Wie man einen Fußball aus Papier macht

In diesem Experiment konstruieren wir aus Fünfecken und Sechsecken eine Form, die einem Fußball ähnelt und abgestumpftes Ikosaeder genannt wird. Das ist auch eine der natürlichen Formen der Moleküle des Elements Kohlenstoff.

Was brauchen wir?

• Schere
• Schnittmuster für einen Fußball aus Papier (zum Herunterladen) – Fortgeschrittene können ein Schnittheft mit zehn Polyedern herunterladen

Das Experiment 

Den Verlauf des Experiments kannst du in dem kurzen Film sehen:

Erklärung

Platonische Körper bzw. platonische Polyeder ist die Bezeichnung für fünf dreidimensionale Körper, die nach dem griechischen Mathematiker und Philosophen Plato (428 – 348 v. d. Z.) benannt sind, der in ihnen das Symbol der perfekten Schönheit sah. Jeder platonische Körper besteht aus identischen regelmäßigen (gleichseitigen und gleichwinkligen) Vielecken, die eine symmetrische Form haben. Es gibt fünf dreidimensionale platonische Körper:

• Tetraeder – regelmäßiges Polyeder mit vier Oberflächen, von denen jede ein gleichseitiges Dreieck ist
• Würfel (Hexaeder) - regelmäßiges Polyeder mit sechs Oberflächen, von denen jede ein Quadrat ist
• Oktaeder - regelmäßiges Polyeder mit acht Oberflächen, von denen jede ein gleichseitiges Dreieck ist; zusammengesetzt aus zwei quadratischen Pyramiden, die an ihrer Basis verbunden sind
• Dodekaeder - regelmäßiges Polyeder mit 12 Oberflächen, von denen jede ein gleichseitiges Fünfeck ist
• Ikosaeder - regelmäßiges Polyeder mit 20 Oberflächen, von denen jede ein gleichseitiges Dreieck ist

Die fünf platonischen Körper | Quelle: Shutterstock

Durch ein Ausschließungsverfahren kann gezeigt werden, dass es tatsächlich nur 5 solche Körper gibt: aus regelmäßigen Dreiecken (das Vieleck mit der geringsten Zahl an Seiten) kann man einen Körper bilden, bei dem es an jedem Eckpunkt drei Dreiecke gibt (nur zwei wären nicht möglich, denn dann entstünde keine dreidimensionale Form), und das ist das Tetraeder; oder vier Dreiecke an jedem Eckpunkt, und das ist das Oktaeder; oder fünf, und das ist das Ikosaeder. Sechs regelmäßige Dreiecke bilden bereits eine ebene Fläche: der Winkel zwischen zwei Seiten eines regelmäßigen Dreiecks beträgt 60 Grad, und mithin ergeben sechs solche Winkel 360 Grad – also eine flächige ebene Anordnung von Dreiecken und keine geschlossene Form.

Mit einer ähnlichen Überlegung: aus Vierecken, die Winkel von 90 Grad haben, kann man nur eine Struktur von drei Vierecken bilden, die einander an einem Eckpunkt berühren: einen Würfel, denn die Verbindung von zwei Vierecken ergibt keinen Volumenkörper, und vier ergeben wieder eine ebene Fläche (360 Grad).

Fünfecke (Winkel von 108 Grad) kann man nur so anordnen, dass es drei Eckpunkte gibt, wiederum deswegen, weil zwei nicht ausreichen, um einen Volumenkörper zu bilden, und vier einen Winkel von mehr als 360 Grad ergeben. Regelmäßige Sechsecke (120 Grad) allein können keinen Volumenkörper ergeben, weil bereits drei Sechsecke an einem Eckpunkt eine ebene Fläche ergeben. Alle weiteren regelmäßigen Vielecke haben bereits flachere Winkel und sind klarerweise ebenfalls ungeeignet, weil das Zusammentreffen von drei solchen Vielecken einen Winkel von mehr als 360 Grad ergeben wird. Somit sind die drei genannten Körper die einzig möglichen. 

Eine weitere Klasse interessanter Körper wird archimedische Körper genannt (nach dem griechischen Wissenschaftler Archimedes). Es handelt sich um eine Klasse von 13 Polyedern, die im Gegensatz zu den platonischen Polyedern aus mindestens zwei Arten von regelmäßigen Vielecken gebildet sind (zum Beispiel aus Quadraten und Dreiecken). Archimedische Körper können durch Veränderungen an platonischen Körpern konstruiert werden, zum Beispiel durch Wegschneiden der Ecken der Polyeder:

Konstruktion von fünf der 13 archimedischen Polyeder durch Wegschneiden der Ecken von platonischen Polyedern | Quelle der Abbildungen der Polyeder: Wikipedia

Die Form des Fußballs oder des abgestumpften Ikosaeders, die wir in dem Experiment konstruieren, besteht aus 20 Sechsecken. Aber, wie schon gesagt, Sechsecke allein (120 Grad) können keine geschlossene Form ergeben, und deshalb werden 12 Fünfecke hinzugefügt, die mit 108 Grad einen kleineren Winkel aufweisen. Die Berührung von zwei Sechsecken und einem Fünfeck an einem Eckpunkt ergibt einen Winkel von 348 Grad, und daher muss die Fläche, um „sich zu schließen“ (sodass alle den Eckpunkt umgebenden Seiten einander berühren), sich zu einer geschlossenen Form wölben. 

Im Internet kann man dekorative Modelle von geflügelten Dodekaedern finden, die ohne Klebstoff zusammengefügt sind. Diese Modelle waren die Inspiration für das Modell des Fußballs, das in diesem Experiment präsentiert wurde, und für das vollständige Polyeder-Heft – mit allen platonischen Körpern und den aus ihnen durch Abstumpfen hervorgebrachten archimedischen Körpern. Das Heft ist zum Herunterladen von der Webseite des Davidson-Instituts verfügbar.

Man kann die Form auch verkehrt zusammensetzen, wobei die Flügelchen, welche die Vielecke halten, in das Innere der Form gerichtet sind:

Konstruktion eines Polyeders in der Form eines Fußballs, wobei die verbindenden Flügelchen sich im Inneren befinden. Die Anbringung des letzten Teils ist nicht ganz einfach.

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Ein abgestumpftes Ikosaeder findet sich auch in der Natur. Fulleren, auch unter dem Namen „Buckyball“ bekannt, ist ein kugelförmiges, hohles Molekül, das aus 60 Kohlenstoff-Atomen in der Form eines abgestumpften Ikosaeders zusammengesetzt ist. Schon gegen Ende der 60er Jahre und zu Beginn der 70er Jahre des vorigen Jahrhunderts wurde die Existenz der Buckybälle theoretisch (durch Berechnungen) vorhergesagt, doch erst im Jahr 1985 gelang ihre Herstellung, und sie trugen ihren Entdeckern den Chemie-Nobelpreis ein.