איך להעלות מספרים בריבוע במהירות שיא?

בניסוי הנוכחי נלמד איך להעלות בריבוע (להכפיל בעצמם) מספרים שמסתיימים בספרה 5, במהירות שעולה על זו שבה אפשר להקליד את התרגיל במחשבון.

ציוד

• מישהו שתרצו להדגים לו את היכולות המתמטיות שלכם :-)

• מחשבון / טלפון עם אפליקציה של מחשבון

מהלך הניסוי

את מהלך הניסוי אפשר לראות בסרטון הבא:

הסבר

את ההסבר לשיטה נביא תוך שימוש באלגברה, באמצעות סימון המספר באותיות כלליות. לא צריך לפחד מהמשוואות – ההיגיון שלהן פשוט מאוד.

אנחנו צריכים בעצם להסביר מדוע כל מספר שמסתיים בספרה 5 ומוכפל בעצמו (מועלה בריבוע), נותן תוצאה ששתי הספרות האחרונות שלה הן 25, והספרות הראשונות שלה הן תוצאת המכפלה של שאר המספר (הספרות שמשמאל ל-5) במספר העוקב אחריו.

לצורך ההסבר נסמן מספר כללי בצורה אלגברית ונסביר.

כמו שאת המספר 35 אפשר גם לכתוב כ-10*3 + 5
ואת המספר 115 אפשר גם לכתוב כ-10*11 + 5
אפשר לכתוב באופן כללי מספר שמסתיים בספרה חמש כ-10*a + 5.

בכתיב מספרים רגיל היינו כותבים את המספר כך: a5.

a יכול להיות כל מספר שלם וחיובי שנרצה – וכאן גם טמונה העוצמה של ההסבר שלנו, שיראה שלא משנה בכלל מהו a, התופעה שחשפנו בניסוי תתקיים תמיד.

נתקדם הלאה ונעלה בריבוע את המספר הזה על ידי הכפלה שלו בעצמו, כלומר נכפיל (10*a+5) ב-(10*a+5).

כלומר (10*a + 5)*(10*a + 5).

נפתח את המכפלה לפי חוקי פתיחת סוגריים (לפי חוק הפילוג במתמטיקה, שבו כל איבר בסוגריים הראשונים מוכפל בכל איבר בסוגריים השניים)

ונקבל:

(10*a + 5)*(10*a + 5)=

=100*a*a + 50*a + 50*a + 25=

100*a*a + 100*a + 25

שוב נשתמש בחוק הפילוג, אבל הפעם בכיוון ההפוך – להוציא את המספר 100*a אל מחוץ לסוגריים, ונקבל מהביטוי האחרון:

100*a*(a+1) + 25

וכאן למעשה סיימנו – ואפילו הראינו את מה שצריך! גילינו שהתוצאה של העלאה בריבוע של מספר שמסתיים בספרה 5 היא מספר שמסתיים ב-25, ואילו ספרת המאות של התוצאה (המספר שמוכפל ב-100) היא a*(a+1). במילים נגיד שכמות המאות במספר שנקבל תהיה שווה לשאר הספרות במספר (פרט לספרה 5 שמימין), כלומר a, כפול המספר העוקב לו: a+1.

כיוון שהראינו שזה המצב כשהשתמשנו באות כללית a, הוכחנו שהקסם יצליח תמיד בכל מספר שמסתיים ב-5, כלומר בכל a שנבחר.

מעניין לציין

אם קסמים מתמטיים כאלה קוסמים לכם, אתם מוזמנים להצטרף לתוכנית שלנו מתמטיקה בהתכתבות (פרטים בקישור).