ביום ראשון בצהריים בשעה 13:00 מסתיימים הלימודים בבית הספר "קדימה", ואמא מחכה לנתנאל בן ה-6 בשער בית הספר כדי ללכת איתו הביתה. הבית מרוחק שמונה ק"מ מבית הספר.

באותה שעה יוצא אבא מהבית לקראת אמא ונתנאל. מהירות ההליכה של אמא ואבא היא 4 קמ"ש, ומהירותו של נתנאל הנמרץ היא 5 קמ"ש.

נתנאל שמח לראות את אמא, אך הוא הולך מהר ממנה, עוקף אותה והולך לקראת אבא. כשהוא מגיע לאבא, מתעוררים בו שוב געגועים לאמא והוא מסתובב והולך לכיוונה, וכשהוא מגיע לאמא, הוא פונה שוב אל אבא, וכן הלאה...

בסופו של דבר, אבא ואמא נפגשים, וגם נתנאל נשאר איתם, ושלושתם חוזרים הביתה ביחד (במהירות של 4 קמ"ש).

והשאלה: איזה מרחק גמא נתנאל?

 

שבוע טוב,

סקובידו


 
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

15 תגובות

  • נחי

    התשובה לשאלה המקורית פשוטה ביותר

    זו חידה ידועה שמובאת בהמון ספרי מתמטיקה (במילים קצת שונות- חידת הרכבת והזבוב וכו'). מכיוון שבזמן שאמא הולכת 4 ק"מ, נתנאל הולך 5. אז עד נקודת המפגש של אבא ואמא לאחר 4 ק"מ הוא פשוט הלך 5, לאחמ"כ עוד 4 ובסה"כ 9.0 ואל תתחשבו ב2 המטר עד שער ביה"ס בבקשה..)

  • רמי

    חידת זמן

    כמו השאלה המקורית למעט שההליכה עד הפגישה היא בתאוצה, ושכולם צריכים להגיע הביתה בדיוק בשעה 15:00.
    (וכמו בשאלה המקורית, אחרי הפגישה הולכים ביחד במהירות הקבועה של 4 קמ"ש).
    תאוצת האבא 2 ק"מ לשעה בריבוע.
    והשאלות:
    1) מצא את התאוצות של אמא ונתנאל .
    2) אם לא ידועה תאוצת אבא, והתאוצה של אמא היא 2, מהן התאוצות של אבא ונתנאל?

  • עטרה

    תשובה לשאלה 1

    התאוצה של אמא היא 2sqrt(3)+2 ק"מ לשעה בריבוע.
    זמן ההליכה עד הפגישה הוא 2sqrt(3)-2 שעות.
    המרחק בין נקודת הפגישה ובין בית הספר הוא 8sqrt(3)-8 ק"מ.
    המרחק בין נקודת הפגישה ובין הבית הוא 8sqrt(3)+16- ק"מ.
    זמן ההליכה מנקודת הפגישה עד הבית הוא 2sqrt(3)+4- שעות.
    כולם מגיעים הביתה שעתיים אחרי היציאה, כלומר בשעה 15:00.
    לפי נתוני החידה, אי אפשר לדעת מה היתה התאוצה של נתנאל, אבל אפשר לדעת שהתאוצה היתה גדולה יותר מהתאוצה של אמא.

  • רמי

  • עטרה

    תשובה לשאלה 2

    אין לשאלה פתרון.
    עבור אמא, החלק הראשון של הדרך הוא בתאוצה 2 ק"מ לשעה בריבוע (מהירות התחלתית 0), והחלק השני של הדרך הוא במהירות קבועה 4 ק"מ לשעה. זמן ההליכה הכולל הוא 2 שעות. אורך הדרך הכולל הוא 8 ק"מ. לכן, זמן ההליכה של החלק הראשון של הדרך הוא 0 שעות או 4 שעות. אם הזמן הוא 0 שעות, אז זה סותר את הדרישה שאבא ואמא ייפגשו לפני התחלת ההליכה במהירות קבועה. אם הזמן הוא 4 שעות, אז זה סותר את הדרישה שכולם יגיעו הביתה בשעה 15:00. לכן, אין לשאלה פתרון.

  • רמי

    נכון מאוד.

    תשובה יפה.
    אפשר לראות את התוצאה 0 כאילו האב מגיע בתאוצה אינסופית לבית הספר (קפיצת הדרך) ומשם כולם הולכים הביתה בנחת במהירות קבועה.

    רציתי להראות את אי הסימטריות בשאלה של תאוצות האבא והאמא.
    דוגמא נוספת :
    כאשר 6 היא התאוצה של האמא, אז כדי שהמשפחה תגיע בתוך 2 שעות על אבא לנוע בתאוצה של 3.
    לעומת זאת אם 6 היא התאוצה של האבא, אז כדי שהמשפחה תגיע בתוך 2 שעות על אמא לנוע בתאוצה של 7.291 .

  • עטרה

    זה רעיון נחמד

    אהבתי את הרעיון שתאוצה אינסופית זה כמו קפיצת הדרך.
    נוסחה עבור הקשר בין התאוצות של האבא והאמא:
    (a(f) = 0.25 * a(m)^2 - a(m

  • רמי

    חידת תאוצות שונות

    כמו השאלה המקורית למעט שההליכה עד הפגישה היא בתאוצה.
    כלומר מתחילים במהירות 0 ומגבירים את המהירות עד הפגישה.
    אחרי הפגישה הולכים ביחד במהירות הקבועה של 4 קמ"ש.
    תאוצת האמא 1 ק"מ לשעה בריבוע.
    תאוצת האבא 2 ק"מ לשעה בריבוע.
    תאוצת נתנאל 3 ק"מ לשעה בריבוע.

    והשאלה: איזה מרחק גמא נתנאל?

    (כנ"ל עבור התאוצות 7,3,4 של האמא (סופר אמא!), האבא ונתנאל בהתאמה)

  • עטרה

    הגדרה

    נגדיר "מהירות יחסית של A ביחס ל B במסילה", באופן הבא: אם A ו B נעים על מסילה P כלשהי, וכיווני שניהם ביחס למסילה הם זהים, אז המהירות היחסית של A ביחס ל B במסילה היא ההפרש בין המהירויות של A ושל B. אם הם נעים בכיוונים מנוגדים על המסילה, אז המהירות היחסית של A ביחס ל B במסילה היא סכום המהירויות של A ושל B.
    הערה: זאת אינה ההגדרה הרגילה של מהירות יחסית. למשל, אם A הולך מירושלים לתל אביב במהירות 1 קמ"ש, ו B הולך מחיפה לתל אביב במהירות 2 קמ"ש, אז המהירות היחסית של A ביחס ל B במסילה היא 3, אבל המהירות היחסית של A ביחס ל B לפי ההגדרה הרגילה של מהירות יחסית אינה 3, אלא היא תלויה בזווית שבין כיוון התנועה של A וכיוון התנועה של B, ומשתנה במהלך הדרך. במקרה שבו המסילה P היא קטע ישר, הגדרת המהירות היחסית במסילה מתלכדת עם ההגדרה הרגילה של מהירות יחסית.
    נגדיר "תאוצה יחסית של A ביחס ל B במסילה", באותו אופן: אם A ו B נעים בכיוונים זהים על מסילה P כלשהי, אז התאוצה היחסית של A ביחס ל B במסילה היא ההפרש בין התאוצות של A ושל B. אם הם נעים בכיוונים מנוגדים על המסילה, אז התאוצה היחסית של A ביחס ל B במסילה היא סכום התאוצות של A ושל B.

  • עטרה

    נוסחה

    יהיו (a(f),a(m),a(c התאוצות של אבא, אמא ונתנאל בהתאמה. תהא (a(fm התאוצה היחסית של אבא ביחס לאמא.
    יהא t1 משך הזמן מתחילת הדרך עד הפגישה. יהא (x1(fm אורך הדרך שאבא ואמא התקדמו עד הפגישה. יהא (x1(c אורך הדרך שנתנאל הלך עד הפגישה בין אבא ואמא.
    יהא x2 אורך הדרך מהפגישה עד הבית. יהא (x(c אורך כל הדרך של נתנאל.
    אז מתקיים
    x(c) = a(c) / (a(f)+a(m)) * x1(fm) + 4.

  • רמי

    הערות לתשובתך

    הנוסחה שלי מעט שונה :
    (x(c) = (a(c)+a(f)) / (a(f)+a(m)) * x1(fm
    הצבת הנתונים נותן תשובות אחרות :
    x(c) = (3+2)/(1+2)*8 = 13.3333
    x(c) = (7+3)/(3+4)*8 = 11.4285
    אני אבדוק שוב אם הטעות אצלי.

    התכוונתי בחידה שלי לחלק המעניין של השאלה : המרחק שעבר נתנאל עד רגע המפגש של כולם יחד.
    במקרה זה הנוסחה תיהיה (על פי חישובי):
    (x(c) = a(c) / (a(f)+a(m)) * x1(fm
    ואז נקבל בשני המיקרים את אותו המרחק :
    x(c) = 3/(1+2)*8 = 8
    x(c) = 7/(3+4)*8 = 8

  • עטרה

    הנוסחה היא (x(c) = a(c) / (a(f)+a(m)) * x1(fm

    רגע המפגש של כולם נקבע לפי רגע המפגש בין אבא ואמא.
    המכנה של השבר בנוסחה נקבע לפי הזמן שעבר עד רגע המפגש. לכן הוא תלוי בתאוצות של אבא ואמא.
    המונה של השבר נקבע לפי המרחק שעבר נתנאל, בלי קשר לתנועות של האחרים, ולכן הוא תלוי בתאוצה של נתנאל בלבד.

  • עטרה

    תשובה עבור חידת תאוצות שונות

    אם נציב בנוסחה את הנתונים x1(fm)=8, a(m)=1,a(f)=2,a(c)=3, נקבל
    x(c) = 3/(1+2)*8+4 = 12.
    אם נציב בנוסחה את הנתונים x1(fm)=8, a(m)=4,a(f)=3,a(c)=7, נקבל
    x(c) = 7/(4+3)*8+4 = 12.

  • רמי

    חידת תאוצה

    כמו השאלה המקורית למעט שההליכה עד הפגישה היא בתאוצה.
    כלומר מתחילים במהירות 0 ומגבירים את המהירות עד הפגישה.
    אחרי הפגישה הולכים ביחד במהירות הקבועה של 4 קמ"ש.
    תאוצת ההורים 2 ק"מ לשעה בריבוע.
    תאוצת נתנאל 3 ק"מ לשעה בריבוע.

    והשאלה: איזה מרחק גמא נתנאל?

  • עטרה

    תשובה עבור חידת תאוצה

    אם נציב בנוסחה את הנתונים x1(fm)=8, a(m)=2,a(f)=2,a(c)=3, נקבל
    x(c) = 3/(2+2)*8+4 = 10.