האם יש מספרים
לא אמיתיים?

כשאנחנו חושבים על מספרים, הדבר הראשון שעולה בדעתנו הוא הספרות אחת, שתיים ושלוש. לא משנה לצורך העניין אם מדובר ב"אנחנו" כשהיינו צעירים מאוד, או ה"אנחנו" האנושי הקדום מלפני כמה עשרות אלפי שנים. משם התחלנו. ממספרים שהם דבר אחד ועוד דבר ועוד דבר.

דוגמאות לייצוג של מספרים ממשיים כנקודות על ציר המספרים הממשיים | BaMic_illustrations, Shutterstock

כיום, בכיתה ד' אנחנו כבר מסכימים שמספרים הם לא רק דברים שסופרים איתם, אלא גם דברים שמודדים בהם. כך חצי, שליש ושבע שמיניות מתקבלים למועדון המספרים. בכיתה ז', אחרי קצת שכנוע, אנחנו נאותים לתת גם למספרים שליליים מעמד של מספרים אמיתיים, ומשרטטים בדיצה את ציר המספרים הממשיים. הציר הזה רציף, הוא נמתח כמה שנרצה לשני הכיוונים, הוא אלגנטי, הוא רציונלי, הוא אי-רציונלי, כל המספרים נמצאים עליו וכולם אוהבים אותו! זהו. הסוף. מצאנו את כל המספרים.

ואז, אי שם לקראת סוף בית הספר התיכון, חלקנו מגלים שיש עוד מספרים. ציר שלם של מספרים שהסתירו מאיתנו עד כה; מספרים שאמורים להיות שורשים של מספרים שליליים. הזוי. המספרים החדשים האלה, המרוכבים, אפילו נקראים "מספרים דמיוניים", או "מדומים", כך שמותר לנו להירגע – הם רק תעלול של מתמטיקאים; תעלול אינטלקטואלי. אלה לא באמת מספרים אמיתיים.

אתה אמיתי? שורש ריבועי של מספר שלילי נותן מספר מרוכב | Robert Brook, Science Photo Library

עידן הנאורות

אבל מה זה בעצם אומר - להיות מספר אמיתי? מתברר שזאת שאלה מורכבת שעוררה אי-הסכמות גדולות, על סף ריבי השמצות ושיימינג שלא היו מביישים את אחרוני הטוקבקיסטים. זה קרה כבר בשלב שבו נדרשנו להכניס פנימה את המספרים השליליים. הייתם חושבים שמשהו בסיסי כזה קרה לפני כמה אלפי שנים, או שוויכוחים קטנוניים כאלה מתאימים לתקופות "חשוכות". אבל לא, מדובר בסוף המאה ה-18, בשלהי עידן הנאורות, אחרי שגליליאו וניוטון כבר פענחו את סודות תנועת גרמי השמיים. בשנת 1796, בהקדמה שכתב ל"עקרונות האלגברה"  ציין ויליאם פרנד (Frend), שאומנם לא היה מתמטיקאי, אבל עסק בכלכלה וכתב כמה ספרים להנגשת המתמטיקה לציבור: 

קטלני. בלי בושה ובלי כפפות. ובאמת, כשעוצרים לרגע לחשוב על זה, מה זאת אומרת שמינוס 2 הוא "מספר אמיתי"? מה אמיתי בו? באיזה מובן הוא אמיתי? אפשרות אחת היא לוותר על הרעיון של "מספר אמיתי". אבל האם זה אומר שכל המספרים הם "אמיתיים" באותה המידה? גם הדמיוניים ההם מקודם? או שאנחנו צריכים למצוא משמעות שבה המספרים השליליים הם אמיתיים. התשובה לא יכולה להיות "לייצג משהו שקיים", כי מעצם טבעם המספרים השליליים מייצגים היעדר, ולא קיום. אז הלוליינות המנטלית המקובלת היא להגיד שהמספרים השליליים אמיתיים כי אפשר לתאר בעזרתם תופעות אמיתיות. חובות, גובהו של ים המלח יחסית לפני הים התיכון, מהירות של נסיעה לאחור – כולן תופעות אמיתיות בעולם האמיתי, שהמספרים השליליים מתארים היטב. יכולנו כמובן לתאר אותן באמצעות מספרים חיוביים בלבד, עם כל מיני תוספות, אבל זה היה סתם סרבול מיותר. 

מביע זעזוע מעצם הרעיון של מספרים שליליים, סוף המאה ה-18 | עמוד מתוך עקרונות האלגברה מאת ויליאם פרנד

דמיון ומציאות

אפשר לדבר ארוכות על יופי ואסתטיקה, על התחושה שכך הדברים היו אמורים להיות מלכתחילה. אבל הטיעונים הללו משכנעים רק את המשוכנעים, או ליתר דיוק, את מי שיודעים איך העסק עובד. אבל אם אנחנו מחפשים מקור סמכות לתו תקן של "אמיתיות", קשה יהיה למצוא סמכות חדה ומובהקת יותר מאשר העולם. המציאות. 

נחזור למספרים ה"דמיוניים" שלנו. כן, הם יכולים להיות פתרונות של משוואות שעד כה נחשבו נטולות פתרון, אבל זה בפני עצמו לא מספיק כדי להיות "אמיתי". כי אז למה לא ניקח כל דבר שאין לו פתרון, נמציא סימן חדש כלשהו שיהיה הפתרון וחסל. הופ, נולד לנו "מספר מסוג חדש". המתמטיקה, כמובן, לא עובדת ככה. המספר החדש צריך גם "להתנהג יפה", כלומר להשתלב עם החוקים שקדמו לו. בנוסף, אם הטיעון היחיד לזכותם של המספרים המדומים היה שהם מאפשרים לפתור יותר משוואות, לא היה יוצא מהם דבר. הם היו נזנחים בחצר הגרוטאות של תולדות המתמטיקה לצד פיתוחים אחרים שאין באמת מה לעשות בהם.

כשהפיזיקאי האוסטרי ארווין שרדינגר פיתח את המשוואה הקרויה על שמו, שמתארת את התנהגותם של חלקיקים קוונטיים, הוא הבחין ברכיב מדומה שהתגנב לתוכה. כמו הנסיכה על העדשה, לא היה לו נוח עם זה. "מה שלא נעים פה, ויש להתנגד אליו, הוא השימוש במספרים מרוכבים. הפונקציה היא כמובן ממשית ביסודה", כתב בשנת 1926 לעמיתו הנדריק לורנץ (Lorentz). עד מהרה הוא גם תיקן את עצמו וכתב במפורש את משוואת הגל ה"אמיתית" בלי שום מספרים דמיוניים. "עוד אבן כבדה נגולה מעל ליבי", כתב לפיזיקאי מקס פלאנק (Planck) פחות משבוע אחרי מכתבו ללורנץ. אבל מהר מאוד התברר ש"משוואת הגל האמיתית" הזאת הרבה יותר מסורבלת מהגרסה המרוכבת שלה. תוך שנה חזר שרדינגר עצמו להשתמש במשוואה המקורית, למרות חוסר הנוחות שעוררה בו. 

שרדינגר עצמו היסס להשתמש במספרים מרוכבים במשוואת הגל הקרויה על שמו, אך נעתר כשהבין כי הם מפשטים אותה. משוואת שרדינגר | local_doctor, Shutterstock

הסיוט של שרדינגר חוזר

המספרים המדומיינים הללו המשיכו לככב במכניקת הקוונטים, אבל לפחות יכולנו להתנחם בכך שהם רק תעלול מתמטי. אולי ראינו בהם קיצור דרך נוח, אבל ידענו שאם נרצה נוכל להביע את כל הרעיונות באמצעות המספרים האמיתיים. אך מאמר שהתפרסם לאחרונה מבקש לערער גם את חצי הנחמה הזאת. החוקרים הראו בו שאפשר להעמיד ניסוי שבו הגרסה האמיתית והמדומיינת יפיקו תחזיות שונות. לטענת החוקרים, כל עוד יש לנו מערכת קוונטית אחת, למשל ניסוי אחד שמתרחש במעבדה אחת, אכן אפשר לתאר את הכול במונחים ממשיים, בלי לערב מספרים מרוכבים. אבל, הוסיפו, אפשר לתכנן ניסויים שיפוזרו בין כמה מעבדות נפרדות, ובהם זה כבר לא יספיק. 

הסיוט של שרדינגר חוזר, והוא גדול יותר, בלתי נמנע יותר, ולמרבה האירוניה גם הרבה יותר אמיתי. אבל האימה לא מסתיימת בזה. האפילוג של הסיפור מערער אפילו יותר. יש כיום מדענים שמבקשים לבחון מחדש גם את שאלת האמיתיות של המספרים הממשיים עצמם. לשם כך עלינו לחזור לשורשי האמיתיות. הסכמנו קודם שהמספרים האי-רציונליים אמיתיים, משיקולי אורך. הם מייצגים משהו. אבל... מה בדיוק? 

אנחנו יודעים היום שהפיזיקה התת-אטומית אינה רציפה. אפילו האור קופץ ב"מנות". קוונטות. זאת הייתה התובנה שהניעה את גלגלי המהפכה הקוונטית בפיזיקה. בקנה המידה הקטן מאוד, הכול בא במנות. שום דבר אינו רציף. לכל דבר יש יחידה מזערית משלו, שפחות ממנה אי אפשר. לאור יש פוטונים, לזרם חשמלי יש אלקטרונים ועוד. לכן אי אפשר ליצור מטען חשמלי של חצי אלקטרון, או שליש, או רבע. יש חלקיקים שהם הקטנים ביותר, ואין קטנים מהם. זאת לא התנהגות של מספרים ממשיים. זאת אפילו לא התנהגות של מספרים רציונליים. זאת התנהגות של מספרים שיש ביניהם חורים. וזה מחזיר אותנו הרחק הרחק אחורה, אל העולם הבדיד של המספרים הטבעיים.

אז מהם המספרים האמיתיים באמת? כמו כל שאלה שעוסקת בהבלי העולם הזה, היא לא ממש מטרידה את המתמטיקה. המתמטיקה מקבלת את כל המספרים, ונותנת לכל סוג של מספרים את המקום המכובד המגיע להם. אם אתם, כבני אדם גשמיים וארעיים, מרגישים צורך לדעת מה אמיתי בעולם שלכם ומה לא, זאת כבר לחלוטין לא הבעיה של המתמטיקה. את צרות העולם הזה אתם מוזמנים לפתור בעצמכם.