למספרים יש שימושים רבים בחיי היומיום שלנו. אין יום שאנו לא סופרים בו או מציינים כמויות וגדלים. עולם המספרים הזה, שלפעמים נראה לנו מובן מאליו, עבר עם השנים התפתחויות, שינויים ואפילו טלטלות.

המתמטיקאים מחלקים את עולם המספרים לכמה קבוצות, שיש ביניהן קשרים, כך שכאשר מציינים מספר כלשהו נהוג לציין לאיזו קבוצה הוא שייך. אחת הקבוצות היא המספרים השלמים, שמסומנת באות $ \mathbb{Z}$. היא מכילה את המספרים הטבעיים, שהם המספרים השלמים החיוביים ומסומנים באות $\mathbb{N}$. קבוצה נוספת היא המספרים הרציונליים, שמסומנת באות $ \mathbb{Q}$, ומוגדרת כקבוצת כל המספרים שאפשר לבטא כמנה של שני מספרים שלמים (כשהמכנה שונה מ-0). לדוגמה: $\dfrac{1}{3}$ או $\dfrac{-9}{4}$. נשים לב שהמספרים השלמים הם גם מספרים רציונליים, שכן אפשר לבטא כל מספר $a$ כ- $\dfrac{a}{1}$. לעומת זאת, המספרים האי-רציונליים מוגדרים כמספרים שאי אפשר להציגם כמנה של שני מספרים שלמים.

כל הקבוצות האלו מוכלות בקבוצת המספרים הממשיים, שמסומנת ב- $\mathbb{R}$, ונהוג להציג אותה כנקודות על הישר הממשי. קיימות גם קבוצות נוספות, אך עליהן לא נדבר הפעם. קבוצות המספרים השונות לא התגלו ולא הוגדרו באותו זמן, אלא במהלך התפתחויות וגילויים שארכו שנים רבות. בכתבה הזו נתרכז בגילוי המספרים האי-רציונליים.


מערכת המספרים הממשיים: יחסי ההכלה בין קבוצות המספרים

 


הישר הממשי | תרשים: ויקיפדיה

גילוי המספרים האי-רציונליים

את המספרים האי-רציונליים גילו פיתגורס ותלמידיו מ"האסכולה הפיתגוראית", אך הגילוי נשמר בסוד. מדוע? משום שהפיתגוראים האמינו שלמספרים וליחסים ביניהם יש כוחות מאגיים ואמרו ש"העולם הוא מספר", כלומר נשלט על ידי היחסים בין המספרים.

הפיתגוראים האמינו שכל גודל בטבע ניתן לביטוי כמספר שהוא יחס בין מספרים שלמים (ובמושגים שלנו מספר רציונלי). מכאן נבע שגודל הצלעותי של מצולעים , שהם גדלים טבעיים בעולם, יהיו כולם מספרים רציונליים.


פיתגורס | ציור: רפאל; התמונה לקוחה מוויקיפדיה

על פי משפט פיתגורס, $\sqrt{\;2\;}$ הוא אורך האלכסון של ריבוע היחידה, שאורך צלעותיו הוא 1 ס"מ. לפי ההנחה של הפיתגוראים, אורך האלכסון הזה אמור להיות רציונלי. זמן רב הם ניסו לבטא את $\sqrt{\;2\;}$ כמספר רציונלי, כלומר, למצוא מספרים שלמים $m$ ו- $n $  כך ש- $\sqrt{\;2\;} = \frac{\;m\;}{\;n\;}$ . כאשר נוכחו לדעת שהדבר אינו אפשרי, עברה המתמטיקה הפיתגוראית משבר גדול.

כך קרה שהפיתגוראים שמרו בסוד דבר שנחשב כיום גילוי משמעותי, מכיוון שהוא סתר את ההנחות הבסיסיות של תורתם. הפילוסוף היפאסוס, שהיה אחראי על התגלית, סולק מהאסכולה, ובגרסאות מסוימות של הסיפור נאמר שהוא טבע כעונש מהאלים או הוטבע על ידי חברי האסכולה. עם זאת, גרסאות אחרות טוענות שהגילוי לא זעזע עד כדי כך את עולמו של פיתגורס.


ריבוע היחידה שאורך אלכסונו הוא $\sqrt {\;2\;}$ ס"מ 

מדוע $\sqrt{\;2\;}$ הוא מספר אי-רציונלי?

ננסה עתה להבין מדוע $\sqrt{\;2\;}$ אינו מספר רציונלי. נשתמש בהוכחה בדרך השלילה, ונניח שקיימים מספרים שלמים $m$ ו- $n$ כך ש- $\sqrt{\;2\;} = \frac{\;m\;}{\;n\;}$, כאשר $\frac{\;m\;}{\;n\;}$ הוא שבר מצומצם. משמעות המשוואה היא ש-$2 = (\dfrac{\;m\;}{\;n\;})^2 = \dfrac{\;m^2\;}{\;n^2\;} $, כלומר $2n^2=m^2$.

מקרה א': נניח ש- $m$  הוא מספר אי זוגי. אזי גם $m^2$ הוא מספר אי-זוגי, אך זה לא יייתכן שכן $2n^2$ יהיה זוגי תמיד (בהיותו כפולה של 2), ולכן שני צידי המשוואה שונים זה מזה.

מקרה ב': נניח ש- $m$ זוגי. מכיוון ש- $\frac{\;m\;}{\;n\;}$ הוא שבר מצומצם, חייב להתקיים ש- $n$ הוא מספר אי-זוגי (אחרת יכולנו לצמצם את השבר ב-2).  $2n^2$ יהיה מספר זוגי שאינו מתחלק ב-4, מכיוון ש-$n^2$ אי-זוגי. לעומת זאת, $m^2$ יהיה מספר זוגי שכן מתחלק ב-4, ולכן לא ייתכן שוויון בין האגפים. כלומר, בכל מקרה לא יכול להיות שהשוויון מתקיים וכך סתרנו את ההנחה ש- $ \sqrt{\;2\;} = \frac{\;m\;}{\;n\;}$, ומכאן נובע ש-$\sqrt {\;2\;}$ אינו מספר רציונלי.

ל-$ \sqrt{\;2\;}$ הצטרפו עד מהרה מספרים אי-רציונליים נוספים: עם הזמן גילו היוונים שאם השורש הריבועי של מספר אינו שלם, אזי הוא אינו רציונלי. כלומר, $\sqrt{\;9\;}$, שהוא 3, או $\sqrt{\;25\;}$, שהוא 5, הם מספרים רציונליים שכן הם מספרים שלמים, אבל $\sqrt{\;12\;}$$\sqrt{\;5\;}$$\sqrt{\;10\;}$ וכו' הם אי-רציונליים.

השאלה שנותרה היא האם אפשר לבטא את השורשים הריבועיים האי-רציונליים כמספר כלשהו בלי להשאיר את סימן השורש?

ביטוי מקורב של שורשים אי-רציונליים

מספרים אי-רציונליים הם מספרים שהביטוי שלהם בהצגה עשרונית הוא אינסופי ולא מחזורי (כלומר, בהצגה עשרונית יהיו להם אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית, ללא מחזוריות). לכן, אי אפשר למצוא ביטוי עשרוני מדויק לשורשים ריבועיים אי-רציונליים, אך יש כמה שיטות להוצאת שורש ריבועי שנותנות קירוב של המספר או ביטוי ששואף למספר המדויק. השיטות האלו הן הבסיס לחישוב השורשים שעושה המחשבון, שהפך להיות כלי חישובי זמין רק בשנות ה-60' של המאה הקודמת. עד אז תלמידים למדו בבית הספר חלק מהשיטות הללו.

הדרך הקלה ביותר היא למצוא קירוב על ידי הוצאת שורש ריבועי ממספר שלם. לדוגמה: $\sqrt{\;83\;} \approx \sqrt{\;81\;} = 9$. אם רוצים קירוב מדויק יותר אפשר להפעיל את "שיטת ניוטון-רפסון", שמתייחסת למציאת שורשים של פונקציה ומשתמשת בכלים של אנליזה כמו נגזרת ומשיק. שיטה אחרת, בשם "השיטה של הרון" פותחה עוד בתקופת הבבלים.

במקרה של $\sqrt{\;2\;}$, קיימות דרכים נוספות לבטא אותו. הנה כמה מהן. 

דרך אחת היא לבטא את $\sqrt{\;2\;}$ כשבר משולב: $\sqrt{\;2\;} = 1+ \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{...}}}}$. 

השימוש בשבר משולב מתאים גם לחישוב שורשים ריבועיים אי-רציונליים נוספים.

דרך שנייה לבטא את $\sqrt{\;2\;}$ היא להשתמש בסדרת פל, שהיא סדרת מספרים טבעיים המוגדרת על ידי נוסחה רקורסיבית: $P_{\;n}=2P_{\;n-1}\;+\;P_{\;n-2}$ ל- $n>1$, כאשר $P_{\;0}=0$ ו- $P_{\;1}=1$.

איברי הסדרה הם 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985 וכן הלאה. אם מסתכלים על היחס בין שני איברים עוקבים בסדרה (שהוא מספר רציונלי), מקבלים שהיחס שואף ל- $\sqrt{\;2\;} + 1$, המכונה גם "יחס הכסף". הסיבה לכך נובעת מהנוסחה הישירה של איברי הסדרה: $P_{\;n}=\dfrac{(\sqrt{\;2\;} + 1)^n - (1 - \sqrt{\;2\;})^n}{2\sqrt{\;2\;}}$. עבור ערכי $n$ גבוהים, הגורם הדומיננטי בביטוי הוא $(\sqrt{\;2\;} + 1)^n$ ולכן $\lim_{\; n\to\infty\;}{\;\dfrac{P_n}{P_{n-1}}} = \sqrt{\;2\;} + 1$. בפועל, כבר באיבר התשיעי מקבלים קירוב טוב ל$\sqrt{\;2\;}$: $\dfrac{\;P_10\;}{\;P_9\;} =2.4142 \approx \sqrt {\;2\;}+1$. כמובן, ככל שמתקדמים ומחשבים איברים נוספים בסדרה, הערך שמקבלים מדויק יותר. 

דרך שלישית היא לבטא את $\sqrt{\;2\;}$ על ידי סדרת המספרים הרציונליים 1,1.4,1.41,1.414 וכו, סדרה שמתקבלת על ידי חישוב אלגוריתמי שמתבסס גם הוא על נוסחה רקורסיבית. הקירוב הזה פחות טוב מאלה שראינו לפניו. המעניין בסדרה הזו הוא שזו סדרה של מספרים עשרוניים אינסופיים מחזוריים (כלומר, בעלי פיתוח עשרוני שחוזר על עצמו החל ממקום מסוים אחרי הנקודה העשרונית).
 
משפט יפה בקשר למספרים כאלו, שמחזיר אותנו להבדלים בין מספרים רציונליים לאי-רציונליים, הוא שאם הפיתוח העשרוני של מספר הוא מחזורי, אזי הוא מספר רציונלי (ולהפך - כל מספר רציונלי אפשר לרשום כמספר שהפיתוח שלו מחזורי או סופי). המשפט הזה נותן לנו כלי לזהות האם מספר הוא רציונלי או אי-רציונלי.

אם נסתכל לדוגמה על המספר ...0.1001000100001, האם לדעתכם הוא מספר רציונלי או אי-רציונלי? מבט מהיר מכלה שהמספר אמנם נראה יפה ואפשר לכן לחשוב שהוא גם רציונלי, אך למעשה הוא אי-רציונלי משום שאינו מחזורי.

המספרים האי-רציונליים למעשה רבים מהמספרים הרציונליים, אך יש לנו עוד הרבה שאלות מעניינות לגביהם. השיטות לעשות קירוב שלהם עוזרות לנו להבין אותם קצת יותר.

יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

13 תגובות

  • א.עצבר

    מדוע באו לעולם המספרים אחרי הפסיק ?

    מדוע באו לעולם המספרים אחרי הפסיק ? השימוש במספרים ללא סוף המופיעים אחרי הפסיק נובע מהחלטה להשתמש אך ורק בחלקים העשרוניים של 1 , כמו עשירית , מאית , אלפית , וכו , ( ההחלטה הפסיקית) לשם פשטות נשתמש בביטוי אנטי 10 כדי לתאר עשירית, אנטי 7 כדי לתאר שביעית, אנטי 3 כדי לתאר שליש , אנטי 1000 כדי לתאר אלפית , וכן הלאה. מעתה יהיו מספרים טבעיים ואנטי מספרים טבעיים, והמשוואה....... N כפול אנטי N = 1 מתי מופיעים המספרים אחרי הפסיק ?
    המספרים אחרי הפסיק מופיעים, כאשר מקיימים את "ההחלטה הפסיקית" , ומנסים לתאר את אנטי 3 עם החלקים העשרוניים של 1
    אנטי 3 = 3אנטי10 + 3אנטי100 + 3אנטי1000 + 3אנטי10000 +++ ללא סוף.
    בתיאור זה אין כל תועלת, מכיוון שאנטי3 הוא ביטוי כמותי מדויק ומושלם, והאגף השמאלי של המשוואה הוא ביטוי כמותי מסורבל, לא יעיל, ולא מושלם. מה יקרה אם נבטל את ההחלטה הפסיקית ? ......אז נקבל מתמטיקה מדויקת ומושלמת. במקום המשוואה שאינה מדויקת ואינה מושלמת ...... 7 חלקי 11 = ...0.6363636
    נקבל משוואה מושלמת ........................................7 חלקי 11 = 7אנטי11 תמיד אפשר לרשום משוואה מושלמת כמו...............37 חלקי 17 = 37 אנטי17
    מה התועלת ברישום הלא מושלם ........................37 חלקי 17 = 2.1764706 על פי ההחלטה הפסיקית, אורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו 1 ,
    הוא גדול מ 1.414213 וקטן מ 1.414214
    ובלי ההחלטה הפסיקית ....הוא גדול מ 2402אנטי1700 וקטן מ 109אנטי77 מדוע באה ההחלטה הפסיקית לעולם ? מדוע לא לבטל את ההחלטה הפסיקית ?
    מדוע לא להשתמש בכל האנטי מספרים , ולא רק באנטי מספרים עשרוניים ?
    הרי המתמטיקה ממש מושלמת בלי ההחלטה הפסיקית.
    התשובה היא פשוטה, המתמטיקה באה לשרת את הפרקטיקה של מדידות, ובלי ההחלטה הפסיקית , שרות זה לא היה מתקיים. האם המתמטיקה באה לשרת את הפרקטיקה של מדידות ? מיקרומטר הוא מד אורך מדויק , המסוגל למדוד קטרים עד רמת דיוק של מחצית מאית מ"מ .
    מדידת קוטר של מטבע בעזרת מיקרומטר יכולה להניב תוצאה מעשית כמו קוטר המטבע = 17 מ"מ + 9 עשיריות מ"מ + מאית מ"מ
    מדידה זו נרשמת כ 17.91 מ"מ , והיא מתאימה להחלטה הפסיקית. מיקרומטר אינו מספק תוצאה כמו 197אנטי11 מ"מ , אלא תוצאה כמו 17.91 מ"מ
    לכן, באה ההחלטה הפסיקית, במטרה ברורה לשרת את הפרקטיקה של מדידות. מדידה וחישוב של גדלים רציפים .............( אורך, זמן , אנרגיה )
    מדידה מתבצעת על גודל רציף וכל מדידה אינה מושלמת,
    כל מדידה מפיקה שני מספרים קרובים זה לזה, שהתוצאה האמיתית של המדידה אמורה להיות בין
    המספרים האלה. ככל שהמדידה מדויקת יותר, שני המספרים האמורים קרובים יותר זה לזה.
    כל חישוב על גודל רציף מתנהג כמו מדידה.
    לכן,
    אין הבדל עקרוני בין חישוב ומדידה (על גדלים רציפים), ורק רמת הדיוק מבדילה בינהם. צירוף אקראי של שני אורכים רציפים.
    אורך קיסם ואורך עיפרון מציגים צירוף אקראי של שני אורכים רציפים, ורק מדידה מסוגלת לגלות שני
    מספרים קרובים זה לזה, האומרים פי כמה גדול אורך העיפרון מאורך הקיסם.
    אורך היקף מעגל נבחר ואורך קוטרו מציגים צירוף אקראי של שני אורכים רציפים,ורק מדידה מסוגלת
    לגלות שני מספרים קרובים זה לזה, האומרים פי כמה גדול אורך ההיקף מאורך הקוטר.
    צירוף אקראי של שני אורכים רציפים, שייך לפיזיקאי המבצע מדידות, ואינו שייך למתמטיקאי.
    לכן, המעגל לא שייך למתמטיקה אלא הוא שייך לפיזיקה. א.עצבר

  • א.עצבר

    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה ( המשך)

    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 4
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar
    תשובה לשאלה...מה יש בשפת הכמתנות ?
    יש 1 שכמותו הערטילאית מוחלטת ומובנת מתוך עצמה , ויש את המשוואה המוחלטת 1 = 1 יש משוואת יצירה לשורה אינסופית של מספרחדים............. 1 בהגדל א = א
    ממשוואת היצירה נובע , כי הכמות הערטילאית של כל מספרחד, מובנת אך ורק על פי התייחסות
    לכמות הערטילאית של 1 , הנצברת על עצמה.
    המסקנה : 1 הוא מספר מוחלט , וכל מספרחד הוא מספר יחסי. יש משוואת יצירה לשורה אינסופית של אנטי מספרחדים .... 1 בהקטן א = א'
    ממשוואת היצירה נובע , כי הכמות הערטילאית של כל אנטי מספרחד, מובנת אך ורק על פי
    התייחסות לחלוקה האחידה המתבצעת ,על הכמות הערטילאית של 1 .
    המסקנה : 1 הוא מספר מוחלט , וכל אנטי מספרחד הוא מספר יחסי. התוצאה: 1 הוא המספר המוחלט היחידי, וכל שאר המספרים הם יחסיים.
    ומהם שאר המספרים ?
    או מספרחדים, או אנטי מספרחדים. אין עוד מספרים פרט לאלה.
    כל טענה על קיום עוד מספרים נוספים , חייבת בהצגת משוואת יצירה חדשה עם 1
    אבל אין משוואת יצירה חדשה עם 1 , מכיוון שכל מה שאפשר לעשות עם הכמות הערטילאית של 1
    זה ...או צבירה עצמית או חלוקה אחידה.
    לכן, אין עוד מספרים פרט למספרחדים ולאנטי מספרחדים שמהם נובעים המספרפמים.
    שפת הכמתנות הושלמה עם הצגת המספרחדים, האנטי מספרחדים , והמספרפמים. אם נתרגם יחסי לרציונלי , ומוחלט לאי רציונלי ( כלומר לא יחסי) נקבל את המשפט הבא:
    1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם רציונליים.
    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 5
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar
    מה עושים עם שפת הכמתנות ? סופרים וסופרים וסופרים.
    סופרים כמויות בדידות ( כמו שקלים , מכוניות, עצים, צלחות,,,,)
    וסופרים כמויות רציפות כמו גובה 176 ס"מ , או זמן כמו 44 דקות. ויש עוד עיסוק עם שפת הכמתנות והוא כולו תיאורטי .
    העיסוק הזה שייך לכמתנים המקצועיים , והם פשוט חוקרים את שפת הכמתנות מתוך סקרנות ועניין
    לשמו. חקירה זו מגלה מהר את המספרים המקיימים את כלל "אי היכולת"
    כלל אי היכולת.
    המספרחדים 3 5 7 11 13 17 19 וכן הלאה ,הם תוצר של משוואת יצירה בלבד, והם
    מקיימים כלל ברור שניתן לכנותו בשם כלל אי היכולת :
    מספרחד נבחר מאלה, לא יכול ליצור מספרחד גדול ממנו, בדרך של צבירה עצמית.
    גם אנטי מספרחדים 3' , 5' , 7' , 11' , 13' , 17' , 19' וכן הלאה , מקיימים את כלל אי היכולת :
    אנטי מספרחד נבחר מאלה , לא יכול ליצור אנטי מספרחד גדול ממנו, בדרך של צבירה עצמית.
    שורת המספרחדים המקיימת את כלל אי היכולת היא אינסופית, אך אינה ידועה מראש.
    כדי לגלות את מספרחד אי היכולת הבא אחרי 19 ,יש לערוך חישוב צבירה עצמית של 3 , 5 , 7 ,11
    ולבדוק איזה מספרים אי זוגיים גדולים מ 19 הם יוצרים.
    החישוב מפיק את 21 , 25 33 , והוא מדלג על 23 .
    המסקנה: רק 1 בצבירה עצמית מסוגל ליצור את 23 , וזה מספרחד אי היכולת שיבוא אחרי 19. החקירה מתוך עניין לשמו מגלה גם את כללי ההגדל העצמי
    מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרחד ( 7 בהגדל 7 = 49 )
    אנטי מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד אנטי מספרחד ( 7' בהגדל 7' = 49' )
    מספרפם בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרפם ( 12פם18' בהגדל עצמי = 144פם324')
    כל מספר בהגדל עצמי – שומר על אופיו
    מספרחד נשאר מספרחד, אנטי מספרחד נשאר אנטי מספרחד, ומספרפם נשאר מספרפם.
    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 6
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar
    בעיית הרצף
    החקירה מתוך עניין לשמו מגלה גם את בעיית הרצף, הנובעת מכללי ההגדל העצמי
    היות שברצף הכמותי הערטילאי – [בין הכמות הערטילאית של 2 ( היוצרת בהגדל עצמי את 4 ) ,
    לבין הכמות הערטילאית של 3 ( היוצרת בהגדל עצמי את 9 ) ] –
    יש רק כמויות ערטילאיות של מספרפמים, היוצרות בהגדל עצמי אך רק מספרפמים,
    ניתן להסיק את המסקנה הבאה .
    לכמויות הערטילאיות שבין 2 ו 3
    שאמורות ליצור בהגדל עצמי את 5 , 6 , 7 , 8
    אין ייצוג מספרי. שורש 5 אינו מספר , אלא כמות ערטילאית חסרת ייצוג מספרי. ( לכן הייצוג שלה מילולי - שורש 5 )
    שורש 8 אינו מספר , אלא כמות ערטילאית חסרת ייצוג מספרי. ( לכן הייצוג שלה מילולי - שורש 8 ) בעיית הרצף קובעת כי שפת הכמתנות היא מושלמת כאשר מדובר בכמויות בדידות, והיא אינה
    מושלמת כאשר מדובר בכמויות רציפות.( יש כמויות רציפות שאין להם ייצוג מספרי)
    כמויות רציפות מופיעות בתחום הגיאומטרי אורך , שטח, נפח , ובתחום הפיזיקלי זמן, אנרגיה, הדוגמה המפורסמת לכמויות רציפות שאין להם ייצוג מספרי, מופיעה בתחום הגיאומטרי.
    אי אפשר לייצג בכמויות ערטילאיות של מספרים, את האורכים הרציפים של צלע הריבוע ואלכסונו.
    אם נבחר כמות ערטילאית לייצוג אורך הצלע, לא תהיה לנו כמות ערטילאית לייצוג אורך האלכסון.
    אם נבחר מספר לייצוג אורך הצלע, לא יהיה לנו מספר לייצוג אורך האלכסון.
    ואם נבחר מספר לייצוג אורך האלכסון, לא יהיה לנו מספר לייצוג אורך הצלע. החקירה של שפת הכמתנות מתוך עניין לשמו ידועה ומפורסמת, וכל המחפש אותה ימצאנה.
    לפעמים, יש לחקירה כזו שימוש מעשי .
    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 7
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar מבחן נכון לא נכון ( מבחן נלנ)
    התוצאות של חקירה כמתנית מתוך עניין לשמו, חייבות לעמוד במבחן נלנ .
    הטענה כי שורות המספרים המקיימים את כלל אי היכולת היא אינסופית,חייבת לעמוד במבחן נלנ.
    כללי ההגדל העצמי חייבים לעמוד במבחן נלנ.
    הטענה האומרת ..אין משוואות מסוג אאא + בבב = גגג חייבת לעמוד במבחן נלנ.
    מבחן נלנ שייך לחקירה כמתנית מתוך עניין לשמו, אבל עד היום לא ברור מהו מבחן נלנ ? אי אפשר לענות על השאלה...מהו מבחן נלנ ? מכיוון שהתשובה חייבת לעמוד במבחן נלנ. א.עצבר
    8/2015

  • א.עצבר

    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה

    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 1
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar מתמטיקה בעברית זה כמתנות
    המלה כמתנות מבוססת על המלה כמות.
    את המובן של המלה כמות, לומדים מהניסיון
    יש כמות של אנשים באסיפה , ויש כמות של כבשים בעדר, ויש כמות של מטבעות בכיס, ויש כמות של זמן הנדרשת כדי להגיע לפגישה, ויש כמות של ככרות לחם. ויש כמות של מרחק בין שתי ערים, ויש כמות של כסף בבנק, ויש כמות של אבטיחים בערימה ויש כמות של שטח בדירה , ויש כמות של קילוגרמים במשקל הגוף , ויש כמות של מטרים באורך מגרש הכדורגל, ויש כמות קילומטרים עד הירח , ויש כמות של ס"מ בגובה האדם, וכן הלאה. לכמות אין גבולות –
    כל כמות נבחרת, יש גדולה ממנה ויש קטנה ממנה. כמתנות היא שפה של כמויות ערטילאיות, והמלים שלה הם מספרים.
    מספר הוא שרבוט קו בעל צורה ייחודית ושם ייחודי, והוא מביע כמות ערטילאית ייחודית.
    כמות ערטילאית היא כמות שלא נתפסת בחושים.
    הרעיון של כמויות ערטילאיות , הוא שמאפשר את הופעת המספרים.
    את המספר הראשון יש צורך להמציא : המצאת המספר הראשון.
    לשרבוט הקו הזה 1 יש צורה ייחודית , שמו המוסכם יהיה אחד, והוא יביע כמות ערטילאית מוחלטת.
    כמות ערטילאית מוחלטת נתפסת מתוך עצמה, וכל מה שאפשר להגיד לגבי 1 מופיע במשפט הבא הכמות הערטילאית של 1 שווה לכמות הערטילאית של 1 . משפט זה נרשם בקיצור כך 1 = 1 1 הוא המספר הראשון, והוא יהיה מספר היצירה של המספרים הגדולים מ 1 , ששמם יהיה מספרחדים , ושל המספרים הקטנים מ 1 ששמם יהיה אנטי מספרחדים..
    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 2
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar יצירת המספרחדים
    מספרחדים הם מספרים הנוצרים על ידי צבירת 1 ,והם 2 שתיים , 3 שלוש , 4 ארבע , 5 , 6 ,,,,,
    משוואת היצירה של 5 היא 1 בהגדל 5 = 5 המשמעות של משוואת היצירה היא כדלקמן:
    1 ימני ו 5 שמאלי הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 אמצעי מתאר כמה פעמים נצבר 1 על
    עצמו, כדי שתתקבל הכמות הערטילאית של 5 שמאלי. ( כמה פעמים ? פם פם פם פם פם ) משוואת היצירה של 1578 היא 1 בהגדל 1578 = 1578
    1 ימני ו 1578 שמאלי הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 1578 אמצעי מתאר כמה פעמים נצבר 1
    על עצמו, כדי שתתקבל הכמות הערטילאית של 1578 שמאלי.
    במשוואת היצירה של מספרחדים חייב להופיע 1 , כיוון שהוא מספר היצירה של כל המספרים.
    התיאור הכללי של משוואת יצירה זו הוא 1 בהגדל א = א כאשר א יכול להיות כל מספרחד
    עם משוואת יצירה זו יוצרים את שורה אינסופית של מספרחדים המתחילה כך 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ,,,, יצירת אנטי מספרחדים
    במשוואת היצירה של אנטי מספרחדים גם יופיע 1 , כיוון שהוא מספר היצירה של כל המספרים.
    יצירת אנטי מספרחדים מבוססת על חלוקה אחידה של 1 , ושימוש בחלק יחיד מחלוקה זו.
    אנטי 2 יסומן 2' , אנטי 3 יסומן 3' , אנטי 5 יסומן 5' ,,,,,,,ואנטי 1578 יסומן 1578' במשוואת היצירה של אנטי מספרחדים תופיע המלה בהקטן במקום המלה בהגדל
    משוואת היצירה של 5' היא 1 בהקטן 5 = 5' המשמעות של משוואת יצירה זו היא כדלקמן.
    1 ו 5' הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 5 חלקים שווים, ( חלק יחיד מחלוקה אחידה זו הוא אנטי חמש , המסומן כך 5' ).
    התיאור הכללי של משוואת יצירה זו הוא 1 בהקטן א = א' כאשר א יכול להיות כל מספרחד
    עם משוואת יצירה זו יוצרים את שורה אינסופית של אנטי מספרחדים המתחילה כך 2' , 3' , 4' , 5'
    קיצור מקוצר של תולדות המתמטיקה-------------- -------- ------------------------------------ 3
    מאמר מקורי מאת א.עצבר A . aetzbar משוואת היצירה של אנטי 1578 היא - 1 בהקטן 1578 = 1578'
    1 ו 1578' הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 1578 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 1578 חלקים שווים ( חלק יחיד מחלוקה אחידה זו הוא אנטי 1578 המסומן כך 1578' ) סיכום חלקי
    משוואות היצירה יוצרות שתי שורות אינסופיות של מספרים, וזוהי למעשה כל המצאת המספרים.
    שורת המספרחדים שכמותם הערטילאית גדולה מזו של 1 ............2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,,,,,,,,,,,,,,
    שורת אנטי מספרחדים שכמותם הערטילאית קטנה מזו של 1 .... 2' , 3' , 4' , 5' , 6' ,,,,,,,,,,,,,,,
    ממשואות היצירה נובע כי אנטי א בהגדל א = 1 ( א' בהגדל א = 1 )
    בניגוד למלים , התוכן של מספרים הוא כמותי בלבד.
    אם נשאל כמה זה 17 ? התשובה תהיה משוואת היצירה של 17 כלומר.. ( 1 בהגדל 17 = 17 )
    אם נשאל כמה זה 17' ? התשובה תהיה משוואת היצירה של 17' כלומר..( 1 בהקטן 17 = 17' ) הופעת המספרים המשולבים ( הכוללים מספרחד ואנטי מספרחד)
    בין כל שני מספרים עוקבים (בכל שורה) , יש כמויות ערטילאיות שאפשר לייצגן במספרים משולבים.
    את המספרים המשולבים נכנה בשם...... מספרפמים.
    מספרפם לדוגמה הוא 128 פעמים אנטי 56 , שירשם בקיצור 128פם56' והוא = 2+ 16פם56'
    המספרפם 128פם56' נמצא בין המספרחדים 2 ו 3
    המספרפם 56פם128' נמצא בין אנטי מספרחדים 2' 3'
    בין 2 ו 3 יש אינסוף מספרפמים , לדוגמה ( 18769פם 9127' ) = 2 + 515פם927'
    בין 2' ל 3' יש אינסוף מספרפמים , לדוגמה ( 8396פם17567' )
    עם הופעת המספרפמים הושלמה שפת הכמויות הערטילאיות , או שפת הכמתנות.
    שפת הכמתנות היא שפה פשוטה מאוד, ובהחלט ניתן להשיב על השאלה
    מה יש בשפת הכמתנות ?

  • א.עצבר

    מבט פשוט על מספרים

    המספר הראשון הוא 1 שכמותו הערטילאית נודעת מתוך עצמה, וכל שאפשר להגיד לגבי 1 מופיע במשוואה 1 = 1
    1 הוא המצאה אנושית, והוא מספר היצירה של כל המספרים.
    מספרים נוצרים אך ורק בשתי אפשרויות :
    או בדרך של צבירת 1 , או בדרך החלוקה האחידה של 1 1 יכול להביע כמות בדידה או כמות רציפה.
    החלוקה האחידה של 1 היא תמיד סופית, ולכן תמיד יהיו כמויות רציפות שאין להם ייצוג מספרי.

  • א.עצבר

    מספרחדים ואנטי מספרחדים

    המספרחדים נוצרים על ידי צבירת 1 , והם 2 , 3 , 4 , 5 , וכו'
    אנטימספרחדים נוצרים על ידי חלוקה אחידה של 1 , ושימוש בחלק יחיד מחלוקה זו.
    אנטימספרחד יסומן עם צ'ופציק מעל המספר מצד שמאל.
    אנטי 7 יסומן כך 7'
    אנטי 7 מתקבל לאחר חלוקת 1 ל 7 חלקים שווים, ושימוש בחלק יחיד מחלוקה זו.
    אנטי 88 יסומן 88' , והוא מתקבל לאחר חלוקת 1 ל 88 חלקים שווים, ושימוש בחלק יחיד מחלוקה זו.
    התוצאה...אנטי 88 כפול 88 = 1 מבט פשוט על מספרים מגלה זאת:
    המצאת המספרים כוללת את 1 עם המשוואה 1 =1 ,
    כוללת את שורת המספרחדים 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,,,,,,,,
    וכוללת את שורת אנטימספרחדים 2' , 3' , 4' , 5' , ,,,,,,,, זה הכל, ואין יותר מספרים. .

  • א.עצבר

    הכמויות הערטילאיות של המספרים

    הכמות הערטילאית של 1 מובנת מתוך עצמה.
    הכמות הערטילאית של 1 אינה גדולה ואינה קטנה,
    הכמות הערטילאית של היא מוחלטת , ולכן כל מה שאפשר להגיד עליה מופיע במשוואה 1 = 1 שפירושה המילולי הוא
    הכמות הערטילאית של 1 = לכמות הערטילאית של 1 לעומת זאת
    הכמויות הערטילאיות של מספרחד ואנטימספרחד הן יחסיות, ומובנות
    על פי הפעולה המתבצעת עם 1.
    הכמות הערטילאית של 3 מובנת על פי הכמות הערטילאית של 1 הנצברת על עצמה 3 פעמים.
    הכמות הערטילאית של אנטי 3 מובנת על פי חלוקת הכמות הערטילאית של 1 ל 3 חלקים שווים, ושימוש בחלק יחיד מחלוקה זו. אם נתרגם כמות מוחלטת לכמות אי רציונלית
    וכמות יחסית לכמות רציונלית, נקבל את המשפט הבא: 1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים ( מספרחדים ואנטי מספרחדים) הם כמויות רציונליות.

  • א.עצבר

    הניסיון לכסות במספרים כמות רציפה, נועד תמיד לכישלון

    מספרחדים הם מספרים, אנטי מספרחדים הם מספרים, וגם
    מספרפמים הם מספרים.
    78 פעמים אנטי 55 ירשם בקיצור 78פם55' ויכונה בשם מספרפם
    למספרפם ( כמו למספרחד או לאנטי מספרחד) יש גם כמות ערטילאית כלל המספרפמים:: כל מספרפם כפול עצמו מניב תמיד מספרפם מסקנה ראשונה:
    לא קיים מספרפם שיוכפל בעצמו, ואשר הוא יניב את המספרחד 2 מסקנה שנייה :
    יש כמויות ערטילאיות , שאין להם ייצוג על ידי מספרפם.
    לכמות הערטילאית של שורש 2 אין ייצוג מספרפמי.

  • רועי סיני

    זה נחמד שאתה נותן שמות חדשים לקבוצות מספרים אבל

    מספרחד הוא מספר טבעי.
    אנטי מספרחד הוא שבר יחידה.
    מספרפם הוא מספר רציונלי חיובי.
    אפשר להגדיר גם מספרים שליליים ולא רציונליים וגם עוד מספרים והאדם נעזר בהם בדרכים רבות, לכן לא מחשיבים רק את המספרים שהגדרת כמספרים.

  • א.עצבר

    1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם אי רציונליים

    אם יש סבלנות לקרוא 3 עמודים, אז יתברר לך כי 1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם אי רציונליים. מתמטיקה בעברית זה כמתנות
    כמתנות היא שפה של כמויות ערטילאיות, והמלים שלה הם מספרים.
    מספר הוא שרבוט קו בעל צורה ייחודית ושם ייחודי, והוא מביע כמות ערטילאית ייחודית.
    את המספר הראשון יש צורך להמציא : לשרבוט הקו הזה 1 יש צורה ייחודית , שמו המוסכם יהיה אחד, והוא יביע כמות ערטילאית מוחלטת.
    כמות ערטילאית מוחלטת נתפסת מתוך עצמה, וכל מה שאפשר להגיד לגבי 1 מופיע במשפט הבא
    הכמות הערטילאית של 1 שווה לכמות הערטילאית של 1 . משפט זה נרשם בקיצור כך 1 = 1
    1 הוא המספר הראשון, והוא יהיה מספר היצירה של המספרים הגדולים מ 1 ששמם מספרחדים ,
    1 גם יהיה מספר היצירה של המספרים הקטנים מ 1 ששמם יהיה אנטי מספרחדים. מספרחדים הם מספרים הנוצרים על ידי צבירת 1 והם 2 שתיים , 3 שלוש , 4 ארבע , 5 , 6 ,,,,,,,,,
    משוואת היצירה של 5 היא 1 בהגדל 5 = 5 המשמעות של משוואת היצירה היא כדלקמן:
    1 ימני ו 5 שמאלי הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 אמצעי מתאר כמה פעמים נצבר 1 על
    עצמו, כדי שתתקבל הכמות הערטילאית של 5
    משוואת היצירה של 1578 היא 1 בהגדל 1578 = 1578 במשוואת היצירה של אנטי מספרחדים מופיעה המלה בהקטן במקום המלה בהגדל
    אנטי 2 יסומן 2' , אנטי 3 יסומן 3' ,,,,,,,ואנטי 1578 יסומן 1578'
    משוואת היצירה של 5' היא 1 בהקטן 5 = 5' המשמעות של משוואת יצירה זו היא כדלקמן.
    1 ו 5' הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 5 חלקים שווים, ( חלק יחיד מחלוקה זו הוא 5' – ששמו אנטי חמש).
    משוואת היצירה של אנטי 1578 היא - 1 בהקטן 1578 = 1578'
    1 ו 1578' הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 1578 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 1578 חלקים שווים ( חלק יחיד מחלוקה זו הוא 1578' )
    ממשואות היצירה נובע כי אנטי א בהגדל א = 1 ( א' בהגדל א = 1 )
    משוואות היצירה יוצרות שתי שורות אינסופיות של מספרים.
    שורת המספרחדים שכמותם הערטילאית גדולה מזו של 1 ............2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,,,,,,,,,,,,,,
    שורת אנטי מספרחדים שכמותם הערטילאית קטנה מזו של 1 .... 2' , 3' , 4' , 5' , 6' ,,,,,,,,,,,,,,, בין כל שני מספרים עוקבים (בכל שורה) , יש כמויות ערטילאיות שאפשר לייצגן במספרים משולבים
    שיכונו בשם מספרפמים.
    מספרפם לדוגמה הוא 128 פעמים 56' , שירשם בקיצור 128פם56' , והוא = ל 2 + 16פם56'
    המספרפם 128פם56' נכנס בין המספרחדים 2 ו 3
    המספרפם 56פם128' נכנס בין אנטי מספרחדים 2' 3' ובכן מה יש בשפת הכמתנות ?
    יש אחד - ( שכמותו הערטילאית מוחלטת ומובנת מתוך עצמה)
    יש משוואות יצירה של פעולות הגדל והקטן עם 1
    ויש אינסוף מספרים מסוג מספרחדים , אנטי מספרחדים , ומספרפמים, אשר הכמות הערטילאית
    שלהם מובנת אך ורק על פי התייחסות לכמות הערטילאית של 1.
    אם נתרגם יחסי לרציונלי , ומוחלט לאי רציונלי ( כלומר לא יחסי) נקבל את המשפט הבא:
    1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם רציונליים. חקר שפת הכמתנות.( התחלה)
    לכל א בהגדל ב יש פתרון של משוואת יצירה, או גם פתרון נוסף
    למשוואה א בהגדל ב = 16 יש שני פתרונות נוספים ( 2 בהגדל 8 4 בהגדל 4 8 בהגדל 2 )
    למשוואה א בהגדל ב = 17 יש רק פתרון של משוואת יצירה 1 בהגדל 17 = 17
    המספרחדים 3 5 7 11 13 17 19 וכו' הם תוצר של משוואת יצירה בלבד, והם מקיימים
    את כלל אי היכולת : מספרחד נבחר בצבירה עצמית, לא יכול ליצור מספרחד גדול ממנו.
    גם אנטי מספרחדים 3' , 5' , 7' , 11' , 13' , 17' , 19' וכו מקיימים את כלל אי היכולת :
    אנטי מספרחד נבחר בצבירה עצמית, לא יכול ליצור אנטי מספרחד גדול
    כללי ההגדל העצמי
    מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרחד ( 7 בהגדל 7 = 49 )
    אנטי מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד אנטי מספרחד ( 7' בהגדל 7' = 49' )
    מספרפם בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרפם ( 12פם18' בהגדל עצמי = 144פם324') בעיית הרצף הנובעת מכללי ההגדל העצמי
    היות שבין הכמות הערטילאית של 2 ( היוצרת בהגדל עצמי את 4 )
    לכמות הערטילאית של 3 ( היוצרת בהגדל עצמי את 9 )
    יש רק כמויות ערטילאיות של מספרפמים, היוצרות בהגדל עצמי רק מספרפמים,
    נובע מכאן , כי לכמויות הערטילאיות שאמורות ליצור בהגדל עצמי את 5 , 6 , 7 , אין ייצוג מספרי.
    בעיית הרצף קובעת כי שפת הכמתנות היא מושלמת כאשר מדובר בכמויות בדידות, והיא אינה מושלמת כאשר מדובר בכמויות רציפות.
    כמויות רציפות מופיעות בתחום הגיאומטרי אורך , שטח, נפח , ובתחום הפיזיקלי זמן, אנרגיה,
    אי אפשר לייצג בכמויות ערטילאיות של מספרים, את האורכים הרציפים של צלע הריבוע ואלכסונו.
    אם נבחר כמות ערטילאית לייצוג אורך הצלע, לא תהיה לנו כמות ערטילאית לייצוג אורך האלכסון.
    א.עצבר

  • רועי סיני

    המילה רציונלי בהקשר של מספרים לא מהמושג היגיון

    אלא מהמושג יחס, ובלטינית ratio.
    מספר רציונלי, כמושג מתמטי מקובל, הוא מספר השווה ליחס בין מספרים טבעיים (או מספרחדים כלשונך), לכן 1 (1/1), 2 (2/1), חצי (1/2) וגם שני שליש (2/3) הם מספרים רציונליים, לא רציו מהמובן של "היגיון", אלא רציו מהמובן של "יחס".
    דרך אגב, אפשר להגדיר גם את כל המספרים האי רציונליים ובמתמטיקה אכן עושים זאת, לכן אם אני יכול לומר מהו אורך הצלע, אני גם אדע מהו אורך האלכסון.

  • אלדד

    מה עם מספרים שנהיים מחזוריים בהמשך?

    למשל 16.6666666666 (מאה חלקי 16). רציונלי או לא?

  • יעל נוריק

    מספרים מחזוריים החל ממקום מסוים

    כאשר המספר נהיה מחזורי ממקום כלשהו לאחר הנקודה העשרונית, הוא רציונלי.
    כלומר, הסיווג של מספר כרציונלי יכול לבוא מכמה נימוקים: האחד שניתן לכתוב אותו כשבר (לדוגמא, במקרה של מאה חלקי 16 אפשר לכתוב אותו כשבר 100/16), והשני הוא שממקום מסוים מימין לנקודה העשרונית (לאו דווקא מהספרה הראשונה) הספרות חוזרות על עצמן. אפשר לקחת לדוגמא את 1/6, שהפיתוח העשרוני שלו הוא ...0.16666. מקרה מעניין יותר הוא 1/7, שהפיתוח העשרוני שלו הוא ...0.142857142857.

  • אלדד