שלום לכם,

לכבוד ל"ג בעומר שחל בשבוע שעבר מצפה לכם הפעם חידת גפרורים: 

נניח שהאורך של גפרור אחד הוא 1 ס"מ. על סמך ההנחה הזו אפשר להרכיב ריבוע בעזרת 12 גפרורים כך ששטח הריבוע הוא 9 סמ"ר והיקפו הוא 12 ס"מ (ראו איור).

אילו מצולעים אחרים אפשר להרכיב כך שהיקף המצולע עדיין יהיה שווה ל-12,  ושטח המצולע יהיה מספר שלם?

שיהיה לכם שבוע טוב,

אם תרצו לצרף איורים לתשובותיכם, תוכלו לשלוח את האיורים הללו אלי ואני אעלה אותם. תוכלו גם לשלוח קישור לדרופבוקס או לגוגל-דוקס.

 שבוע טוב,

סקובידו


 
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

15 תגובות

  • Chaim

    שטח 4

    קצת קשה להסביר בע"פ צירפתי איור ברור במייל.
    פזיה אנא העלי את האיור ששלחתי לך.

    אנסה בכל זאת לתאר במילים: משולש ישר זוית כאשר הניצבים הינם באורך יחידה אחת אזי האלכסון יהיה באורך שורש 2 ולכן צלע באורך 1 המתחיל בסוף אחד הניצבים בזוית של 45 מעלות לא יגיע לניצב האחר אך שטחו של המשולש הדמיוני הוא חצי יחידה מרובעת.

    אם נבנה משולש נוסף ונצמיד את פיותיהם אחד לשני הרי שנקבל מצולע בעל שטח בגודל 1 יחידה מרובעת שהיקפו 6 יחידות.

    כעת ניתן להדביק ריבוע פשוט שאורך צלעו 1 לקו כלשהו מלבד שני האלכסונים כמובן שהצלע המשותפת הן במשולש והן בריבוע יוסרו. כעת יש לנו מצולע שהיקפו 8 ושטחו 2.

    חזור על השלב הקודם פעמיים בכל פעם נדביק ריבוע לצלע כלשהי שאינה אחת מהצלעות האלכסוניים ובכך נגדיל את השטח באחד ואת ההיקף בשתיים.

    בסיום הרי לנו מצולע ששטחו 4 והיקפו 12.

    כמובן שניתן לייצר בקלות מצולעים בשטח 5,6,7.8 כנראה שזה ברור לכולם אך אציין בכל זאת למען שלמות הדיון:
    כל פינה באיור המקורי ניתנת לכווץ פנימה על ידי הפניית הצלעות הסמוכות לפינה בתשעים מעלות פנימה ובלי לפגוע בהיקף אנו משנים את גודל השטח. אם נעשה זאת לפינה אחת נקבל מצולע בשטח 8 אם נעשה זאת ליותר פינות נקבל שטח קטן יותר עד שבכווץ כל הפינות נקבל שטח 5.

  • Chaim

  • עטרה

  • עטרה

    עוד צורה

    מגן דוד מותאם סימטרי, שהיקפו 12 ס"מ, ושטחו 6 סמ"ר:

    https://docs.google.com/drawings/d/13EXu2C0vhqXiuTDdnvAxkzseEVLuYJt22zgE...

  • רמי

    הקובץ לא נגיש.

    אולי תשני הגדרת הגישה לקובץ ל "כל אחד שהקישור ברשותו יכול לצפות" (אם לא הגדרת כך).

  • עטרה

  • רמי

    שינוי הגדרת גישה

    אם נמצאים במסמכים של Gmail, ניתן לשנות את הגישה בדרך הבאה:
    1) סמן עכבר מעל שם הקובץ
    2) לחצן ימני של עכבר ובחירת "שתף..."
    3) שוב בחירת "שתף.." ונפתח חלון חדש.
    4) מתחת ל "למי יש גישה" , בשורה "פרטי", ללחוץ על "שנה"
    5) לסמן "כל אחד שיש לו קישור .."
    6) ללחוץ על "שמור"
    7) לשמור את הכתובת של הקובץ המופיעה מתחת ל" צור קישור כדי לשתף"
    8) ללחוץ על "בוצע".

    כעת אפשר לפרסם באתר את כתובת הקובץ שנשמרה.

  • עטרה

    סידרתי את הגישה

    הרבה תודה על ההסברים.
    נראה לי שעכשיו הקובץ נגיש.
    הכתובת:
    https://docs.google.com/drawings/d/1wORciYtw8tgfzFJ0KEX01gQoFYPStyuFLK0n...

  • רמי

    יפה מאוד!

    הפתרון הסימטרי שלך מוצלח ביותר!!

  • רמי

    עוד צורה עם שטח 6 סמ"ר

    התאמת צורת מגן דוד שכל צלע בו 1 ס"מ ושטחו 5.196 סמ"ר, לצורה בעלת שטח 6.000 סמ"ר:

    https://docs.google.com/file/d/0B51WVmclKl_zeFJvT25NNm1qQ2c/edit?usp=sha...

  • רמי

    שטח 6

    להלן 4 דוגמאות למצולעים בעלי היקף 12 ס"מ ושטח 6 סמ"ר.

    https://docs.google.com/file/d/0B51WVmclKl_zdEtpREt0Uk9pNjQ/edit?usp=sha...

  • רמי

    מקסימום

    טענה:
    ====
    השטח בעל המספר השלם המקסימלי האפשרי שניתן לבנות עם 12 גפרורים הוא 11 סמ"ר.

    הסבר ותהליך בניה:
    =============
    1) חסם עליון : שטח של מצולע משוכלל עם 12 צלעות בגודל 1 ס"מ הוא 11.196 סמ"ר.
    2) נבנה מצולע משוכלל עם 12 הגפרורים.
    3) נבחר 2 גפרורים סמוכים כלשהם במצולע הנ"ל ונמתח אותם כלפי חוץ עד שהזווית ביניהם תיהיה כ 116.75 מעלות, ובין שאר הגפרורים (בין כל 2 גפרורים מבין 10 הנותרים) הזווית תיהיה כ 149.35 מעלות.
    כעת שטחו של המצולע שנוצר הוא כ 11 סמ"ר (עד רמת הדיוק הנדרשת).

    מ.ש.ל.

  • רמי

    תמונת הפתרון ותיקון סעיף 3.

    להלן תמונת הפתרון של מקסימום שטח שלם עם 12 גפרורים:
    https://docs.google.com/file/d/0B51WVmclKl_zVWEwbXVJckQ2dlE/edit?usp=sha...

    תיקון סעיף 3 :
    נבחר 2 גפרורים סמוכים כלשהם במצולע הנ"ל ונמתח אותם כלפי חוץ עד שהזווית ביניהם תיהיה כ 116.75 מעלות.
    שתי הזוויות הסמוכות לקודקוד שהוזז, הזווית בהן תיהיה 169.55 מעלות.
    ובין שאר הגפרורים (בין כל 2 גפרורים מבין 9 הרחוקים) הזווית תיהיה כ 149.35 מעלות.

  • עטרה

  • רמי