רפי, פנינה, יואב, קרן ויעל הם חמישה חברים שעשו מבחן וקיבלו אותו בחזרה עם ציון. אף אחד מהם לא רוצה לגלות את ציונו לשאר החברים, או לאף אדם אחר, אבל  כולם רוצים לדעת את הציון הממוצע של החבורה כולה.

איך יוכלו לחשב את הממוצע בלי שאף אחד יידע את הציונים של חבריו?

שבוע טוב,

סקובידו


 
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

11 תגובות

  • מיכל

    הפתרון הרבה יותר פשוט

    יושבים במעגל. הראשון רושם את הציון שלו ומוסיף לו איזה מספר שבא לו. נניח קיבל 80 ומחליט להוסיף עוד 20 אז רושם 100.
    השני מוסיף לסכום שרשום בדף את הציון שלו פלוס סכום שבא לו.ומוחק את מה שהראשון כתב.
    וככה הלאה.
    עכשיו הדף חוזר חזרה מהסוף להתחלה וכל אחד מפחית מהסכום את המספר שהוסיף אקסטרא עד שזה חוזר לראשון.
    נישאר עם הסכום של כל הציונים ואותו נחלק ב מספר התלמידים

  • דן

    פתרון פשוט מאד

    אחד מהחברים יכין מן הגרלה שהוא יקח 5 דפים ועל כל דף ירשום מספר ככה שהסכום של כל המספרים ביחד הוא 0
    למשל:
    25,-15,20,5,-35
    החבר שהכין את ההגרלה יניח את הדפים הפוכים על הרצפה ככה שאף אחד(כולל מי שהניח את הדפים) לא ידע מה רשום בכל דף
    כל חבר יקח דף ויוסיף לציון שלו את המספר שרשום על הדף
    ואז כל אחד יגיד את הציון שלו(אחרי הוספת המספר) וככה הם יוכלו לעשות ממוצע

  • רמי

    פתרון פשוט יותר 2

    נסמן במספרים 5 4 3 2 1 את החברים, ואת ציוניהם בהתאמה נסמן ב p1 p2 p3 p4 p5 .
    Av - ממוצע הציונים של החברים.

    שלב א':
    חבר 1 יחליט על מספר כלשהו S1. (למשל S1=123).
    הוא יעביר בסודיות את המספר S1 רק ל חבר 2.
    חבר 2 יחבר ל S1 את הציון שלו S1+p2=S2 ויעביר את S2 ל 3.
    ובאופן כללי : חבר i יחבר ל (S(i-1 את הציון שלו S(i-1)+pi=Si ויעביר את Si לחבר i+1.
    ולבסוף חבר 5 יחבר ל S4 את הציון שלו S4+p5=S5 ויעביר את S5 לחבר 1.
    שלב ב':
    חבר 1 קיבל את הסכום S5=S1+p2+p3+p4+p5
    היות והוא מכיר את המספר S1, ואת הציון שלו p1 , הוא יכול לחשב את הממוצע S5-S1+p1)/5 = Av)
    כעת 1 יעביר את הממוצע Av (הלא סודי) לכולם !!

  • רמי

    פתרון פשוט פחות - sin

    יהא Mi ציון של חבר i.
    יהא Ni=Mi*π/1800 (ציון מנורמל)
    חבר 1 יבחר מקדם K (בין 0.0 ל 0.174) סודי.
    נגדיר (T1=sin(K+N1.
    נגדיר Ti=sin(arcsin(T(i-1))+Ni) 5>=i>1
    Ti הוא המספר המועבר מחבר i לחבר i+1 .
    החבר 5 מעביר את המספר האחרון T5 חזרה לחבר 1.
    וכך חבר 1 מחשב את הממוצע : Av =( arcsin(T5)-K)*1800/5/π

  • רמי

    פתרון פשוט פחות

    יהא Pi ציון של חבר i.
    חבר 1 יבחר מקדם K (חיובי) ובסיס חזקה A (שונה מ 0).
    K סודי ו A מפורסם בין כל החברים.
    נגדיר T1=K*A^P1 (מכפלת K ב A בחזקת P1).
    נגדיר Ti=T(i-1)*A^Pi 5>=i>1
    Ti הוא המספר המועבר מחבר i לחבר i+1 .
    החבר 5 מעביר את המספר האחרון T5 חזרה לחבר 1.
    וכך מתקבל הממוצע : Av =( log A (T5/K) )/5 (חמישית של לוג המספר האחרון חלקי K בבסיס A)

  • רמי

    פתרון פשוט יותר

    נסמן במספרים 5 4 3 2 1 את החברים
    נסמן ב p1 p2 p3 p4 p5 את הציונים של החברים בהתאמה, ואת ממוצע הציונים נסמן ע"י Av.

    שלב א':
    חבר 1 יחליט על מספר כלשהו S0. למשל S0=253.
    יוסיף את הציון שלו ל S0 ויקבל S0+p1=S1
    הוא יעביר בסודיות את המספר S1 רק ל חבר 2.
    חבר 2 יחבר ל S1 את הציון שלו S1+p2=S2 ויעביר את S2 ל 3.
    חבר 3 יחבר ל S2 את הציון שלו S2+p3=S3 ויעביר את S3 ל 4.
    חבר 4 יחבר ל S3 את הציון שלו S3+p4=S4 ויעביר את S4 ל 5.
    חבר 5 יחבר ל S4 את הציון שלו S4+p5=S5 ויעביר את S5 ל 1.
    שלב ב':
    חבר 1 קיבל את הסכום S5=S0+p1+p2+p3+p4+p5
    היות והוא מכיר את המספר S0, הוא יכול לחשב את הממוצע S5-S0)/5 = Av)
    כעת 1 יעביר את הממוצע Av (הלא סודי) לכולם !!

  • Chaim

    ממש יפה

    אלגנטי ופשוט

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    מעולה!

    לפתרון הזה התכוונתי

  • עדי

    עוד פתרון

    נניח שיש במבחן 20 שאלות-כל אחת של 5 נקודות. כל אחד יגלה את הציון ל 10 השאלות הראשונות-50 הנקודות הראשונות לרפי . ואת הציון ל10 השאלות האחרות לפנינה
    (הם יצרפו גם את הציונים ה"חצויים" שלהם).
    לכל אחד יש סכום "חצוי" של הציונים, הם יגלו אותם אחד לשני, יחלקו בחמש וימצאו את הממוצע

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    יפה, אבל...

    הפתרון לא מושלם כי אמנם רפי ופנינה לא ידעו את הציונים הסופיים אבל עדיין יקבלו מידע כלשהו על הציון. יש פתרון טוב מזה שמאפשר שמירה מוחלטת על סודיות הציון (ראי את ה"פתרון פשוט יותר" של רמי).

  • רמי

    חישוב הממוצע ללא ידיעת הציונים של האחרים

    נסמן במספרים 5 4 3 2 1 את החברים
    נסמן ב p1 p2 p3 p4 p5 את הציונים של החברים בהתאמה, ואת ממוצע הציונים נסמן ע"י Av.
    נסמן ב d1 d2 d3 d4 d5 את התוספות השרירותיות שכל חבר לוקח לעצמו בהתאמה (ראו להלן)

    שלב א:
    a1 יחליט על מספר כלשהו S0. למשל S0=50.
    הוא יעביר בסודיות את המספר S0 רק ל a2.
    a2 יקח לעצמו (בסודיות) חלק מהמספר, למשל 10 (d2=), ויעביר ל a3 את השארית 40 (S0-d2=).
    a3 כנ"ל . למשל 8 (d3=), ויעביר 32 (S0-d2-d3) ל a4
    a4 כנ"ל . למשל 9 (d4=), ויעביר 23 (S0-d2-d3-d4) ל a5
    a5 כנ"ל . למשל 8 (d5=), ויעביר 15 (S0-d2-d3-d4-d5=d1) ל a1
    שלב ב':
    a1 יעביר ל a2 את המספר p1+d1=S1
    a2 יעביר ל a3 את המספר S1+p2+d2=S2
    a3 יעביר ל a4 את המספר S2+p3+d3=S3
    a4 יעביר ל a5 את המספר S3+p4+d4=S4
    a5 יעביר ל a1 את המספר S4+p5+d5=S5
    שלב ג':
    a1 יודע את ערכו של S0 כי הוא החליט עליו, ואת ערכו של S5 אותו קיבל מ a5.
    S5=p1+d1+p2+d2+p3+d3+p4+d4+p5+d5
    a1 יודע כי S0-d2-d3-d4-d5=d1 ובפרט S0=d1+d2+d3+d4+d5
    לכן למעשה S5=S0+p1+p2+p3+p4+d4+p5
    העברת אגפים וחלוקה ב 5 : S5-S0)/5=(p1+p2+p3+p4+p5)/5= Av) ומתקבל הממוצע
    כעת a1 יעביר את הממוצע Av (הלא סודי) לכולם !!