בעיית מונטי הול

בתקופה האחרונה נדמה ששעשועוני הטלוויזיה השתלטו על המסך. המתחרים בשעשועונים האלה יכולים בדרך כלל לזכות בפרסים נאים אם רק יעמדו בכמה מטלות שמציב בפניהם המנחה. דמיינו לעצמכם את המצב הזה: אתם אוזרים אומץ ומחליטים להשתתף בשעשועון טלוויזיה ידוע. המנחה באולפן מזמין אתכם לעלות על במה שבה מוצבים שלושה וילונות ארוכים. מאחורי וילון אחד מסתתרת מכונית הפרס, אך מאחורי כל אחד משני הווילונות הנותרים מסתתרת... גרוטאה!

המנחה מבקש מכם לבחור וילון. נניח שאתם בוחרים בווילון מספר 1. אתם מצפים מן הסתם שמנחה השעשועון יסיט את הווילון ויגלה מה מסתתר מאחוריו, אבל מנחי שעשועונים הם כידוע עם ערמומי ולעתים קצת מרושע. המנחה שלכם, שיודע היכן מסתתרת המכונית, פותח דווקא את אחד הווילונות האחרים – וילון מספר 3 – ומגלה שמאחוריו מסתתרת גרוטאה. עכשיו נותרו לפניכם שני וילונות סגורים: וילון מספר 1 ווילון מספר 2, והמנחה שואל אתכם אם אתם רוצים לשנות את בחירתכם (כלומר הוא מציע לכם לבחור בווילון מספר 2 במקום וילון מספר אחד שבו בחרתם קודם). האם כדאי לכם לשנות את בחירתכם?

בעיה זו איננה חדשה. היא נקראת "בעיית מונטי הול" – הבעיה הראשונה, ואולי היחידה, במתמטיקה הקרויה על שם כוכב הוליוודי. מונטי הול היה מנחה שעשועון טלוויזיה אמריקני פופולרי מאוד בשנות ה-60 וה-70 של המאה הקודמת. השעשועון שלו נקרא "בואו נעשה עסקה" (Let's Make a Deal), וחוקיו היו דומים מאוד למתואר כאן. מונטי הול גילם בהצלחה רבה את תפקיד המנחה הערמומי, ולפיכך הבעיה המתמטית קרויה על שמו.

כדי לפתור את הבעיה יש לשלוט היטב בהסתברות. הסתברות היא אחד התחומים היישומיים ביותר של המתמטיקה והפכה לאבן יסוד במקצועות רבים, ביניהם כל המדעים המדויקים וכן כלכלה, סוציולוגיה ופסיכולוגיה. את הבסיס להסתברות המודרנית הניחו שני מתמטיקאים צרפתים מפורסמים: בלייז פסקל ופייר דה-פרמה. בשנת 1654 התכתבו שני המתמטיקאים המבריקים זה עם זה בניסיון לפתור שאלה שהטרידה רבים ממהמרי התקופה ההיא: אם זורקים בו-זמנית שתי קוביות משחק, בתוך כמה זריקות נקבל בשתיהן את המספר שש? היום השאלה הזו נחשבת פשוטה מאוד, שהרי ההסתברות היא 1 ל-36, אולם בימיהם של פסקל ופרמה המחשבה המתמטית עדיין לא היתה מפותחת די הצורך, ולכן הם פיתחו את תורת ההסתברות במטרה לפתור את בעיית הקוביות ובעיות הימורים אחרות.

הבעיה הגדולה בהסתברות היא שלפעמים הפתרון הנכון אינו אינטואיטיבי, ולכן רבים טועים בו. בעיית מונטי הול היא אחת הדוגמאות המובהקות לכך. הבה נבדוק אותה.

בבחירה הראשונית הסיכוי שהמכונית נמצאת מאחורי וילון מספר 1 הוא שליש (1/3), והסיכוי שהיא נמצאת מאחורי אחד משני הווילונות האחרים הוא שני שלישים (2/3). והנה, אחרי שבחרתם בווילון מספר 1 והמנחה הראה לכם שמאחורי וילון מספר 3 מסתתרת גרוטאה, הוא מציע לכם לשנות את בחירתכם.

מתמטיקאי ערמומי יכול להציע לכם שתי תשובות אפשרויות "הגיוניות" לבעיה, אך רק אחת מהן נכונה. התשובה הראשונה והאינטואיטיבית היא שאחרי שהמנחה פתח את וילון מספר 3 נשארו שני וילונות שאפשר לבחור מהם בסיכוי שווה, כלומר חצי, ולכן אין זה משנה אם תשנו את הבחירה שלכם.

תשובה אחרת היא שהסיכוי שהמכונית נמצאת מאחורי וילון מספר 2 או 3 לפני שהמנחה פותח את וילון מספר 3 הוא כאמור שני שלישים והסיכוי שהיא נמצאת מאחורי וילון מספר 1 הוא שליש. הסיכוי הזה אינו משתנה גם אחרי שהמנחה פותח את וילון מספר 3, אבל עכשיו אנחנו יודעים שהמכונית אינה נמצאת מאחורי וילון מספר 3, ולכן הסיכוי של שני שלישים "עובר" כולו לווילון מספר 2 (סכום ההסתברויות הכולל תמיד יהיה 1). כעת הסיכוי שהמכונית נמצאת מאחורי וילון מספר 1 נשאר שליש ואילו הסיכוי שהיא מאחורי וילון מספר 2 הוא שני שלישים, ולכן כדאי לשנות את הבחירה!

הבעיה הזו ממחישה היטב את הבלבול שיכול להיווצר בבואנו לפתור בעיות בהסתברות. לכן בעיית מונטי הול ידועה גם כדוגמה ל"פרדוקס נוגד אינטואיציה". אז מהי התשובה הנכונה? מתברר שדווקא התשובה הפחות אינטואיטיבית, כלומר התשובה השנייה, היא התשובה הנכונה!

קל יותר להבין זאת אם נדמיין שהשעשועון התחיל עם 1,000 וילונות, שרק מאחורי אחד מהם נמצא הפרס ומאחורי כל השאר יש גרוטאות. אחרי שבחרנו וילון באקראי (והסיכוי שנבחר את הווילון שמאחוריו נמצא הפרס הוא אחד לאלף), המנחה פותח 998 וילונות שמאחוריהם נמצאות גרוטאות, כך שנשארים שני וילונות סגורים – זה שבחרנו בהתחלה ועוד אחד נוסף. האם במצב זה נרצה לשנות את בחירתנו? ודאי שכן! כפי שנוכחנו, הסיכוי שהפרס נמצא מאחורי הווילון שבחרנו באקראי הוא נמוך ביותר, מה שאומר שהפרס כמעט בוודאות (בסיכוי של 999 לאלף) נמצא מאחורי הווילון האחר.

איך זה קרה? מאחר שהמנחה ידע איפה נמצא הפרס, ונמנע מלפתוח את וילון הפרס, הוא ידע גם איזה וילון להשאיר סגור נוסף על זה שבחרנו בהתחלה. כאשר מדובר בשלושה וילונות בלבד קשה יותר לראות את זה, אבל העיקרון בשני המקרים זהה.

אם אתם עדיין מפקפקים, נציע לכם דרך לבדוק את העניין מכיוון אחר, אף שלא מדובר בהוכחה מתמטית. אנו מזמינים אתכם לערוך סדרה של ניסויים שכל אחד מהם הוא סימולציה של השעשועון. תיווכחו לדעת שאם תשנו את בחירתכם בכל ניסוי, תנצחו בממוצע בשני שלישים מהניסויים (לעומת ניצחון בשליש בממוצע אם תדבקו בכל ניסוי בבחירה המקורית. יש גם הוכחה מתמטית פורמלית שמוכיחה שאכן כדאי לשנות את הבחירה, אך לא נוכל להרחיב עליה כאן.

כך שאיך שלא תסתכלו על זה, ואף שזה נראה מוזר, כדאי בכל זאת לשנות את הבחירה – לידיעת כל מי שחפץ להשתתף בשעשועוני וילונות למיניהם.

החידה ראתה אור במקור בכתב העת למדע ולמחשבה גליליאו.

יוסי ומיכן אלרן
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.