מציג גרפים – פולינומים

פולינום הוא משוואה בעלת מספר איברים קבוע המכיל משתנים. פולינומים באים בדרך כלל בתצורות כמו: y=ax²+bx+c, y=ax+b, y=ax³+b²x+cx+d וכו'. הפולינום הנפוץ ביותר הינו הפולינום מהרמה השנייה (y=ax²+bx+c), שניתן לפתרון על ידי משוואה ריבועית. היישומון שלפנינו מציג איך נראה גרף של פולינומים מהמעלה השנייה. לצפייה ביישומון לחצו על התמונה למטה ופתחו את הקובץ המקושר (יישומון ג'אווה).

הישומון הופק במסגרת פרויקט PhET של אוניברסיטת קולורדו
להורדת היישומון ולהרצתו על המחשב לחצו כאן
אם אינכם מצליחים להעלות את היישומון, התקינו את תוכנת Javaweb. לחצו כאן והתקינו לפי ההוראות.

היישומון שלפנינו הוא מציג גרפים פשוט שלתוכו מזינים את הפולינום והוא מציג את הגרף המתקבל, ובעזרתו אפשר ללמוד לא מעט על משוואות פולינומיות ועל הגרפים שלהן. פולינום מכיל כמה רכיבים: המשתנים x ו-y, כאשר y הוא פונקציה של x, כלומר מוגדר על ידי x, ומקדמים כגובה החזקה ועוד 1 (במשוואה מהמעלה השנייה, למשל, יש שלושה מקדמים, במשוואה מהמעלה השלישית יש ארבעה מקדמים וכו').

בצורתה הפשוטה ביותר, משוואה פולינומית נראית כך: 

כאשר a0-an מייצגים את הפרמטרים השונים (שאותם אפשר לייצג גם כ- a, b, c, d וכו' ) והפרמטר האחרון, a0, הוא למעשה a0 כפול x בחזקת 0 (כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1). היישומון מציג גרפים של פולינומים מהמעלה השנייה, כלומר על פי הנוסחה הכללית y=ax²+bx+c.

שימו לב שקיימת אפשרות לפרק את הפולינום לרכיביו על ידי הצגתם כגרפים נפרדים. תראו גם שהרכיב הריבועי ax² הוא פרבולה או היפרבולה (תלוי בסימן הפרמטר), הרכיב במעלה הראשונה (bx) הוא תמיד קו לינארי (ישר), והרכיב האחרון הוא תמיד קו מאוזן החותך את ציר y בערך c.

כשמחברים את הפרמטרים ביחד רואים שכל אחד ממלא תפקיד אחר בגרף הפולינום: c קובע את מיקום הפרבולה במישור, כלומר היכן נקודת הקיצון שלה תחתוך את ציר b ;y מכתיב את זווית הפרבולה ביחס לצירים (שימו לב איך הקו הלינארי משיק לפרבולה); ו-a מכתיב את צורת ההיפרבולה (כלומר הזווית בין שתי הדפנות שלה). נסו לשחק מעט עם כל מרכיבי הפולינומים ולהשוות בין צורות של פולינומים שונים. היישומון מאפשר לשמור גרפים.

אם נשאיר את הפרמטר a על 0 נוכל לשחק מעט עם פולינומים מהמעלה הראשונה (קווים לינאריים). שימו לב לתפקידים של b ו-c. גם כאן c מכתיב את החיתוך של הקו עם ציר y, בעוד b מכתיב את השיפוע של הקו. הצורה המלאה של משוואה כזו הוא y=ax+b. מה קורה כאשר גם b=0? ואיך ייראה פולינום מהמעלה ה-0, כלומר עם c בלבד?

שאלה למתקדמים: איך ייראה לדעתכם גרף של פולינום מהמעלה השלישית ומה יהיה התפקיד של כל אחד מהפרמטרים בו? 

ארז גרטי
המחלקה לכימיה ביולוגית
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.