אותיות במקום ספרות

לא פעם, במדורי החידות של עיתונים, אנו נתקלים בבעיות מהסוג הזה:

ש ם
       +
י  ש
ש י ש

בבעיות כאלה, אותיות הא"ב באות במקום הספרות, כך שכל אות מייצגת ספרה אחת. הפותרים נדרשים לפענח את התרגיל ולציין ליד כל אות איזו ספרה היא מחליפה, כך שהתרגיל יהיה נכון.

לבעיות האלו יש חמישה כללים בסיסיים:

1. קשר חד-חד-ערכי נשמר לכל אורך התרגיל בין האותיות והספרות.
2. אחרי שמחליפים את כל האותיות בספרות, תרגיל החשבון שמתקבל חייב להיות נכון.
3. מספרים אינם יכולים להתחיל בספרה 0 (לדוגמה, 0900 אינו מספר חוקי).
4. חייב להיות לתרגיל פתרון אחד בלבד.
5. התרגילים הם בשיטת הספירה העשרונית, אלא אם כן מצוין אחרת.

מקובל, אך לא הכרחי, שהאותיות שבתרגיל ייצרו מילים או משפטים בעברית. בדוגמה שלמעלה, למשל, מתקבל המשפט: "שם יש שיש". אין לתוכן המשפט כל חשיבות לפתרון התרגיל, אבל הוא מוסיף עוד עוקץ חביב לחידה.

בדוגמה שלמעלה, אפשר בנקל לראות שהאות י'=0, האות ש'=1 והאות ם'=9, כך שהתרגיל שמתקבל הוא: 91+10=101.

מגוון שיטות לוגיות יכולות לסייע בפתרון בעיות "אותיות במקום ספרות". בתרגיל שלמעלה, למשל, קל לראות שהאות י' היא 0, מפני שבעמודת האחדות אנו רואים ש: ש'+י'=ש. כמו כן ברור לגמרי ש-ש'=1, מפני שהאות ש' מופיעה כספרת המאות בתוצאת התרגיל. סכום של שני מספרים שלמים דו-ספרתיים לעולם לא ייתן מספר הגדול מ-198, ולפיכך ספרת המאות חייבת להיות 1. כזכור, הכלל השלישי למעלה קובע שהספרה 0 אינה חוקית כאן בתור ספרת המאות.

אפשר להרחיב את הכללים הללו גם לתרגילי חיבור וחיסור שיש בהם יותר משני מחוברים או מחוסרים, וכן להיעזר בכללים נוספים (כמו כללי התחלקות) עבור תרגילים מסוגים נוספים, כגון כפל, חילוק, חזקה וכו'.

משחקי מילים

התיעוד הראשון של בעיית "אותיות במקום ספרות" הופיע בארצות הברית בשנת 1864, אך יש אומרים שתרגילים כאלה היו נהוגים כבר בסין העתיקה.

אף שמתמטיקאים רבים השתעשעו מפעם לפעם בתרגילים כאלה, המתמטיקאי הבלגי מוריץ וטריקואנט, המוכר יותר בכינויו "מינוס", היה זה שהפיץ אותם לציבור הרחב. וטריקואנט המציא חידות רבות מסוג זה וכינה אותן "קריפטריתמים". את חידותיו פרסם וטריקואנט בירחון בלגי בשם ספינקס, שראה אור בשנות ה-30 של המאה הקודמת. הירחון הוקדש לשעשועי מתמטיקה ועורכו היה מתמטיקאי ידוע בשם מוריץ קראיצ'ק.

אף שאין הכרח שהאותיות יאייתו מילה כלשהי, רבים מהמתמטיקאים שהמציאו תרגילים כאלה השתדלו שכך יהיה. את אחד התרגילים המפורסמים מסוג זה הציע בשנת 1924 החידונאי הבריטי הנרי דודני:  SEND+MORE=MONEY. אתם מוזמנים לנסות את כוחכם בפתרון התרגיל.

יש מגוון רחב מאוד של בעיות מסוג "אותיות במקום ספרות", והן מתפרסמות אופן תדיר בעיתונות הכתובה. סוג עסיסי במיוחד נקרא "נכון פעמיים" (Doubly true). בתרגילים האלה, האותיות שבתרגיל מאייתות בעצמן תרגיל נכון במתמטיקה.

לדוגמה, בתרגיל החיבור הזה:

ש ש  +
ש ש
א ר ב ע
ש ב ע
ש ב ע
ש ל ש י מ

ניתן לקרוא את התרגיל במילים ולקבל משפט אמת: "שש ועוד שש ועוד ארבע ועוד שבע ועוד שבע שווה שלושים". לחלופין אפשר לפתור אותו כתרגיל של "אותיות במקום ספרות" ולקבל:

6 6   +
6 6
2 5 7 8
6 7 8
6 7 8
6 3 6 0 1

החידה ראתה אור במקור בכתב העת למדע ולמחשבה גליליאו.

יוסי ומיכל אלרן
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.