כל בוקר עולה יואב לאוטובוס שעובר במושב שבו הוא גר. נהג האוטובוס עוצר כשהוא רואה את יואב בכביש. בדרך כלל יואב הולך בדרך הקצרה ביותר, שאורכה 500 מטר.

לעתים קרובות יואב יוצא מאוחר מדי מהבית, ועליו לרוץ כדי לתפוס את האוטובוס.עליו לצאת מהבית בשעה 6:00 בדיוק כשהוא רץ בדרך הקצרה ביותר, במהירות המרבית שלו שהיא 20 קמ"ש. מהירות האוטובוס היא 30 קמ"ש.

האם כדאי לו לרוץ לנקודת איסוף רחוקה יותר מביתו, שבה האוטובוס עובר מאוחר יותר (באזור של הנקודה C  באיור)?

חישובים נעימים,

סבינה


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

9 תגובות

  • רמי

    חידת הרחבה : תאוטה מ 20 קמ"ש עד 0 קמ"ש

    יואב מתעייף במהלך הריצה.
    הוא מתחיל לרוץ בשעה 06:00 בתאוטה קבועה, מתחיל ב 20 קמ"ש עד אשר בהגיעו לנקודה C מהירותו 0 קמ"ש, ושם הוא פוגש באוטובוס. א] מהו המרחק בין B ל C ?
    ב] כמה זמן רץ יואב ?
    ג] מה המרחק אותו עבר יואב בריצתו ?

  • אוהד ניר

    פתרון חידת הרחבה

    ע"פ מה שחישבת, מהירות הריצה המינימלית היא: 16.641006 קמ"ש
    כאשר רצים בתאוטה קבועה, מתחילים ב- 20 קמ"ש ומסיימים ב- 0, מהירות הריצה הממוצעת היא 10 קמ"ש, שזה מתחת למהירות הריצה המינימאלית.
    ולכן, אם יואב מתעייף באופן שכזה, הוא יפסיד את האוטובוס, ויצטרך לקחת מונית... הערה לגבי האופטימום שחישבת על מקסימום רווח-זמן, אז כפי שכבר ציינתי, כאשר גוזרים את הפונקציה ומשווים לאפס, מקבלים כי הכי משתלם שנקודה C תהיה בדיוק אחד חלקי שורש חמש ק"מ מנקודה B, שזה בערך 447.21 מטר (ולא 448 מטר כפי שציינת).

  • רמי

    תשובה נכונה, השאלה לא.

    תודה על תשובתך הנכונה והמדויקת.
    טעיתי בחישובי ליצירת השאלה.
    השאלה אכן הייתה צריכה להיות עם מהירות סיום גבוהה בהרבה. גם בהקשר למקסימום רווח זמן אתה צודק.
    אם נרצה להיות מדויקים זה אכן 447.21 מ' ולא 448 מ'.

  • רמי

    תשובת הכדאיות

    בהמשך לחישובים הנכונים של אוהד ניר : האפשרויות של יואב כדי שיהיה כדאי לו לרוץ לנקודה C במקום לנקודה B הם :
    ==================================================
    1. לצאת באותו הזמן 06:00 אך לרוץ לאט יותר: ריצה איטית יותר לכיוון C, אם המרחק בין C ל B קטן מ 1.2 ק"מ, מתאפשרת על פי הנוסחה הבאה :
    נסמן ב X את המרחק מ B לכיוון C (לפני C) אליו מתעתד יואב לרוץ.
    אזי מהירותו תהיה - 30*sqrt(X^2+0.25)/(X+0.75)
    לדוגמא, לנקודה במרחק 200 מ' מנקודה B, על הקו BC , יואב יוכל להסתפק בריצה במהירות של כ – 17 קמ"ש , כדי לתפוס את האוטובוס. 2. לצאת מהבית מאוחר יותר, כלומר לצאת אחרי השעה 06:00 (ולרוץ בקצב המקסימלי) : ריצה מאוחרת יותר לכיוון C, במהירות המקסימלית שלו, אם המרחק בין C ל B קטן מ 1.2 ק"מ, מתאפשרת על פי הנוסחה הבאה :
    נסמן ב X את המרחק מ B לכיוון C (לפני C) אליו מתעתד יואב לרוץ.
    אזי מספר השעות שניתן לצאת אחרי 06:00 הן - X+0.75)/30-sqrt(X^2+0.25)/20)
    לדוגמא, לנקודה במרחק 300 מ' מנקודה B, על הקו BC , יואב יוכל לצאת בשעה 06:21 , כדי לתפוס את האוטובוס. 3. לצאת מאוחר יותר, ולרוץ לאט יותר : שימוש בשתי הנוסחאות הנ"ל :
    יואב יוכל לצאת בשעה 06:10 ולרוץ לנקודה C הרחוקה 380 מ' מנקודה B במהירות 18 קמ"ש , כדי לפגוש שם את האוטובוס.

  • רמי

    תיקון טעויות קולמוס

    בסעיף 2 במקום 06:21 צריך להיות 06:00:21
    בסעיף 3 במקום 06:10 צריך להיות 06:00:10

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    מהו האופטימום?

    <p>
    כפי שציינו בחידה, ליואב יש נטייה לצאת מאוחר מדי מהבית. עד התחנה הוא מסוגל לרוץ במהירות המקסימלית שלו.</p>
    <p>
    התשובות של רמי ואוהד ניר הן נכונות: כדאי לרוץ לנקודה C אם היא לא רחוקה מדי. אפשר לצאת 21 שניות אחרי 6 ולרוץ לכיוון של C, כאשר המרחק בין B ל-C הוא 300 מטר.</p>
    <p>
    השאלה שלי עכשיו היא אם הזזת נקודה C מאפשרת ליואב לצאת עוד טיפ טיפה מאוחר יותר מביתו.</p>
    <p>
    כעת אני מעוניינת בפתרון האופטימלי : - ).</p>

  • רמי

    אופטימום

    1) מקסימום רווח זמן :
    מהירות ריצה 20 קמ"ש
    מרחק במטרים מנקודה B לכיוון נקודה C הוא 448 מ'
    רווח זמן כ 22.917957 שניות
    המועד המאוחר ביותר ליציאה מהבית : 06:00:22.92
    זמן ריצה בשניות : 120.842 2) מהירות ריצה מינימלית :
    מהירות : 16.641006 קמ"ש
    מרחק במטרים מנקודה B לכיוון נקודה C הוא 333.3 מ'
    מועד יציאה : 06:00
    זמן ריצה בשניות : 129.996 3) הגדרת אופטימיזציה ע"י מינימום של מכפלת מהירות הריצה של יואב במרחק שהוא רץ :
    ערך האופטימום : 9.08327 ק"מ * קמ"ש
    מהירות : 17.387 קמ"ש
    מרחק במטרים מנקודה B לכיוון נקודה C הוא 151.3878 מ'
    מועד יציאה : 06:00
    זמן ריצה בשניות : 108.1665

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    מרשים!

    יפה מאוד! אפשר לצאת עד 22.91 שניות אחרי 6:00.

  • אוהד ניר

    פתרון

    יהיה הכי משתלם ליואב לרוץ לנקודה C, במידה והיא תהיה מרוחקת בדיוק שורש של 1/5 ק"מ מנקודה B, שזה בערך 447.21 מטר, כי במקרה זה הוא ירוויח הכי הרבה זמן. בגדול, יש לציין כי:
    1. כל עוד נקודה C מרוחקת פחות מ- 1.2 ק"מ מנקודה B (לאורך הקו), משתלם ליואב ללכת לנקודה C ולא לנקודה B.
    2. כאשר נקודה C מרוחקת בדיוק 1.2 ק"מ מנקודה B (לאורך הקו), במידה ויואב מסוגל לשמור על המהירות המרבית שלו לאורך כל הדרך, זה יהיה בדיוק כמו לרוץ לנקודה B, כלומר הזמן שיואב הוסיף לריצה זה בדיוק הזמן שהאוטובוס הוסיף לנסיעה, שזה 2 דקות ו- 24 שניות.
    נראה זאת:
    מצד אחד, ע"פ השלשה הפיתוגרית (5,12,13) האורך של AC הוא 1.3 ק"מ, מזה צריך להחסיר את האורך AB שזה 0.5 ק"מ (כדי לבדוק את הפרש הזמן) ומקבלים 0.8 ק"מ, חלקי 20 קמ"ש זה 0.04 שעות, שזה 2.4 דקות, שזה 2 דקות ו- 24 שניות.
    ומצד שני, האוטובוס מתקדם 1.2 ק"מ במהירות של 30 קמ"ש שזה גם נותן זמן של 0.04 שעות, כלומר 2 דקות ו- 24 שעות.
    3. כאשר נקודה C מרוחקת יותר מ- 1.2 ק"מ מנקודה B (לאורך הקו), גם אם יואב מסוגל לשמור על המהירות המרבית שלו לאורך כל הדרך, הוא יפסיד זמן, וזה לא ישתלם לו. וזה בגלל שעבור הפרשים גדולים בין C ל- B, עבור האוטובוס הפרש הזמן כפונקציה של התקדמות C לאורך B היא לינארית עם שיפוע של אחד חלקי 30, ועבור יואב הפרש הזמן של התקדמות C לאורך B היא לינארית עם שיפוע של אחד חלקי 20, ולכן עבור הפרשים גדולים הזמן שייקח ליואב רק ילך ויגדל מהזמן שייקח לאוטובוס. יש לציין, כי עבור יואב זה מתנהג באופן לינארי רק עבור הפרשים של כק"מ ומעלה בין C ו- B, פחות מק"מ זה לא מתנהג באופן לינארי בגלל שזה השורש של ההפרש בריבוע.