שלום לכם,

החידה השבוע תעסוק בממוצע הרמוני. הממוצע ההרמוני H של המספרים:  A1, A2, …, An  מוגדר כך: (Hn = n / (1/A1+1/A2+…+1/An.

נתון המספר 2100.

עליכם לחשב את היחס בין הממוצע ההרמוני H של כל מחלקיו (כולל עצמו) לבין המספר עצמו. כלומר, יש לחשב את הערך של H/2100 .

רמז: יש למצוא קודם ממוצע חשבוני של כל מחלקיו של המספר, ואז להיעזר במשפט כדי למצוא את הממוצע ההרמוני.

 
תרשים: דזננז, ויקיפדיה

תודה לדן על משלוח החידה

בהצלחה!

פזיה


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

12 תגובות

  • א

    א

    בדיקה 2

  • רמי

    חידה : ממוצע שורשי M-י

    הגדרת ממוצע שורשי M-י :
    בהינתן קבוצה סופית בגודל n של מספרים ממשיים חיוביים Y1,Y2,...,Yn,
    נוציא שורש M-י מכל מספר ונסכום את n המספרים המשורשים,
    נחלק את הסכום הנ"ל ב n ,
    ואת המנה נעלה בחזקת M. נסמן את הממוצע השורשי ה M-י של n המספרים בסימון Rm לדוגמה עבור n=3 , M=4
    ((Y1^(1/4)+Y2^(1/4)+Y3^(1/4))/3)^4 הוכיחו את ההשערה הבאה :
    עבור הטבעיים m1>m2>=2 מתקיים A>=Rm2>=Rm1>=G

  • רמי

    חידה : ממוצע שורשי

    יהיו Y1,Y2,…Yn מספרים חיוביים. נסמן את הממוצע החשבוני של n המספרים באות A
    נסמן את הממוצע ההנדסי של n המספרים באות G
    נסמן את הממוצע ההרמוני של n המספרים באות H נגדיר ממוצע שורשי ע"י הנוסחה הבאה : נסכום את כל שורשי המספרים Yi, נחלק התוצאה ב n, ואת המנה נעלה בריבוע.
    נסמן את הממוצע השורשי של n המספרים באות R עבור n=3 :
    ((sqrt(Y1)+sqrt(Y2)+sqrt(Y3))/3)^2 אי שוויון הממוצעים מראה כי A >= G >= H היכן נמצא R באי שוויון זה ?

  • אוהד ניר

    הוכחה ש- R<=A

    עבור המקרה של n איברים, R שווה ל A/n ועוד (2 חלקי n^2) כפול הסכום של כל הממוצעים הגיאומטרים האפשריים בין כל זוג איברים.
    הערה: יש n מעל 2 צירופים, שזה n(n-1)/2 מקרים, של צירופים בין כל שני איברים.
    ניתן להגיד כי אם מחליפים את כל הממוצעים הגיאומטריים שקיבלנו בממוצעים אריתמטיים (כלומר במקום שורש של מכפלת זוג איברים כלשהם מציבים חיבור של זוג איברים כלשהם חלקי 2) אז הסכום החדש שנקבל יהיה קטן או שווה לסכום המקורי.
    ולכן, R יהיה קטן או שווה ל A/n ועוד (2 חלקי n^2) כפול הסכום של כל הממוצעים האריתמטיים האפשריים בין כל זוג איברים.
    אבל, ניתן לשים לב כי כל איבר שמופיע בסכום של הממוצעים האריתמטיים של כל הזוגות האפשריים יופיע n-1 פעמים בדיוק.
    ולכן, ניתן להגיד כי R יהיה קטן או שווה ל A/n ועוד (2 חלקי n^2) כפול (n-1) כפול סכום האיברים חלקי 2.
    את ה- 2 במונה ובמכנה אפשר לצמצם.
    כמו כן, סכום האיברים חלקי n שווה ל- A, ולכן אפשר לקחת n אחד מתוך ה- n^2 במכנה ואת סכום האיברים במונה ולהחליף את זה ב- A.
    וקיבלנו כי R קטן או שווה ל A/n ועוד A כפול (n-1) חלקי n, שזה ביחד שווה ל- A.
    כלומר, קיבלנו כי R קטן או שווה ל- A.
    מ.ש.ל

  • אוהד ניר

    הוכחה ש- R<=G, ובזה מסיימים את ההוכחה ש- A>=R>=G>=H

    נתחיל כמו מקודם:
    עבור המקרה של n איברים, R שווה ל- A/n ועוד (2 חלקי n^2) כפול הסכום של כל הממוצעים הגיאומטרים האפשריים בין כל זוג איברים.
    ולכן, R גדול מ- G/n ועוד (2 חלקי n^2) כפול הסכום של כל הממוצעים הגיאומטרים האפשריים בין כל זוג איברים.
    הערה: יש n מעל 2 צירופים, שזה n(n-1)/2 מקרים, של צירופים בין כל שני איברים.
    נשים לרגע בצד את האיבר G/n, ונסתכל על המחובר השני.
    נסתכל על כל ממוצע גאומטרי של זוג איברים כאיבר בודד חדש, ניתן לשים לב שבעצם יש לנו סכום של כל האיברים החדשים האלו (כל הזוגות האפשריים), ולכן אם רק נחלק את הסכום הזה במספר האיברים שלו נקבל את הממוצע האריתמטי.
    מספר האיברים שלו (מספר הזוגות האפשריים) הוא כאמור n(n-1)/2 , ולכן נכפיל ונחלק במספר הזה, כדי שיהיה לנו אותו במכנה.
    אם נכפיל את 2 חלקי n^2 במספר הזה, נקבל לאחר צמצום: (n-1) חלקי n.
    עכשיו שוב נשתמש בכך שהממוצע האריתמטי גדול מהממוצע הגיאומטרי, ונחליף את הממוצע האריתמטי של האיברים החדשים (כל הזוגות האפשריים) בממוצע גיאומטרי.
    ולכן יש לעשות שורש בחזקה של מספר האיברים שכאמור הינו n(n-1)/2 (או לעלות בחזקה של אחד חלקי n(n-1)/2 ) על המכפלה של כל האיברים החדשים, וכיוון שכפי שכבר אמרתי כל איבר (מקורי) יופיע (n-1) פעמים במכפלה הזו, ומכיוון שכולם היו בשורש שני, נקבל מתחת לשורש בחזקת n(n-1)/2 מכפלה של כל האיברים (המקוריים) כאשר כל איבר הוא בחזקה של (n-1) חלקי 2.
    ואז ניתן לצמצם את החזקות, ומקבלים בדיוק את G.
    והנה קיבלנו כי:
    R>=G/n+G(n-1)/n
    כלומר, קיבלנו לבסוף ש- R>=G
    וביחד עם ההוכחה הקודמת, קיבלנו את ההוכחה ש- A>=R>=G>=H
    מ.ש.ל.

  • רמי

  • אוהד ניר

    פתרון נקודתי

    אם ניקח את המספרים: 4,16
    הממוצע הגיאומטרי יהיה 8
    הממוצע האריתמטי יהיה 10
    והממוצע השורשי יהיה 9
    כלומר, A>=R>=G>=H
    הוכחה כללית, אני אשתדל לתת בהמשך.
    דרך אגב, מה לגבי הפיתרון שלי של החידה המקורית?

  • אוהד ניר

    הרחבה

    באופן כללי יותר, קל מאוד להראות שעבור המקרה של 2 איברים, R שווה לממוצע האריתמטי של A ו- G
    עבור המקרה של n איברים, R שווה ל A/n ועוד 2 חלקי n^2 כפול הסכום של n מעל 2 צירופים (שזה אומר !n חלקי !(n-2) וחלקי 2) של כל הממוצעים הגיאומטריים האפשריים בין כל שתי איברים שקיימים.
    ניתן לשים לב שזה תחום בכך שזה לא יכול להיות יותר גדול מהסכום של n מעל 2 צירופים של האיבר המקסימאלי, ולא יכול להיות יותר קטן מהסכום של n מעל 2 צירופים של האיבר המינימאלי.

  • אוהד ניר

    פתרון

    המחלקים של 2 בחזקת 100, הם: 2 בחזקת 0, 2 בחזקת 1, 2 בחזקת 2, 2 בחזקת 3, וכך הלאה עד ל- 2 בחזקת 100.
    סה"כ 101 מחלקים.
    לכן, הממוצע ההרמוני שלהם הינו 101 חלקי הסכום הבא:
    1 חלקי 2 בחזקת 0, ועוד 1 חלקי 2 בחזקת 1, ועוד 1 חלקי 2 בחזקת 2, ועוד... עד האיבר האחרון שהוא 1 חלקי 2 בחזקת 100.
    אם נעשה מכנה משותף במכנה של הממוצע ההרמוני, שיהיה כמובן 2 בחזקת 100, נקבל כי הממוצע ההרמוני שווה ל- 101 כפול 2 בחזקת 100, חלקי הסכום הבא:
    2 בחזקת 100 ועוד 2 בחזקת 99 ועוד 2 בחזקת 98... עד האיבר האחרון שהוא 1.
    ניתן לשים לב, כי אם נחלק את הממוצע ההרמוני במספר 2 בחזקת 100, שזה היחס שיש לקבל בחידה הזו, נקבל מספר השווה לאחד חלקי הממוצע האריתמטי/החשבוני.
    מכיוון שהממוצע האריתמטי/חשבוני הוא בעצם הסכום של הטור ההנדסי 100^2,...,1,2 חלקי 101.
    הסכום של הטור ההנדסי הזה שווה ל: 101^2 פחות 1.
    ולכן, היחס המבוקש בחידה שווה ל: 101 חלקי 101^2 פחות 1.
    שזה בערך: 29-^10 * 3.984 ניתן לשים לב, שהממוצע החשבוני של המחלקים הוא בסדר גודל של 94^2
    הממוצע ההנדסי של המחלקים הוא בסדר גודל של 50^2
    והממוצע ההרמוני הוא בסדר גודל של 6^2
    שזה מתאים לכך שהממוצע החשבוני גדול שווה מהממוצע ההנדסי שהוא גדול שווה לממוצע ההרמוני.
    דרך אגב, לא הבנתי על איזה משפט בדיוק אתם מדברים, ואם הבנתי נכון היחס שהבאתם בציור זה רק עבור המקרה שבו עושים ממוצע ל- 2 איברים, ולא כמו במקרה שלנו שעושים ממוצע ל- 101 איברים.

  • אוהד ניר

    הערות

    א. המספרים מסוג חזקות חיוביות של 2, נקראים "מספרים כמעט מושלמים", בגלל שב"מספרים מושלמים" סכום המחלקים של המספר שווה למספר כפול שתיים, וב"מספרים כמעט מושלמים" סכום המחלקים של המספר שווה לשתיים כפול המספר פחות 1. ב. התוצאה המדויקת של הפתרון הינו השבר הבא:
    101/2535301200456458802993406410751

  • אוהד ניר

    משפט

    מצאתי משפט שאולי אליו התכוונתם.
    עם זאת, בפתרון שלי כבר הראתי על הדרך שהוא מתקיים באופן פרטי במקרה שלנו בלי לדעת שהוא כללי יותר, והוא ש:
    המכפלה של הממוצע ההרמוני של המחלקים של המספר בממוצע האריתמטי/חשבוני של המחלקים של המספר שווה למספר עצמו. ובפתרון שלי, הראתי שהממוצע ההרמוני של המספר 100^2 חלקי המספר עצמו, שווה לאחד חלקי הממוצע האריתמטי של המספר 100^2.
    שזה בעצם אותו הדבר.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    מעולה! :)

    אכן, הכוונה הייתה למשפט הזה.
    יפה מאד שהוכחת שמתקיים במקרה שלנו, בלי לדעת שהוא כללי יותר.
    נהניתי מאד לקרוא את פתרונך. כל הכבוד!