הספרה השמאלית ביותר במספר X היא a. אם נעביר אותה למקום הימני ביותר (לספרת האחדות), נקבל מספר קטן פי a מהמספר המקורי.


ידוע ש-a שונה מ-1. האם תוכלו למצוא את a? 

בהצלחה!

פזיה 


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

17 תגובות

  • רונן-ש

    פתרונות כלליים לבעיה

    פתרונות כלליים לבעיה: Ya=Ya*b
    Ya הערך המבוקש, תלוי בa,b ולכן יכתב כ Ya(a,b) פתרון 1 - פתרון מימין לשמאל את Ya נרשום כ: Ya = aj......a1 נגדיר a0=a n0=0 a1 a2 וכו מתקבלים באופן הבא: aj = nj - floor(nj/10)
    nj = b*a(j-1) + floor(n(j-1)/10) מין תהליך רקורסיבי שנמשך עד שמתקיים:
    n(j+1) = n1 = a*b מכאן ואילך התהליך חוזר על עצמו a(j+1)=a1 וכו - תהליך מחזורי, אורך מחזור j
    כל מחזור כזה, או צירוף של מספר מחזורים כאלה - הוא פתרון. פתרון 2 - פתרון משמאל לימין: הפעם Ya = a1a2.........aj נגדיר p = 10*b -1 , n0 = a/10 , a0 = 0 a1,a2 וכו מתקבלים באופן הבא: aj = floor(10*nj/p)
    nj = 10*n(j-1) - a(j-1)*p התהליך ממשיך עד שמקבלים: n(j+1) = n1 = a מכאן ואילך התהליך חוזר על עצמו a(j+1)=a1 וכו, תהליך מחזורי, אורך מחזור j.
    כל מחזור כזה, או צירוף של מספר מחזורים כאלה - הוא פתרון. זהו בעצם תהליך שמתאר פעולת חלוקה, והמשוואה שאליה התהליך הזה מתייחס היא: Ya = floor(a/b(1+1/p)*10**(j-1)) כאשר p=10*b-1 ו-j - אורך המחזור של השבר המחזורי האינסופי a/p. את המשוואה הזו ניתן לקבל מפתרון ישיר של המשוואה:
    aY = Ya*b
    ומהצבת הביטויים הבאים עבור aY , Ya: Ya = 10*Y + a , aY = a*10**(j-1) + Y ניתן בעזרת משוואה זו להבין יותר טוב את מהות הבעיה. ממשוואה זו ניתן גם לראות שחידת ההרחבה - מקרה פרטי שבו b=a/2, מתייחסת לחידה המקורית - מקרה פרטי שבו b=a, בדרך הפשוטה הבאה: Ya(a,a/2) = 2*Ya(a/2,a/2) לדוגמא: עבור a=8 , b=4 (הפתרונות שהגישו הפותרים רמי ואוהד ניר): Ya(8,4) = 2*Ya(4,4) = 2*102564 = 205128

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    חידת הרחבה

    הספרה השמאלית ביותר במספר X היא a. אם נעביר אותה למקום הימני ביותר (לספרת האחדות), נקבל מספר קטן פי 2/a מהמספר המקורי.

  • אוהד ניר

    פתרון

    גם פה יש פתרון טריוויאלי יחסית שהינו:
    22, 222, 2222, 22222, .... אבל הפעם השקעתי קצת ומצאתי עוד פתרון:
    820512=205128*(8/2)
    לא מצאתי פתרון נוסף (שהוא לא מהסוג של הרבה פעמים הספרה 2), שקטן מ- 10,000,000,000

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    מצוין!

    זה הפתרון :) (שוב שכחתי לפסול את הפתרון הטריוויאלי יחסית)

  • אוהד ניר

    גם כאן יש הכללה לפתרון

    טענה :
    אם קיימת הספרה a כך ש aY=Ya*a עבור איזשהו מספר Y,
    אזי יתקיים עבור מספר סופי כלשהו של חזרות של המספר aY :
    aYaY..aY=YaYa..Ya*a
    דוגמה:
    היות ועבור a=8 מתקיים : 4 * 205128= 820512
    לכן קיים גם הפתרון הבא (2 חזרות של 820512) :
    4 * 205128205128= 820512820512

  • אוהד ניר

    הערה

    מבדיקה עד כה, אין עוד פתרונות חוץ מהסוגים שעליהם כבר דיברתי, עד למספר 12^10*1.1
    אני אתן למחשב שלי להמשיך לרוץ בימים הקרובים, ואעדכן אם הוא ימצא פתרונות נוספים...

  • אוהד ניר

    המשך ההערה

    אין עוד פתרונות חוץ מהסוגים שעליהם כבר דיברתי, עד למספר 13^10

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • רמי

    הכללה

    טענה :
    אם קיימת הספרה a כך ש aY=Ya*a עבור איזשהו מספר Y,
    אזי יתקיים עבור מספר סופי כלשהו של חזרות של המספר aY :
    aYaY..aY=YaYa..Ya*a דוגמה:
    היות ועבור a=4 מתקיים : 4 * 102564 = 410256
    לכן קיים גם הפתרון הבא (4 חזרות של 410256) :
    4 * 102564102564102564102564 = 410256410256410256410256

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • רמי

    פתרונות נוספים עבור a=4 ועבור a=8

    עבור a=4
    4 * 102564102564 = 410256410256 עבור a=8
    8 * 1012658227848 = 8101265822784

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • רמי

    פתרון נוסף

    עבור a=4 4 * 102564 = 410256

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    יפה מאד

    לזה התכוונתי :)

  • אוהד ניר

    ניסיון לפתרון

    הספרה 1 במספר 11

  • אוהד ניר

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    נכון ותוספת תיקון

    צודק, הייתי צריכה להוסיף: a שונה מ-1 . (אוסיף עכשיו)