תורת היחסות: התיאוריה שעיצבה
מחדש את הפיזיקה

אם נרדוף אחרי מכונית במהירות שבה היא נוסעת, נראה אותה תמיד באותו מרחק מאיתנו. אבל מה נראה אם נרדוף אחרי קרן אור במהירות האור? את השאלה הזו שאל את עצמו אלברט איינשטיין כבר כשהיה בן 16. השאלה התמימה לכאורה הביאה אותו לימים לפיתוח תורת היחסות, שחוללה מהפכה בעולם הפיזיקה.

מה נראה אם נרדוף אחרי קרן אור במהירות האור? אלברט איינשטיין | Shutterstock, vkilikov

עקרון היחסיות

בשנת 1632 ניסח גלילאו גליליי את עקרון היחסיות, שקבע כי חוקי הטבע זהים בכל המערכות שנמצאות במנוחה או שנעות במהירות קבועה, ללא תאוצה. בניסוי המחשבתי שהגה, הסביר גלילאו כי אם נסגור את עצמנו בתוך תא בספינה שנעה במהירות קבועה ואינה מתנדנדת, לא נוכל להכריע בעזרת ניסוי – למשל זריקת כדור – אם הספינה עומדת או שטה במהירות קבועה. הקביעה הזאת התייחסה לחוקי הטבע שהיו ידועים בתקופתו, ועבדו היטב לגבי חוקי המכניקה הקלאסית.

הבעיה נוצרה כשהתברר שלאור יש מהירות קבועה בחלל ריק. היא התחדדה אף יותר בראשית שנות ה-60 של המאה ה-19, כשהפיזיקאי ג'יימס קלרק מקסוול (Maxwell) ניסח את המשוואות הקרויות על שמו. משוואות מקסוול מתארות את האופן שבו מתנהגים שדות חשמליים ומגנטיים, ומאחדות אותם לישות אחת: השדה האלקטרומגנטי. מהמשוואות עולה שגלים שנוצרים בשדה האלקטרומגנטי נעים במהירות קבועה ברִיק, שנקבעת על ידי התכונות החשמליות והמגנטיות של החומר, בלי קשר למערכת הייחוס שבה הם נמדדים – כלומר בלי קשר למהירות שבה המודד עצמו נע, ביחס לאור. ניסויים שבקשו להעריך את מהירות התקדמות גלים אלקטרומגנטיים באמצעות מדידה של התכונות האלה, גילו שהיא שווה למהירות האור. האור, אם כך, הוא גל אלקטרומגנטי שמתקדם ברִיק במהירות קבועה בעלת ערך מסוים, בלי קשר למערכת הייחוס.

הסתירה בין עקרון היחסיות למהירות האור מתגלה בניסוי המחשבתי שריתק את אלברט איינשטיין הצעיר. נניח שאנחנו נמצאים על קרון רכבת שנעה במהירות קבועה בכיוון מסוים, ומסתכלים על קרן אור שנעה מחוץ לרכבת באותו כיוון. באיזו מהירות נראה את קרן האור מתקדמת ביחס לרכבת? לכאורה, לפי הפיזיקה הקלאסית, מהירות האור לעומת הרכבת תהיה שווה למהירות האור ברִיק פחות מהירות הרכבת, כלומר קטנה יותר ממהירות האור בריק. אבל כאן טמון המלכוד, כי לפי עקרון היחסיות, חוקי הטבע צריכים להתקיים בצורה זהה בכל מערכות הייחוס, ומהירות האור ברִיק היא חוק טבע. כלומר, עקרון היחסיות של גלילאו וחוק התפשטות האור לא יכולים להיות נכונים שניהם בו-זמנית. מתוך הסתירה הזאת נולדה היחסות הפרטית.

המשוואות שניסח ג'יימס קלרק מקסוול לא התיישבו עם עקרון היחסיות של גליליאו. משוואות מקסוול | Science Photo Library

האֶתֶר החמקמק

בסוף המאה ה-19 ניצבה הפיזיקה בפני תעלומה. באותה תקופה העריכו הפיזיקאים שהאור חייב לנוע בתווך כלשהו כדי להתקדם – כמו גלי מים שנעים בבריכה או גלי קול שנעים באוויר, גם האור זקוק לתווך שבתוכו יוכל לנוע. לתווך המשוער הזה, שממלא לכאורה את כל החלל ביקום, הם קראו "האֶתֶר הזוהר" (Luminiferous Aether), או בקיצור – אֶתֶר. אם האֶתֶר ממלא את כל היקום, הרי שגם כדור הארץ נע בתוך האֶתֶר, כך שיש ביניהם מהירות יחסית. דרך אחרת לנסח את זה היא שהאֶתֶר נע יחסית לכדור הארץ ויוצר מעין רוח. מכיוון שתנועת כדור הארץ סביב השמש ידועה, אפשר לחשב את המהירות והכיוון הצפויים של רוח האֶתֶר.

בשנת 1887 בקשו הפיזיקאים אלברט מייקלסון (Michelson) ואדוארד מורלי (Morley) לגלות את השפעת רוח האֶתֶר בניסוי. לשם כך השתמשו במכשיר שנקרא אינטרפרומטר. עקרון הפעולה של האינטרפרומטר מבוסס על מדידת התבנית הנוצרת כאשר שני גלים נפגשים, תופעה המכונה התאבכות. התוצאה תלויה בנקודה במחזור הגל (הפאזה) שבה נמצא כל אחד מהגלים בשעת הפגישה. אם שני הגלים נמצאים בדיוק בשיאם, נקבל גל חזק יותר שעוצמתו שווה לסכום העוצמות של שניהם. לתופעה הזאת קוראים התאבכות בונה, כי הגל המשותף הוא מעין מגדל שבנוי מצירוף שני הגלים הנפרדים. לחלופין, אם גל אחד נמצא בשיאו בעוד הגל השני בשפל, הם יבטלו זה את זה ונקבל התאבכות הורסת. מתבנית ההתאבכות שנוצרת אפשר לחשב את הפרש הזמנים בין הגלים.

לצורך הניסוי פיתח מייקלסון סוג מיוחד של אינטרפרומטר, שנקרא על שמו. באינטרפרומטר הזה, קרן שיוצאת ממקור אור עוברת דרך התקן שמפצל אותה לשתי קרניים זהות, שנשלחות בניצב זו לזו. בקצה המסלול של כל קרן ניצבת מראה מישורית, שמחזירה את הקרן לעבר מפצל הקרניים. כששתי הקרניים המוחזרות נפגשות, הן מתאבכות וכך אפשר למדוד את הפרש הזמנים ביניהן. אורך הזרועות של האינטרפרומטר זהה, כך שאין כל הבדל באורך המסלול שהקרניים עוברות.

מייקלסון ומורלי מיקמו את האינטרפרומטר כך שזרוע אחת שלו תהיה מקבילה לכיוון תנועת כדור הארץ – כלומר לכיוון המשוער של רוח האֶתֶר, והשנייה ניצבת לו. אם האֶתֶר קיים, כל אחת מהקרניים תשלים את המסלול בזמן שונה, אף שאורך המסלולים זהה.

למרבה ההפתעה לא נרשם כל הבדל בזמני ההגעה של הקרניים. פתרון אפשרי לתעלומה הציע בתחילה המתמטיקאי-פיזיקאי ג'ורג' פיצג'רלד (Fitzgerald), ואחריו הגיע גם הפיזיקאי הנדריק לורנץ (Lorentz) לאותו הסבר. לפי הפתרון שהציעו, כדור הארץ – ובתוכו האינטרפרומטר – התכווץ מעט בכיוון התנועה, במידה התלויה במהירות התנועה של כדור הארץ. לורנץ פיתח את הרעיון, ובשנת 1904 פרסם את הפתרון המלא, שזכה לשם "טרנספורמציית לורנץ" וכולל מערך של משוואות שמעביר ממערכת ייחוס אחת לשנייה, ולוקח בחשבון את התכווצות האורך בכיוון התנועה.

לפי תיאוריית האֶתֶר, קיימת מערכת ייחוס יחודית – זו שבה האֶתֶר במנוחה – שבה חוקי הטבע מתנהגים בצורתם ה"מקובלת", ואילו במערכות שנעות באופן יחסי אליה חוקי הטבע מתנהגים בצורה שונה ועצמים מתכווצים עם כיוון התנועה. אבל לממצא של מייקלסון ומורלי יש הסבר הרבה יותר פשוט, שהתברר גם כנכון: האֶתֶר אינו קיים. אם אין אֶתֶר, אין מלכתחילה סיבה לצפות להפרש זמנים בין שתי הקרניים באינטרפרומטר.

לאן נעלמה רוח האתר? אינטרפרומטר מייקלסון | תרשים: Sergey Merkulov, Shutterstock

תורת היחסות הפרטית

בניסיון לפתח תיאוריה שבה עקרון היחסיות וחוק התפשטות האור יתקיימו יחד ללא סתירה, בחר איינשטיין להתחיל מהיסוד – האופן שבו אנו מודדים זמן ומרחק.

נדמיין רכבת שנעה במהירות קבועה ביחס לרציף. נסמן שתי נקודות על הרציף, נקודה א' ונקודה ב'. ברגע מסוים, צופה שעומד על הרציף בדיוק באמצע הדרך בין א' ל-ב' רואה שני ברקים שפגעו ברציף בו-זמנית – האחד בנקודה א' והשני בנקודה ב'. מכיוון שהצופה נמצא במרחק שווה ממקומות הפגיעה של שני הברקים, האור מהם יגיע אליו בדיוק באותו זמן.

האם גם נוסע שיושב ברכבת יראה את הברקים בו-זמנית? נניח שברגע הפגיעה (ביחס לרציף), הנוסע נמצא גם הוא בדיוק באמצע הדרך בין א' ל-ב'. אך מכיוון שהנוסע נע במהירות לעבר נקודה ב', האור מהברק שפגע בנקודה ב' יגיע אליו לפני האור של הברק שפגע בנקודה א'. כלומר "בו-זמניות" היא מושג יחסי. שני אירועים שקרו בו-זמנית במערכת ייחוס אחת – זו של האדם העומד על הרציף, מתרחשים בזמנים שונים במערכת ייחוס אחרת – זו של היושב ברכבת.

צופה אחד ניצב על הרציף, בעוד השני יושב ברכבת שנעה במהירות v.

משמעות הדבר היא שגם הזמן הדרוש לרכבת להגיע מנקודה א' לנקודה ב' יהיה שונה מנקודת המבט של הצופה על הרציף ומזו של הנוסע. את המרחק בין שתי נקודות אפשר למדוד על פי הכפלת מהירות התנועה בזמן שנדרש כדי להגיע מנקודה אחת לשנייה. מכיוון שמהירות האור זהה תמיד והזמן שונה, גם המרחק שעוברת הרכבת ביחידת זמן יהיה שונה.

כלומר מקור הסתירה בין עקרון היחסיות של גלילאו לבין חוק התפשטות האור הוא בהנחות של הפיזיקה הקלאסית שלפיהן פרק הזמן המבדיל בין שני אירועים והמרחק בין שתי נקודות הם קבועים, ואינם תלויים בתנועת מערכת הייחוס. אם מבטלים את ההנחות הללו, מתקבל מערך נוסחאות חדש, שמתרגם בין מדידות המיקום והזמן של הצופה על הרציף לאלה של הנוסע ברכבת, כך שמהירות האור ברִיק תישאר זהה לשניהם.

התברר שמערך הנוסחאות הזה זהה לטרנספורמציית לורנץ. ההבדל הוא במשמעות: בעוד שלורנץ הניח שמה שמתכווץ הוא החומר, בהשפעת התנועה דרך האֶתֶר, איינשטיין הראה שמה שמתכווץ הוא המרחב עצמו.

E=mc²

אחת המסקנות החשובות ביותר של היחסות הפרטית היא שמסה – כמות החומר – שקולה לאנרגיה. לכל גוף שנמצא בתנועה יש אנרגיה קינטית (אנרגיית תנועה), שתלויה במהירותו ובמסתו של הגוף. לפי היחסות הפרטית, גם במערכת ייחוס שבה הגוף אינו נע, עדיין יש לגוף אנרגיה כזאת, שתלויה רק במסה שלו. כלומר זו האנרגיה של הגוף במערכת שבה הוא נמצא במנוחה, והיא שווה למסה שלו כפול מהירות האור בריבוע. זוהי בדיוק המשוואה המפורסמת E=mc². מכיוון שמהירות האור היא קבועה, המשוואה קובעת למעשה שאנרגיה ומסה הן שני צדדים של אותו המטבע.

כזכור, עקרון היחסיות קובע שחוקי הטבע צריכים להתקיים בצורה זהה בכל מערכות הייחוס שנמצאות במנוחה או נעות במהירות קבועה. חוקי הטבע של הפיזיקה הקלאסית כוללים בין השאר את חוק שימור המסה ואת חוק שימור האנרגיה. שני החוקים האלה קובעים שהמסה הכוללת והאנרגיה הכוללת של מערכת סגורה כלשהי, שאינה קולטת חומר או אנרגיה מבחוץ או פולטת אותם למערכות אחרות, אינן יכולות להשתנות. חומר אינו יכול להופיע יש מאין או להיעלם לשום מקום. תורת היחסות הפרטית איחדה את שני החוקים האלה לחוק שימור אחד: חוק שימור המסה והאנרגיה. כך סלל איינשטיין, בין השאר, את הדרך אל פצצת הגרעין, שלוקחת חומר והופכת אותו להרבה מאוד אנרגיה.

מכיוון שמהירות האור היא קבועה, המשוואה המפורסמת של איינשטיין קובעת שאנרגיה ומסה הן שני צדדים של אותו המטבע. המשוואה E=mc² על רקע תמונתו של איינשטיין | Mehau Kulyk, Science Photo Library

עקרון השקילות

עקרון היחסיות עסק במקרה הפרטי של תנועה במהירות קבועה, בלי תאוצה. מכאן גם בא השם – יחסות פרטית. אך מה קורה במקרה הכללי, שבו יש גוף שמאיץ לעומת מערכת הייחוס?

חוקי המכניקה הקלאסית מלמדים שלגופים יש תכונה פיזיקלית שנקראת מסת התמד, שמגדירה את מידת ההתנגדות של הגוף לשינוי במהירותו. ככל שמסת ההתמד של גוף גבוהה יותר, נצטרך להשקיע יותר כוח כדי להאיץ או להאט את מהירותו.

בנוסף, המכניקה הקלאסית קובעת שלכל גוף יש מסת כבידה, תכונה נוספת שקובעת מהי מידת המשיכה בין שני גופים. ככל שמסת הכבידה של גוף גדולה יותר, הוא נמשך חזק יותר לגופים אחרים בעלי מסת כבידה. את הכבידה של כדור הארץ, למשל, אנו מרגישים ככוח משיכה שמושך אותנו אל האדמה.

כבר גלילאו גליליי הוכיח בניסוי שערך במגדל הנטוי בפיזה שפרט להשפעה המאיטה של החיכוך עם האוויר, עצמים יפלו ארצה באותה תאוצה ובאותו זמן בלי קשר למסת הכבידה שלהם, בהשפעת המשיכה שלהם לכדור הארץ. מאות שנים אחריו שחזרו האסטרונאוטים של החללית אפולו 15 את הניסוי על אדמת הירח, ללא אוויר, עם נוצה ופטיש. כוח המשיכה שיפעל על הפטיש, בעל מסת הכבידה הגדולה יותר לעומת הנוצה, יהיה גדול יותר, אך גם התנגדותו לשינוי במהירות תהיה גדולה יותר. כתוצאה מכך, שניהם יגיעו לקרקע באותו זמן בדיוק. מכאן אפשר להסיק שמסת ההתמד של העצם ומסת הכבידה שלו שקולות וזהות זו לזו.

ללא חיכוך עם האוויר, שני החפצים יגיעו לקרקע יחדיו. ניסוי הנוצה והפטיש של אפולו 15: 

מה המשמעות של כל זה? נדמיין אדם שניצב בתוך מעלית שמרחפת בחלל, הרחק מכל כוכב או מסה אחרת, כך שהוא אינו מרגיש כל כוח משיכה. נעליו מודבקות לרצפת המעלית כדי שלא ירחף. כעת נדמיין שכבל מתחיל למשוך את המעלית מהתקרה בתאוצה קבועה. האיש שבמעלית ירגיש שהוא נמשך לרצפה, ושרירי רגליו יצטרכו להתנגד למשיכה הזאת כדי שלא יקרוס על רצפת המעלית. אם הוא יוציא חפץ מכיסו וירפה ממנו בחלל המעלית, הוא יראה שהחפץ יאיץ לכיוון הרצפה – כלומר ייפול לעברה. אם יוציא חפץ נוסף בעל מסה אחרת, גם החפץ הזה ייפול לרצפה באותה תאוצה בדיוק. לאדם הזה אין דרך לדעת אם המעלית מאיצה, או שהיא נמצאת תחת השפעה של כבידה. זהו עקרון השקילות: במדידה מקומית (שמתבצעת באזור קטן ביחס לגוף שיוצר את הכבידה) לא ניתן להבחין בין תאוצה לכבידה.

מרחב עקום

כשאיינשטיין ניסח את תורת היחסות הפרטית הוא התחיל, כאמור, בבסיס – באופן שבו אנו מודדים מרחק וזמן. אך כשמנסים להכליל את זה למערכות ייחוס מאיצות, מתעוררת בעיה.

נדמיין חצר עם קרוסלה שמסתובבת במהירות זוויתית קבועה. אדם שיושב במרכז הקרוסלה יהיה נייח יחסית לחצר, שכן המרכז אינו מסתובב. לעומת זאת, מי שיושב על כיסא בקצה הקרוסלה ינוע בתנועה מעגלית. כפי שכבר ראינו, הזמן מתקדם בקצב שונה כשנעים במהירות או כשעומדים במקום. משום כך הזמן יתקדם בקצב שונה במקומות שונים על פני הקרוסלה.

כעת נניח שאותו אדם מעונין למדוד את היקף הקרוסלה באמצעות מוט מדידה קצר. אם הוא יספור כמה פעמים נכנס המוט בהיקף הקרוסלה בעודה מסתובבת, הוא ימדוד הקף קצר יותר מזה שהיה מודד אילו הייתה במנוחה, עקב התכווצות האורך. לעומת זאת, אם ימדוד את קוטר הקרוסלה המסתובבת הוא יקבל ערך זהה לזה שיתקבל במנוחה, משום שהקוטר ניצב לכיוון התנועה המעגלית.

כפי שידעו כבר ביוון העתיקה, היחס בין היקף מעגל לקוטרו הוא גודל קבוע המכונה פאי, שערכו הוא קצת יותר מ-3.14. אך מכיוון שההיקף שמדד האיש המסתובב בקרוסלה הוא קטן יותר, היחס בין ההיקף לקוטר שלה יהיה שונה מפאי. כלומר הכללים המוכרים של הגיאומטריה האוקלידית, שרובנו למדנו כבר בבית הספר היסודי, אינם תקפים למערכות מאיצות. וכפי שעקרון השקילות מלמד אותנו הם אינם תקפים גם בנוכחות של כבידה. כדי לתאר את היקום בצורה מדויקת עלינו ללכת צעד נוסף הלאה ולהבין שהמרחב יכול להתעקם.

כדי לתאר את היקום בצורה מדויקת עלינו להבין שהמרחב יכול להתעקם. איור שמתאר את תורת היחסות הכללית | Richard Jones, Science Photo Library

תורת היחסות הכללית

לצורך ההמחשה נדמיין שיש לנו יריעת גומי גדולה ומתוחה. נצייר על פניה רשת של קווי אורך ורוחב מקבילים, בדומה לקווי האורך והרוחב במפה. כל נקודה על גבי היריעה מוגדרת על ידי צירוף ייחודי של קו אורך וקו רוחב מסוימים.

כעת נניח כדור כבד במרכז היריעה. הכדור ימתח את היריעה כלפי מטה ויעוות את צורתה באזור הסמוך אליו. הרשת שסרטטנו על היריעה כבר לא תהיה רשת של קווים ישרים, אלא עקומים, אבל עדיין נוכל להגדיר כל נקודה על היריעה באמצעות צירוף ייחודי של קו אורך וקו רוחב.

באופן דומה, כדי לתאר את המרחב – שכולל את שלושת ממדי החלל ואת הזמן כממד נוסף – אפשר להגדיר רשת של עקומות בעלת ארבעה ממדים, כך שכל נקודה במרחב תוגדר על ידי ארבעה מספרים. כעת איננו זקוקים יותר למערכת ייחוס – המרחב עצמו הוא מערכת הייחוס שלנו. אנו יכולים להגדיר כל אירוע, מיקום בחלל ובזמן, בעזרת ארבע הקואורדינטות שלנו.

לפי היחסות הכללית נוכחות של חומר מעקמת את מרחב החלל-זמן בדומה לאופן שבו הכדור מעקם את יריעת הגומי הדו-ממדית. כך אפשר להסביר את כוח המשיכה של השמש, למשל: כדור הארץ מסתובב סביב השמש משום שהוא לכוד בשקע שהיא יוצרת במרחב הסובב אותה. באופן דומה אנחנו נמשכים לכדור הארץ משום שהמסה שלו מעקמת את המרחב סביבנו ועלינו להתאמץ כדי להתרחק ממנו.

מרחב החלל-זמן מתעקם בקרבת השמש וכדור הארץ, כמו יריעת גומי שהניחו עליה כדור כבד | איור: vchal, Shutterstock

מוזר אבל מדויק

כבר במועד פרסומה בשנת 1915 הצליחה תורת היחסות הכללית להסביר סטיות מוכרות במסלולו של כוכב חמה (מרקורי) סביב השמש, לעומת המסלול שחזתה הפיזיקה הקלאסית. בנוסף, איינשטיין חישב את מסלול תנועתן של קרני אור בהשפעת כבידה, וחזה שניתן לראות כוכבים שנמצאים מאחורי השמש (ולכן לכאורה מוסתרים על ידה), מפני שהכבידה שלה מעקמת את האור המגיע מהם. מאחר שהעיקום הזה דומה לאופן שבו עדשה אופטית מרכזת אור, התופעה נקראת עידוש כבידתי.

אורה העז של השמש לא מאפשר לראות כוכבים שנמצאים בקרבתה בשמיים, אבל איינשטיין העריך שיהיה אפשר לחזות בעידוש הכבידתי במהלך ליקוי חמה מלא. ואכן, במהלך ליקוי החמה שהתרחש ב-29 במאי 1919 הראה צוות בראשות האסטרופיזיקאי ארתור אדינגטון (Eddington) שמיקומם הנראה של הכוכבים בקרבת השמש אכן היה שונה ממיקומם הרגיל בשמיים, ושמידת הסטייה תאמה בדיוק לזאת שאיינשטיין חזה. האישוש הזה לתיאוריה של איינשטיין הגיע לכותרות הראשיות של עיתוני התקופה, ושמו של איינשטיין נודע בעולם כולו.

הניבוי של איינשטיין אושר רק כעבור מאה שנה, כשפותחו גלאים רגישים מספיק. הדמיה של גלי כבידה | איור: Mark Garlick, Science Photo Gallery

מאז עמדה תורת היחסות הכללית במבחנים רבים ואוששה פעם אחר פעם. התגלית המשמעותית ביותר בשנים האחרונות הקשורה אליה הייתה זו של גלי הכבידה (גלים כבידתיים) שנפלטים כששני כוכבים מסיביים מתמזגים. לפי היחסות הכללית, כששני כוכבים חגים זה סביב זה לפני המיזוג ביניהם, הם יוצרים גלים שמתפשטים במרחב החלל-זמן. בשנת 2015, כמעט מאה שנה אחרי שאיינשטיין חזה את קיומם, הצליח צוות גדול של חוקרים לגלות לראשונה גלי כבידה שנפלטו משני חורים שחורים שהתמזגו. התגלית, שזיכתה את מפתחי הגלאים בפרס נובל בפיזיקה, פתחה חלון חדש שמבעד לו אנחנו יכולים לצפות ביקום. כעת איננו מוגבלים רק לקרינה אלקטרומגנטית המגיעה אלינו מהחלל, אלא ביכולתנו למדוד את השפעת הכוכבים על המרחב עצמו.

הכתבה מבוססת במידה רבה על ספרו של אלברט איינשטיין משנת 1916: "על תורת היחסות הפרטית והכללית".