בבלוג 47 הצבתי בעיה שעל פניה נראית קשה ומסובכת: להוכיח שלמשוואה x12+12,345,678,909,876,543=y16 אין פתרון במספרים שלמים.
מטרתנו הפעם כפולה:
א) להראות איך אפשר לנסח מחדש ביטוי מתמטי כדי שיתאים לנוסחה מוכרת לנו, וכך לטפל בו בעזרת הידע הקיים לגבי הניסוח הזה.
ב) להתבונן במבט חדש ורענן על בעיה מורכבת לכאורה ולגלות שמאחורי הסיבוך לכאורה מסתתר מבנה פשוט.
בבלוג הקודם למדנו לטפל בפתרונות טבעיים בנוסחה הכללית xm+a=ym, על ידי מציאת חסם עליון לערך ה-x ובדיקת כל הערכים שמתחתיו.
הנוסחה שלעיל שונה לכאורה, כי החזקות 12 ו-16 אינן שוות, אבל אם ניישם את הרעיון שבסעיף א' ונכתוב את החזקות בצורה הבאה: (x3)4+12,345,678,909,876,543=(y4)4, נקבל נוסחה מוכרת שבה m=4!
ואם נשתמש בנוסחה מבלוג 47, כשבמקוםx יש לנו x3, נקבל (12,345,678,909,876,543:4)1:3>=פx3.
אם נחשב "בערך" ובלי מחשבון, כשהביטוי בסוגריים מעוגל ל-1215, נקבל במעוגל שעלינו לבדוק אם יש פתרון עבור x>=54 - בהחלט תוצאה מקלה, אם כי כל בדיקה עדיין תחייב אותנו להעלות את x בחזקת 12, להוסיף מספר בן 17 ספרות, להוציא את השורש ה-16 מהסכום ולבדוק אם קיבלנו מספר שלם.
אך הבה נתבונן בבעיה מזווית אחרת, לגבי משוואות שבהן החזקה m=4.
הנה נראה מה קורה לספרה האחרונה כשמעלים מספר בחזקת 4: אם נכתוב את הספרות לפי הסדר מ-0 ועד 9, נקבל את סדרת החזקות במעלה הרביעית: 0, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1.
כלומר: מתקבלות אך ורק הספרות 0, 1, 5 ו-6, ואלה תהיינה הספרות של האחדות הן של חזקות x והן של חזקות y. ולכן ההפרשים יכולים להיות רק 0, 1, 4, 5, 6, ו-9.
מכאן: אם ספרת העשרות של a היא 2, 3, 7 או 8, אין לשאלה פתרון במספרים טבעיים, ובדוגמה שהבאנו ה-a שבחרנו מסתיים בספרה 3! וכך, בלי להסתבך, פתרנו את החידה: למשוואה הנ"ל אין פתרון!
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
