מה הסיכוי ששני ילדים בכיתה יחגגו את יום ההולדת באותו תאריך, ולמה זה הרבה יותר נפוץ ממה שנדמה לרובנו?
לרשימת כל הכתבות הקוליות באתר
בכיתות רבות בבתי ספר נוהגים לתלות על הקירות את תאריכי יום ההולדת של כל ילדי הכיתה. להפתעתם של רבים, לא אחת מתברר ששני תלמידים לפחות נולדו בדיוק באותו יום בשנה. בכיתת לימוד טיפוסית בישראל יש 40-30 תלמידים, ומספר ההזדמנויות ליום הולדת – כלומר מספר הימים בשנה – הוא 365, בשנה שאינה מעוברת. לכאורה נדמה שהתנגשות כזאת בימי ההולדת איננה סבירה במיוחד. אך מתברר שמספיק שיהיו בכיתה 23 תלמידים על מנת שההסתברות לכך שלפחות שניים מהם יחגגו יום הולדת משותף תעלה על 50 אחוז.
התופעה הזאת, שנראית בתחילה מנוגדת להיגיון, מכונה "פרדוקס יום ההולדת". אף שהטענה הזאת אינה מתיישבת עם האינטואיציה של רובנו, לא באמת מדובר בפרדוקס, שכן אין כאן שום סתירה פנימית, אלא רק שבירה של ציפיות.
כמו זוג יונים
בשנה רגילה יש 365 ימים. אילו הייתה לנו כיתה גדולה במיוחד, שבה 366 תלמידים, היינו יודעים בוודאות שלפחות שניים יחגגו את יום ההולדת שלהם באותו תאריך. 365 הילדים הראשונים עוד יכלו להתחלק בין המועדים ולחגוג כל אחד ביום משלו, אך הילד ה-366 ייאלץ בהכרח לחלוק יום הולדת עם אחד מחבריו, כי כל הימים כבר נתפסו. העיקרון הזה מכונה עקרון שובך היונים. המילה "בהכרח" שקולה לסיכוי של מאה אחוז, שבמונחי הסתברות שווה ל-1.
עקרון שובך היונים, סרטון מתוך "אבודים בריבוע", הטלוויזיה החינוכית:
אם בכיתה יש פחות מ-365 תלמידים, יהיה קצת קשה לחשב ישירות את התשובה לשאלה "מה ההסתברות שלפחות שני ילדים יחגגו את יום ההולדת באותו יום?". המילה "לפחות", תאלץ אותנו להתחשב בהסתברות ששני ילדים יחגגו יחד, ששלושה יחגגו יחד, ארבעה וכן הלאה, וגם שיש יותר מזוג אחד של תלמידים שחולקים יום הולדת מסוים. קל יותר לחשב את ההסתברות המשלימה, כלומר הסיכוי שאין אפילו שני תלמידים שחוגגים יום הולדת משותף. ההסתברות לכך שלפחות שני תלמידים חוגגים יום הולדת יחדיו היא 1 פחות ההסתברות המשלימה שחישבנו.
לא באמת מדובר בפרדוקס, שכן אין כאן שום סתירה פנימית, אלא רק שבירה של ציפיות. ילדים חוגגים יום הולדת | Shutterstock, Africa Studio
החישוב
כדי להקל על עצמנו מעט נניח שההסתברות ליום הולדת בכל אחד מימות השנה זהה לשאר הימים – במציאות זה לא לגמרי נכון. מכאן שההסתברות לחגוג יום הולדת בכל אחד מהימים היא 1 ל-365, כלומר 1/365.
נחזור לכיתת התלמידים. נניח שיום ההולדת של אף אחד מהם אינו תלוי ביום הולדתו של אחר, לדוגמה אין בכיתה תאומים, ותנאי הקבלה לא מתייחסים כלל לתאריך שבו נולדו. לילד הראשון בכיתה יש 365 ימים פנויים מתוך 365 ימות השנה לבחור מביניהם, שזה 365/365, השבר הזה מצטמצם ל-1, כך שהסיכוי שיחגוג לבד הוא 100%.
אך השאלה שלנו הפוכה: מה הסיכוי שהוא יחגוג עם ילד נוסף. התשובה היא ההסתברות המשלימה: 0 = 100 - 100 אחוז. ואכן ילד אחד לא יכול לחגוג עם חבר שלא קיים.
לילד השני בכיתה נותרו רק 364 ימים פנויים, כלומר 364/365. שני התנאים צריכים להתקיים יחד: הילד הראשון יבחר ביום אחד והילד השני יבחר ביום אחר. בהסתברות מבטאים את ההתניה "גם וגם" באמצעות מכפלה, כלומר (364/365)*(365/365), ששווה בערך 0.997. כלומר יש סיכוי של 99.7% ששני הילדים יחגגו בימים נפרדים, אם נחסיר את זה ממאה, נקבל שהסיכוי ששני הילדים יחגגו באותו יום הוא 0.3=100-99.7 אחוז. סיכוי קלוש מאוד.
לילד השלישי בכיתה נותרו 363 ימים פנויים, כלומר 363/365, ולכן ההסתברות שבכיתה של שלושה תלמידים כל ילד יחגוג את יום הולדתו ביום אחר היא (363/365)*(364/365)*(365/365), ששווה בקירוב 0.991. וההסתברות המשלימה, שלפחות שניים יחגגו יחד, היא 0.9=100-99.1 אחוז. עדיין סיכוי קלוש, אבל גדל. אפשר להמשיך הלאה בתרגיל עד 23. אתם מוזמנים לשלוף מחשבונים.
ככל שמספר התלמידים בכיתה יהיה גבוה יותר, כך גם יגדל הסיכוי שלפחות שניים מהם יחגגו יום הולדת משותף. אפשר לצייר את העקומה שמתארת את ההסתברות לכך ששני תלמידים לפחות יחגגו יחד בהתאם למספר התלמידים, וכך לראות את הצורה שבה ההסתברות משתנה. עבור 22 תלמידים הסיכוי עדיין קטן מחצי ועומד על כ-47%, ואילו עם התלמיד ה-23 ההסתברות לשני תלמידים לפחות שחוגגים את יום ההולדת שלהם ביחד חוצה את קו האמצע ומגיעה לכ-0.507, כלומר לסיכוי של 50.7%.
הסיכוי שלפחות שני ילדים יחגגו יום הולדת ביחד, לפי מספר הילדים בכיתה. כשבכיתה יש 23 תלמידים, ההסתברות חוצה את רף האמצע | תרשים: טל סוקולוב
אפשר להרחיב את הדיון לבעיה כללית עם m ילדים ו-n ימים, ובמקום לדבר על ילדים וימים אפשר לעסוק בתופעה הכוללת בחירה מתוך אוסף ערכים סופי בגודל n, כשיש לנו m הזדמנויות לבחור. הסתברות היא תחום מתעתע, שמוביל לעיתים קרובות למסקנות מנוגדות לתחושה הראשונית שלנו, אבל המספרים עוזרים לנו לראות את התמונה המלאה.
