שלום לכם,

פתרתם את החידה הקודמת בהצלחה! כל הכבוד, בר-מוח התרשם מאד.

היום אבקש מכם עזרה פרקטית: שעוני אבד, ועלי למצוא דרך חלופית למדידת זמן. למזלי מצאתי בתוך קופסת משחק ישנה שני שעוני חול: הראשון מודד 11 דקות בדיוק, והשני מודד 7 דקות בדיוק. התוכלו לעזור לי למדוד בעזרתם 15 דקות?

אתם מוזמנים גם לפרסם חידות הרחבה, כפי שעשיתם בחידות קודמות, אני תמיד נהנה מהן.


אילוסטרציה: Shutterstock

בהצלחה!

סקובידו


 
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

27 תגובות

  • שני

    פיתרון

    הופכים את שני השעונים. כששעון 7 נגמר- נותרו בשעון 11 עוד 4 דקות. מרגע זה (בו נגמר שעון 7) מתחילים למדוד 15 דקות. ממתינים עד ש-4 הדקות שנותרו בשעון 11 יסתיימו ואז הופכים את השעון 11 שנית. 11+4=15

  • רמי

    מחזוריות במשולעון ובמחומשעון

    מחומשעון הוא גוף מחומש , כשבכל אחד מחמש קודקודיו יש לו חול למדידת זמן. מחומשעון שמועמד על אחד מבסיסיו, החול שבקודקודו נשפך בצורה זהה לשאר 4 הפינות שלו.

    יהא מחומשעון (7,4,0,0,5), עם נעמידו כשבקודקודו 5, החול שבקודקוד ישפך ותוך 5 דקות מצבו יהיה (8,5,1,1,0). כעת ניתן לשים אותו כשקודקוד 5 שוב למעלה ונקבל לאחר עוד 5 דקות (9,0,2,2,1)

    1) מיצאו מחומשעון (a,b,c,d,e) שלאחר שיועמד עם אחד מקודקודיו למעלה וכל החול שבקודקוד ישפך, מצבו יהיה (b,c,d,e,a)
    2) בסוף 4 הצבות של משולעון המספרים המופיעים עליו הם (20,0,2). מה היה מצבו המקורי? מהו התהליך שהביא אותו למצבו האחרון?

  • עטרה

    תיקון קטן של הדוגמא שמופיעה בשאלה

    אם נעמיד מחומשעון (7,4,0,0,5), כאשר בקודקוד העליון יש 5, אז תוך 5 דקות מצבו יהיה (8.25,5.25,1.25,1.25,0.25).

  • רמי

    תודה על התיקון.

    המשפט הראשון הנכון היה צריך להיות :
    יהא מחומשעון (7,4,0,0,5), עם נעמידו כשבקודקודו 5, החול שבקודקוד ישפך ותוך 5 דקות מצבו יהיה (8.25,5.25,1.25,1.25,0).

  • עטרה

    תודה

    גם אני טעיתי עם 0.25 במקום 0.

  • עטרה

    שאלת הבהרה

    האם הפעולות שמבצעים על השעון מתבצעות לפי סדר מעגלי של תאי השעון, או שמותר לבצע אותן באיזה סדר שרוצים?

  • רמי

    תלוי בשאלה

    בשאלות ששאלתי ניתן לבחור באיזה סדר שרוצים.
    ניתן לבנות שאלה שדורשת את הסדר. בשלב זה, עם סדר נראה לי פחות מעניין.

  • עטרה

    שאלה מעניינת

    לא הספקתי לחשוב על הנושא הזה, אבל זה הזכיר לי משחק של המתמטיקאי מרטין גרדנר.
    http://alefefes.macam.ac.il/article/article.asp?n=20#top

    עבור השאלה שלך, אם קיים v, כך שהכמויות ההתחלתיות הן (4v,3v,2v,v,0), ואם בכל שלב פועלים על הקודקוד שיש בו 4v, אז ברור שהתהליך הוא מחזורי.
    אם לא מתייחסים לכמויות שי בכל אחד מהקודקודים, אלא רק לאופן חלוקת החול בין הקודקודים, אז המצב (4v,3v,2v,v,0) הוא "מצב יציב", כלומר, הפעולה מעבירה את מצב המחומשעון למצב מאותו טיפוס.
    זהו המצב היציב היחיד. ייתכן שיש מצבים נוספים, שעבורם יש מחזוריות, ואורך המחזור גדול מ- 1.

  • רמי

    תשובה נכונה

    תשובה מוכללת נכונה. יפה.

    באמת החידה של גרדנר (שלא הכרתי קודם) דומה לשאלה שלי : היא בדיוק הפוכה לשאלה שלי. כי כאן חלק קבוע מה"חול" מכל אחד מהפינות חוזר לפינה הריקה האחת.

  • עטרה

    בחידה של גרדנר

    הכמות שעוברת ממגדל למגדל היא בהכרח 1, ומספר המגדלים אינו בהכרח קבוע. אז היא דומה אבל לא בדיוק הפוכה לשאלה שלך.

  • רמי

    שעון חול משולש - משולעון

    הגדרת שעון חול משולש (משולעון) :
    משולעון הוא שעון חול מיוחד בעל 3 מכלי חול בכל אחת מפינותיו של מתקן בצורת משולש שווה צלעות.
    בכל פינה במשולעון יכול להיות חול בכמויות שונות המגדירות את הזמן בדקות מרגע הישפכותן.
    ברגע שהשעון מועמד על אחד מבסיסיו, החול שבקוקוד העליון נשפך בחציו לקודקוד הבסיס הימני, ובחציו השני לבסיס השמאלי.

    דוגמא:
    נניח שברשותנו משולעון (0,2,8), כלומר שבקודקודיו חול לזמנים של 8 דקות, 2 דקות ו 0 דקות (ריק).
    אם נשים את המשולעון כשקודקודו העליון 8, לאחר 8 דקות החול יעבור לשני הקודקודים האחרים ומצבו יהיה (4,6,0).
    אם נרצה למדוד 3 דקות עם משולעון זה, נשים כעת קודקוד עליון להיות 6, ולאחר 6 דקות נקבל (7,0,3) , וכעת עם קודקוד 3 למעלה נוכל למדוד את 3 הדקות הנדרשות.

    הגדרה : "מחזוריות של כמויות החול במשולעון" משמעו שקיים מצב (a,b,c) שלאחר מספר סופי של שינויי מצב של המשולעון ניתן לחזור למצב (a,b,c).

    דוגמא:
    למשל משולעון (0,2,4) מחזורי : (0,2,4) -> (2,4,0) -> (4,0,2) -> (0,2,4) וחזרנו למקור.

    שאלות:
    1) נניח שברשותנו משולעון (1,2,3). כיצד נמדוד 5 דקות?
    2) נניח שברשותנו משולעון (4,6,8). כיצד נמדוד דקה אחת?
    3) מיצאו מחזוריות של כמויות חול במשולעון (5,2,2)
    4) מיצאו מחזוריות של כמויות חול במשולעון משאלה 1 (4,6,8)

    בהצלחה!

    רמי

  • שי

    עוד אפשרות לפתרון החידה המקורית

    הופכים את שני השעונים. כשנגמר שעון ה-11 הופכים אותו שוב. מרגע ששעון ה-7 מסתיים עד ששעון ה-11 מסתיים בפעם השנייה עברו בדיוק 15 דקות.

  • רמי

    חידת הרחבה 5 4_8

    (בדומה לחידת הרחבה 5 3.5_7)
    בידנו שני שעוני חול.
    השעון הראשון מודד 5 דקות בדיוק.
    השעון השני מעט שונה. מצד אחד הוא מודד בקצב רגיל, מהצד השני (כשהופכים אותו) הוא כפול במהירות (כלומר חצי מהזמן). שעון זה מודד 8 דקות בדיוק בצידו האחד ו 4 דקות בדיוק בצידו השני.
    התוכלו לעזור לי למדוד בעזרת שני שעונים אלו 2 דקות בדיוק?

  • שי

    פתרון די פשוט

    מפעילים את שעון ה-5 פעמיים שימדוד 10 דקות. במקביל מפעילים את שעון ה-8 (על צידו שמודד 8 דקות) מרגע שיסתיים שעון ה-8 עד שיסתיים שעון ה-5 (בפעם השניה) עברו 2 דקות.

  • רמי

    פתרון נכון

    הפתרון שלי מורכב וארוך יותר.

  • אלי

    פתרון קצר

    פשוט:
    הופכים את 11 ו-7 בו זמנית.
    מהרגע ש-7 נגמר ועד לרגע ש-11נגמר עוברות 4 דקות.
    עכשיו שוב הופכים את שעון החול של אחת עשרה הדקות והנה עברה רבע שעה!

  • רמי

    חידת הרחבה 2 : שעון מעוכב

    בידינו שני שעוני חול:
    הראשון מודד 6 דקות בדיוק.
    השני מודד 11 דקות בדיוק. ובנוסף יש לו דחיה של דקה לפני מדידה. כלומר אם הופכים אותו, רק לאחר דקה הוא מתחיל למדוד את הזמן.
    התוכלו לעזור לי למדוד בעזרתם 4 דקות?

  • רמי

    חידת הרחבה 5 3.5_7

    בידנו שני שעוני חול.
    השעון הראשון מודד 5 דקות בדיוק.
    השעון השני מעט שונה. מצד אחד הוא מודד בקצב רגיל, מהצד השני (כשהופכים אותו) הוא כפול במהירות (כלומר חצי מהזמן). שעון זה מודד 7 דקות בדיוק בצידו האחד ו 3.5 דקות בדיוק בצידו השני.
    התוכלו לעזור לי למדוד בעזרת שני שעונים אלו דקה אחת בדיוק?

  • שי

    אפשרות לפתרון

    הופכים את שניהם ביחד, כששעון ה-7 על הצד שמודד 7 דקות (הצד האיטי). ברגע ששעון ה-5 נגמר, הופכים את שעון ה-7 שנשארו בו 2 דקות. וכעת, כיוון שעכשיו שעון ה-7 על צידו המהיר יותר, הוא ימדוד דקה אחת (ולא 2).

  • רמי

    כמעט

    אם נהפוך את שעון ה 7 , לאחר שנשארו בו 2, הוא יהפוך למהיר אך עם 5 ולא 2.

  • שי

    נכון, טעות שלי. בכל מקרה הנה פתרון אחר, שאני מקווה שהוא נכון:

    הופכים את שניהם ביחד, כשנגמר שעון ה-5 הופכים אותו שוב (בשעון ה-7 נשארו 2 דקות). כשנגמר שעון ה-7 (ובשעון ה-5 נשארו 3 דקות) הופכים שוב את שעון ה-7, אך שהפעם הוא מודד 3.5 דקות. כשעוברות 3 הדקות שנותרו בשעון ה-5, הופכים שוב את שני השעונים (כשבשעון ה-7 נותרה עוד חצי דקה, אך זה לא מעניין אותנו), כעת שעון ה-7 עבר שוב למצב האיטי וימדוד 6 דקות (לאחר ש-3 דקות עברו בו, וכעת הוא חוזר עליהן רק במצב האיטי - 6 דקות). מרגע ששעון ה-5 מסתיים עד ששעון ה-7 (שכאמור יגמר לאחר 6 דקות) מסתיים, עברה בדיוק דקה אחת. מקווה שבפתרון הזה לא נפלו טעויות :)

  • רמי

    נכון מאוד.

    הפתרון האחר שלך אכן מראה איך ניתן למדוד דקה אחת בדיוק.

  • רמי

    פתרון נוסף

    מפעילים את שני שעוני החול ביחד.
    יש להפוך את שעון החול בעל 7 הדקות כל פעם שיעברו 7 דקות 10 פעמים (לשם מעבר של 70 דקות).
    במקביל יש להפוך את שעון החול בעל 11 הדקות כל פעם שיעברו 11 דקות 5 פעמים (לשם מעבר של 55 דקות).
    מדידת 15 הדקות תחל עם סיום 55 הדקות של שעון 11, ותסתיים עם סיום 70 דקות של שעון 7.

  • אחיה

    פיתרון

    הופכים את שני השעונים ביחד כשהשעון של 7 מסיים הופכים אותו כשהשעון של 11 מסיים הופכים את 7 וכששבע מסיים הופכים את 11

  • שי

    אחת מהאפשרויות למדידת 15 דקות

    הופכים את שני שעוני החול, כששעון ה-7 נגמר בשעון ה-11 נותרו 4 דקות. ברגע זה הופכים את שעון ה-7, ומחכים את 4 הדקות שנותרו בשעון ה-11 (עד כאן עברו 11 דקות). לאחר שאותן 4 דקות עברו, הופכים עוד פעם את שעון ה-7 ומחכים את אותן 4 דקות מחדש.

    אני מאמין שישנן עוד אפשרויות רבות חוץ מזו, אך זה מה שמצאתי.

  • אנונימי

    שכח מזה אין טעות

    :)

  • אנונימי

    יש לך טעות

    רשמת בסוף 'הופכים את שעון ה-7 ומחכים את אותן 4 דקות מחדש'. אבל במצב הזה נותרו רק עוד 3 דקות בשעון ה-7...