המשימה, כפי שהגדרנו אותה בבלוג 70, היא למצוא קבוצת יוצרים לכל השברים m/n לגבי פעולת החיבור. הראנו שדי אם נמצא תשובה לגבי 1/n, כי אז נוכל לחבר m קבוצות שיוצרות את 1/n , ונקבל את m/n.
כל n הוא מכפלה של חזקות של מספרים ראשוניים, כלומר: כל (1/n=1/(pi*qj*rs*…., כאשר p,q,r וכו' הם מספרים ראשוניים, ו-i,j,k וכו' הם מספרים טבעיים.
השיטה היא למצוא תחילה את 1/pi*qjבעזרת 1/piו-1/qj, ובשלב הבא את 1/pi*qj*rk בעזרת 1/pi*qjו-1/rs, וכך בכל צעד לצרף יוצר נוסף.
נדגים זאת בעזרת תרגיל למציאת קבוצת יוצרים לשבר 1/720.
מכפלת החזקות היא: 1/720=1/24*1/32*1/5.
תחילה נתייחס ל-24*1/32/1, ניצור מכנה משותף (24*32=144), ונקבל: 9/24*32, 16/24*32.
9 ו-16 הם מספרים זרים, ככל חזקות של מספרים ראשוניים שונים, ולכן, לפי המשפט שהבאתי בבלוג הקודם, תמיד אפשר למצוא להם מקדמים שלמים כך שהסכום יהיה 1. הנה הפתרון במקרה שלנו: 4*16-7*9=1.
ונקבל: 4/32-7/24=1/(24*32)= 1/144.
עכשיו נחפש מכנה משותף ל-1/144 ול-1/5.
נקבל:
5/720=1/144
1/5=144/720
ומכיוון ש-29*5-1*144=1, נקבל: 29/144-1/5=1/720
ובהצגה סופית נציב את היוצרים של 1/144 (4/32-7/24) ונקבל:
116/32-213/24-1/5=1/720.
וכך הצלחנו למצוא קבוצת יוצרים לשברים רציונליים לגבי החיבור. היוצרים הם מהצורה 1/pi.
כאן עולה שאלה מרתקת: האם אנו זקוקים לכל יוצר מהצורה הזו, או שמא יש קבוצה יותר מצומצמת?
והתשובה לא פחות מרתקת: יש אינסוף קבוצות יותר מצומצמות, אך לא קיימת "הקבוצה המצומצמת ביותר"! - זה נובע מכך שתמיד נוכל לייצג, לדוגמה, את 1/3בעזרת 3/32, ובהכללה את כל חזקות pמ-1 עדi בעזרת pi+1. גם אם נבחר את חזקת המיליון, עדיין נזדקק לכל החזקות ממיליון ומעלה...
לכן, לשם הפשטות, נבחר כיוצרים את חזקות כל המספרים הראשונים מהצורה 1/pi.
נוצרה השוואה מעניינת: כיוצרים לגבי השברים עם פעולת הכפל נזקקנו לכל ה- pו-1/p, וזוהי הקבוצה המצומצמת ביותר של יוצרים. לגבי החיבור, לעומת זאת, אנו נזקקים לקבוצת ה-1/pi, אך לא קיימת קבוצת יוצרים מצומצמת ביותר!
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
