שלום שחר!
קודם כל חשוב לי לציין שהניסוח של השאלה אינו מדויק. הכוונה הטבעית בשימוש שלך במילה "משוואות" היא ל"פולינומים", כלומר אוסף של איברים שכל אחד מהם הוא חזקה של הנעלם. יש עוד סוגים של משוואות, כמו משוואות דיפרנציאליות וכדומה. כשמדברים על משוואות ממעלה חמישית מדובר על פי רוב במשוואה בנעלם אחד, עם מקדמים ממשיים (כלומר מספרים ממשיים, בניגוד למספרים מרוכבים למשל), כשהחזקה הגדולה ביותר היא 5.
דוגמה למשוואה כזאת היא x5+a4 x4+a3 x3+a2 x2+a1 x+a0=0, כאשר ai הם מספרים כלשהם (מקדמים). גם למשוואה כזאת תמיד קיים פתרון, או כמה פתרונות שלפחות אחד מהם הוא ממשי. וכשאנחנו אומרים פתרון, הכוונה היא למספר (ממשי) X שהצבתו במשוואה תקיים את השוויון.
אם כך השאלה היא בעצם איך למצוא את הפתרון הזה.
גרף של משוואה ממעלה חמישית – הפתרונות הם החיתוכים עם ציר X.
למשוואה ממעלה ראשונה קל למצוא פתרון – מעבירים את כל האיברים החופשיים לצד ימין ואת כל אלו שתלויים ב-X לצד שמאל (על ידי פעולות של חיבור וחיסור) ואז מוצאים את הפתרון מהצורה X=A (על ידי פעולות של כפל וחילוק).
עבור משוואה ממעלה שנייה יש צורך בפעולה נוספת: שורש ריבועי. רובנו )או לפחות חלק גדול מקוראי מדור זה) מכירים בוודאי את "נוסחת השורשים" 
הפותרת את המשוואה
ax2+bx+c=0.
עבור משוואות ממעלה שלישית ורביעית, קיימות נוסחאות (הרבה יותר מסובכות) שמשתמשות בארבע פעולות החשבון (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) ובהוצאת שורשים (ממעלות שלישית ורביעית בהתאמה).
אך עבור משוואות ממעלה חמישית פשוט לא קיימת שיטה כזאת ("נוסחה"), גם לא בהוצאת שורש ממעלה חמישית. עדיין אפשר (לפעמים) למצוא פתרון למשוואה על ידי פירוקה למשוואות ממעלה נמוכה יותר, או הוצאת שורש חמישי, אבל לא תמיד ניתן לעשות את זה. זה מה שמתכוונים כשאומרים שאין למשוואה כזאת פתרון – אין לה "פתרון בעזרת רדיקלים [=שורשים]".
אז מדוע אין פתרון כזה?
הבעיה של מציאת הנוסחה לפתרון משוואות ממעלה חמישית העסיקה את טובי המתמטיקאים במשך מאות ואף אלפי שנים – נוסחת השורשים הייתה מוכרת כבר לבבלים הקדומים והנוסחאות למשוואות מהמעלה השלישית והרביעית התגלו באיטליה במהלך המאה ה-15 והמאה ה-16. מאז המשיכו מתמטיקאים לחפש את הנוסחאות למשוואות ממעלה גבוה יותר והניחו שזאת רק שאלה של זמן עד שימצאו אותן. במאה ה-19 הוכיח אבל שאין נוסחה כזאת, אם כי הוא בעצם רק תיקן הוכחה קודמת שהציע מתמטיקאי בשם רופיני). מאוחר יותר ניסח מתמטיקאי בשם גלואה תורה שלמה שמסבירה בין השאר את התוצאה הזאת.
על מנת להבין את פרטי ההוכחה צריך להשתמש במתמטיקה ברמה גבוהה, אך אנסה לתת לפחות סקירה מינימלית שלה. עם זאת, גם כאן יש צורך בהבנה מתמטית מעמיקה יחסית.
הנקודה החשובה היא שההוכחה שמציעה תורת גלואה, מעבירה בעצם את הבעיה ממציאת פתרונות למשוואות לנושא הרבה יותר כללי במתמטיקה, בתחום של תורת החבורות. קצרה היריעה להסביר מהי בדיוק תורת החבורות ולמה היא משמשת, אך נציין שזה תחום יסודי ומרכזי במתמטיקה של ימינו. ההבנה שכדי לפתור בעיה מתמטית מסוימת אפשר להתאים את הבעיה לתחום אחר היא אבן דרך מרכזית בעשייה המתמטית המודרנית.
מושג מתמטי חשוב לענייננו הוא מושג השדה, שפירושו אוסף של איברים (למשל מספרים) שסגור לפעולות של חיבור וכפל. הכוונה במילה "סגור" היא שגם בהכפלה ובחיבור של איברים מהקבוצה התוצאה תהיה איבר בקבוצה. מדובר במושג מתמטי בסיסי וחשוב מאין כמוהו. למשל המספרים השלמים הם שדה. וכך גם המספרים הזוגיים. אך המספרים האי-זוגיים אינם שדה, כיוון ש-4=3+1 אינו אי-זוגי.
אפשר גם להגדיר מהו תת-שדה, כלומר שדה המכיל שדה אחר (כמו השלמים והזוגיים), או הרחבה של שדה, כלומר הוספה של איברים לשדה קיים כך שייווצר שדה חדש. את המספרים הרציונליים (שהם אוסף המנות m/n של מספרים שלמים) אפשר להרחיב לשדה חדש אם נוסיף את שורש 2 (שהוא מספר אי-רציונלי) ועוד איברים הכרחיים, כך שמה שיווצר יהיה גם הוא שדה סגור.
לכל הרחבה כזאת אפשר להתאים חבורה (מושג מתמטי בסיסי נוסף. באופן פשטני אפשר להגיד שזה אוסף של איברים שביניהם יש פעולה), שמכונה "חבורת גלואה" של ההרחבה.
עכשיו, איך פותרים עם זה משוואה?
לכל משוואה מתאימים שדה (אפשר לומר בערך שזה השדה של מקדמי המשוואה), ובהוצאת שורש (בסדרים הולכים ועולים) מקבלים הרחבות של השדה. כל הוצאת שורש היא הרחבה. עכשיו יש לנו סדרה המרכיבה את השדה (סדרת הרכב) כך ש G1⊆G2⊆G3⊆G4⊆… ⊆Gn.
כעת נשאל אם Gn היא חבורה פתירה. השם מגיע מאותה שאלה ששאלת, אך המשמעות המתמטית שלה היא האם כל הפעולות שנעשו בין ההרחבות היו "פשוטות", וההגדרה המתמטית היא שכל הרחבה כזו "תשמש" רק באיברים מהחבורה הקודמת לה (תת-חבורה נורמלית), ושכל הרחבה כזאת תתבצע בצורה מאוד מסוימת (על ידי מנות אבלייות).
זה נשמע מאוד מסובך, אבל בכתבה קצרה זו ניסיתי לתת סקירה של ההוכחה שבעצמה מצריכה הבנה די מעמיקה באלגברה ובתורת החבורות. צריך ללמוד הרבה מתמטיקה כדי להבין למה הכוונה באמת, וגם אחרי הרבה הפשטות אני לא בטוח עד כמה זה יצא ברור לקורא שאינו בקיא במתמטיקה, ואולי דווקא הנסיון לקצר ולשטח את ההוכחה גורם לה להיראות מסובכת ממה שהיא באמת. התחום של חבורות גלואה הוא הבסיס של הרבה מהמתמטיקה המודרנית, ופתרון משוואות ממעלה חמישית הוא בסך הכל שימוש די משני שלו.
כפי שהסברתי, חלק גדול מהעבודה במחשבה המתמטית היא להתאים בעיות מתחום אחד לתחום אחר, ולכן עבור קורא שאינו מתמטיקאי העניין נראה הרבה יותר מסובך. אך ההוכחה היא אבן דרך בהתפתחות המתמטיקה המודרנית, וצריך להבין שמשוואות ממעלה חמישית הן רק "קצה הקרחון" של מבנים מתמטיים "לא פתירים" בתחומים רבים אחרים, למשל בעיות של בנייה בסרגל ומחוגה.
בשורה התחתונה – לכל משוואה אפשר להתאים חבורה. אם החבורה הזאת פתירה, ניתן לפתור את המשוואה על ידי הוצאת שורש. אם לא, אז לא ניתן. לגבי משוואות ממעלה 4-1, כל חבורה כזאת תהיה פתירה. לגבי משוואות מהמעלה החמישית והלאה חלק מהחבורות אינן פתירות, ולכן למשוואות כאלו אין נוסחת שורשים.
ההחלפה בין התכונה של החבורה (חבורה לא-פתירה) לבין המשוואה, גורם לבלבול שלפיו המשוואה עצמה "אינה פתירה".
מקווה מאוד שעזרתי,
כרמל שור
המחלקה לכימיה פיסיקלית
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
