתופעה דומה יכולה לקרות גם למספרים הראשוניים עוקבים, והם יכולים להיות קרובים זה לזה.
פיזור רנדומלי של נקודות על משטח
למעשה, לא רק שההפרש בין אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים חסום, אלא שהמתמטיקאים מאמינים שיש אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2 בלבד, כלומר $p$ ו-$p+2$ ששניהם ראשוניים. הטענה הזאת נקראת "השערת המספרים הראשוניים התאומים" ונכון להיום אין לה הוכחה.המתמטיקאים מסתמכים בהשערתם על תכונות סטטיסטיות של המספרים הראשוניים.
הצגנו הסבר אינטואיטיבי לכך שההפרש בין מספרים ראשוניים עוקבים הוא חסום. לסיום נציג חישוב קצר שמראה כמה זוגות של מספרים ראשוניים בקבוצה נתונה צפויים להיות ראשוניים תאומים. ראינו שמתוך $N$ מספרים טבעיים, כ$\dfrac{N}{ln(N)}$ מהם הם ראשוניים. אנחנו מניחים שההתפלגות של הראשוניים היא רנדומלית ומכאן שלכל מספר nבקבוצה הזו יש הסתברות של $\dfrac{1}{ln(N)}$ להיות ראשוני. יש כ- $N$זוגות של מספרים מהצורה $(n,n+2)$ וההסתברות ששניהם ראשוניים היא $(\dfrac{1}{ln(N)})^2$, לכן התוחלת של זוגות ראשוניים תאומים, כלומר המספר הצפוי של זוגות כאלו, היא $\dfrac{N}{(ln(N))^2}$. המשמעות היא שמספר זוגות הראשוניים התאומים הולך וגדל ושואף לאינסוף.
ההשערות שראינו על ההפרש בין מספרים ראשוניים אולי נוגדות מעט את מה שנראה לנו הגיוני, ואולי מוזר לחשוב על המספרים הראשוניים כבעלי תכונות רנדומליות. אתם מוזמנים לנסות לבדוק את ההשערות על קבוצות סופיות של מספרים טבעיים, כמו סדרת המספרים מ-1 עד 200: כמה ראשוניים יש בסדרה? כמה זוגות של ראשוניים תאומים? מה ההפרש הגדול ביותר בין זוג של מספרים ראשוניים עוקבים?
הכתבה מבוססת על המאמר The Beauty of Bounded Gaps – A Huge Discovery about Prime Numbers –and What It Means for the Future of math, מאת Jordan Ellenberg.
יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
