בניסוי הנוכחי ניצור רצועה שגם אם גוזרים אותה לחצי, היא פשוט לא נגזרת כמו קסם. הניסוי עוסק בתחום מתמטי שנקרא טופולוגיה, ומומלץ לבצע אותו מול אנשים אחרים ולהפתיע אותם.

ציוד

  • רצועת נייר
  • טוּש או כלי כתיבה אחר
  • נייר דבק או דבק אחר (כדי להדביק את רצועת הנייר ולעשות ממנה טבעת)
  • מספריים

מהלך הניסוי

את מהלך הניסוי אפשר לראות בסרטון הבא:

הסבר

רצועת מביוס (יש שכותבים "מוביוס") היא אכן משטח בעל צד אחד ושפה אחת בלבד. המציא אותה היא המתמטיקאי הגרמני יוהן ליסטינג (Johann Listing), ומעט אחריו שחזר את התגלית המתמטיקאי אוגוסטוס פרדיננד מביוס (August Ferdinand Möbius) בסוף המאה ה-19.

הפיתול של הרצועה שנעשה לפני חיבור הקצוות הוא הסיבה לכך שמתקבלת רצועה עם צד אחד וקצה (שפה) אחד בלבד. אפשר להבין את זה מהציור הבא:

בציור רואים שכל אחד משני הקצוות מחובר לפינה הנגדית של הקצה השני, כך שכאשר מדביקים את הרצועה בצורה של טבעת מביוס, הוא הופך להמשכו של הקצה הנגדי – וכך יוצר קצה אחד ארוך. צריך לחשוב על זה קצת כדי ממש להבין.

מאותה סיבה גם שני צידי הרצועה שמוצגת בניסוי זה מתנהגים בצורה דומה.

כשלוקחים רצועת נייר, מפתלים אותה מספר זוגי של חצאי קיפול ומדביקים אותה בצורה טבעתית, מתקבלת טבעת שיש לה שני צדדים ושתי שפות. למשל, אם נדביק רצועה בלי שום חצאי-קיפול (0 הוא מספר זוגי) נקבל טבעת רגילה. אם נחתוך לאחר מכן רצועה כזאת במרכזה נקבל תמיד שתי טבעות. עם זאת, אם מספר חצאי הקיפולים יהיה שניים, הטבעות תהיינה מחוברות, ובמספר קיפולים גבוה יותר אף יופיעו בהן קשרים.

לעומת זאת, כשלוקחים רצועת נייר, מפתלים אותה מספר אי-זוגי של חצאי קיפול ומדביקים בצורה טבעתית, מתקבלת טבעת עם צד אחד בלבד ושפה אחת בלבד. רצועה שמודבקת עם חצי קיפול אחד, למשל, תיצור טבעת מביוס. אם נחתוך רצועה כזאת במרכזה נקבל תמיד טבעת אחת. גם כאן, אם נעשה מספר קיפולים גבוה יותר יופיעו בטבעת קשרים.

כדי להבין את העניין באופן אינטואיטיבי, אפשר לחשוב על זה שהפיתול בעצם גרם לכך שנחבר את הקצה האחד של חצי רצועה לקצה של חצי הרצועה השנייה ולהפך, והתוצאה היא טבעת אחת.

עוד הסבר, מכיוון נוסף: אם גוזרים רצועה פתוחה (לא טבעת) באמצע - מקבלים שתי חצאי רצועה (ברור). עכשיו, אם מפתלים רצועה ומדביקים לצורה של טבעת, ואחר כך גוזרים, זאת פעולה שוות ערך לכך שניקח שתי חצאי רצועה, ונחבר קצה האחד של חצי רצועה לקצה של חצי הרצועה השנייה ולהפך, והתוצאה היא טבעת אחת.

מעניין לציין

גם הטבעת שמתקבלת אחרי הגזירה תהיה מפותלת. גזרו גם אותה לחצי ותקבלו דברים מעניינים! מומלץ להתחיל עם טבעת עבה יחסית, כדי שתוכלו לגזור אותה לחצאים פעם, ועוד פעם, ואפילו עוד פעם. אתם מוזמנים לכתוב לנו מה קיבלתם.

גם סמל המחזור הבינלאומי הוא בעצם רצועת מביוס.

בנוסף, אם קסמים מתמטיים כאלה קוסמים לכם, אתם מוזמנים להצטרף לתוכניתנו מתמטיקה בהתכתבות.

8 תגובות

  • מעיין כהן

    טבעת מדיוס

    אז מה בעצם הנימוק של התכונה של טבעת מדיוס שאם גוזרים שליש ממנה הטבעת הופכת לשני טבעות זו בתוך זו?

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןאבי סאייג

    תופעות מעניינות נוספות בטבעת מביוס

    היי מעיין
    אכן, כאשר חותכים רצועת מביוס במרחק כלשהו מקו האמצע, כאשר מגיעים חזרה לנקודת ההתחלה, מגיעים לנקודה שהיא באותו מרחק מקו האמצע אבל בצד השני של קו זה (תמונת מראה), ולכן כדי לחזור ממש לאותה נקודת התחלה ממשיכים לגזור סיבוב נוסף. זה שקול לגזירה נוספת של טבעת מביוס וזה אכן מוביל לתוצאה: שתי טבעות מחוברות האחת בתוך השנייה.
    את מוזמנת לנסות לגזור טבעת מביוס פעמיים (פעם אחרי פעם) ולראות שאכן כך הדבר, ובכלל לנסות עוד אפשרויות של פיתולים, כמו הניסוי שלנו 'קשר באמצעות מספריים': http://goo.gl/00FrTc
    כל רמת פיתול מובילה לתוצאה קצת אחרת שרק אם מסתכלים על החלקים הגזורים והמבנה שלהם מבינים מאיפה התוצאה נבעה (קשר, הפרדה לשתי טבעות, הפרדה לטבעת אחת גדולה), קשה להסביר במילים. עוזר גם לצבוע את חלקי הטבעת הראשונית ואז אפשר לראות שגם במצב ה'לא גזור', למשל, השלישים מסודרים כך שיש שתי טבעות זו בתוך זו.
    בברכה
    ד"ר יוסי אלרן וד"ר אבי סאייג
    מכון דוידסון לחינוך מדעי
    מכון ויצמן למדע

  • גיורא

    מגניב ביותר!

    גזרתי פעמיים סרט שסולסל שלוש פעמים, מומלץ להשתמש בסרט ארוך מאוד כי זה נעשה מאוד מסורבל, זה נראה כמו סליל דנ"א

  • אסתי

    איזה יופי~

    איזה יופי~

  • דיאנה

    רצועת מביוס

    מאוד אהבתי את הסרטון גם כסטודנטית למתמטיקה נחפשתי לנקודות מעניינות ברצועת מביוס
    תודה

  • יוסי

    תודה!

    תודה!

  • נורית בלקין

    מתמטיקה בהתכתבות

    שלום יש לי 3 ילדים בגיל ביס. רם בכתה י"ב, בר בכתה ט וחן בכתה ד אשמח לקבל פרטים על התכנית
    נהניתי מאד מהניסויים המוצגים כאן
    בברכה נורית בלקין

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןמיכל אלרן

    מתמטיקה בהתכתבות

    שלום נורית,
    מתמטיקה בהתכתבות מיועדת לתלמידי כיתות ג-ט, אז היא יכולה בחלט להתאים לשניים מילדייך. תוכלי לראות פרטים בדף שלנו באתר http://davidson.weizmann.ac.il/node/23477. את גם מוזמנת לכתוב אלינו ונעזור לך בכל שאלה: mathbymail@weizmann.ac.il
    כל טוב ובהצלחה רבה,
    מיכל