שלום לכם,

ברשותנו עשרה כרטיסים. כותבים (1+) על חמישה מהם, ו-(1-) על חמשת האחרים, ושמים את כולם בשקית.
לאחר מכן מוציאים שני כרטיסים באופן אקראי, בלי להסתכל בשקית, ואת שני המספרים שהוצאנו מכפילים זה בזה. מהי ההסתברות שהתוצאה היא (1+) ?

שבוע טוב!

סקובידו



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

29 תגובות

  • מורה

    פתרונות נכונים לחידות

    הערה כללית: כדאי לפרסם פתרון רשמי לכל החידות. התלמידים שלי לא מצאו אחד כזה ודווקא מצאו הרבה פתרונות לא נכונים בתגובות. זה יכול לבלבל בדיוק את הקהל שאליו אתם מנסים לפנות.
    למשל, הם באו אלי עם הפתרון של עטרה לחידה הנ"ל שהופיע בתגובות כמשהו שנראה כמו פתרון רשמי והיה לא נכון (הזה עם ה 50%).

  • עטרה

    עוד חידה

    ברשותנו עשרה כרטיסים. כותבים (1+) על חמישה מהם, ו-(1-) על חמשת האחרים, ושמים את כולם בשקית. לאחר מכן מוציאים כרטיס באופן אקראי. אם כתוב עליו (1-), אז מוציאים עוד כרטיס. ממשיכים להוציא, עד שמוציאים כרטיס אחד שכתוב עליו (1+).
    את כל המספרים שהוצאנו מכפילים זה בזה. מהי ההסתברות שהתוצאה היא (1+)?

  • רמי

    פתרון לעוד חידה

    P(.....+1)=1/2+5/36+5/252=83/126=0.65873

  • רמי

    הרחבת החידה

    ברשותנו עשרה כרטיסים. כותבים (1+) על חמישה מהם, ו-(1-) על חמשת האחרים, ושמים את כולם בשקית.
    לאחר מכן מוציאים שני כרטיסים באופן אקראי, בלי להסתכל בשקית,
    אם המספרים בשני הכרטיסים שווים, מוציאים אקראית כרטיס נוסף מהשקית.
    את כל המספרים שהוצאנו מכפילים זה בזה (או 2 מספרים או 3).
    מהי ההסתברות שהתוצאה היא (1+) ?

  • עטרה

    תשובה

    ההסתברות
    P(+) = 1/12+5/36 = 2/9

  • רמי

  • עטרה

    חידה כללית, ללא חישובים

    נתבונן בביטויים הבאים:
    א) ההסתברות שמכפלת ערכים מתוך קבוצה של חיוביים ושליליים היא חיובית
    ב) ההסתברות שמכפלת ערכים מתוך {1,1-,i,i-} היא 1
    ג) ההסתברות שהרכבה של סיבובים מתוך {0, 120, 120-} מעלות מגיעה למצב המקורי
    ד) ההסתברות שסכום ערכים מתוך קבוצה של זוגיים ואי-זוגיים היא זוגית
    ה) ההסתברות שסכום ערכים מתוך קבוצה של ראשוניים ופריקים היא ראשונית
    איזה ביטוי הוא יוצא דופן, ומדוע?

  • רמי

    היוצא דופן

    נראה לי כי ביטוי ה) יוצא דופן.
    לא ניתן, מקבוצת הבסיס של ראשוניים ופריקים, להוציא תתי קבוצות בלתי תלויות שמתוכן ניתן להסיק לגבי ההסתברות. צריך ליצור את קבוצת התוצאה (אוסף סכומי כל זוגות המספרים), ורק אז , ע"י בחינת כל סכום בנפרד אם ראשוני או לא, לחשב את ההסתברות.
    למשל בזוגיים ואי זוגיים ניתן ליצור, לפני יצירת הסכום, 3 קבוצות בלתי תלויות: (++,--,+-) , ולדעת בוודאות שתוצאת הסכום תיהיה (זוגית,זוגית,אי-זוגית) בהתאמה.

  • עטרה

    נכון. ויש קשר נוסף בין הביטויים.

    נניח שיש קרוסלה עם ארבעה כיסאות, שכתובים עליהם המספרים {1,i,-1,i-}.
    אם נסובב את הקרוסלה רבע סיבוב, כלומר 90 מעלות, אז במקום 1 יהיה כתוב i, במקום i יהיה כתוב 1-, במקום 1- יהיה כתוב i-, ובמקום i- יהיה כתוב 1. כלומר, לכל מספר z, במקום z יהיה כתוב (i * z). לכן, סיבוב של 90 מעלות שקול לכפל פי i.
    באותו אופן, סיבוב של 180 מעלות שקול לכפל פי 1-, סיבוב של 270 מעלות שקול לכפל פי i-, וסיבוב של 0 מעלות שקול לכפל פי 1.
    לכן, החידה על המכפלות של הערכים {1,i,-1,i-} שקולה לחידה על הסיבובים של הקרוסלה, כאשר הסיבובים המותרים הם {0, 90, 180, 270}.

    עבור החידה של החיבור: אם יש מספר כלשהו, ומחברים לו מספר זוגי, אז הזוגיות של התוצאה היא כמו הזוגיות של המספר המקורי. אם מחברים מספר אי-זוגי, אז הזוגיות של התוצאה שונה מהזוגיות של המספר המקורי.
    נניח שיש קרוסלה עם שני כיסאות, שעל הראשון כתוב "זוגי", ועל השני כתוב "אי-זוגי". אם לא נסובב את הקרוסלה, אז המיקומים של הכיסאות לא ישתנו. אם נסובב את הקרוסלה חצי סיבוב, כלומר 180 מעלות, אז הכיסאות יתחלפו ביניהם. סיבוב של 0 מעלות שקול להוספת מספר זוגי, וסיבוב של 180 מעלות שקול להוספת מספר אי-זוגי.
    לכן, החידה על הזוגיות של סכומים שקולה לחידה על הסיבובים של הקרוסלה, כאשר הסיבובים המותרים הם {0, 180}.

  • דורון

  • רמי

    חידת חיבור

    נקח 6 כרטיסים ונרשום עליהם את המספרים 6,5,4,3,2,1 . מספר אחד על כל כרטיס .
    נכניס הכרטיסים לשקית.
    נוציא שני כרטיסים מהשקית בצורה אקראית ונחבר את ערכיהם.
    1) איזו הסתברות גדולה יותר, ההסתברות לקבל מספר ראשוני או ההסתברות לקבל מספר זוגי?
    2) האם היחס, בין ההסתברות לראשוני מול ההסתברות לזוגי ,נשמר גם עבור 7 , 8 או 9 כרטיסים (עם המספרים 1-7, 1-8 ו- 1-9 בהתאמה) ?

  • עטרה

    תשובה + נוסחה

    ההסתברות לכך שסכום של שני מספרים שונים השייכים לקבוצה {1,...,n} הוא זוגי היא:
    P(even) = 0.5*(n-2)/(n-1 -------------- אם n זוגי
    P(even) = 0.5*(n-1)/n -------------- אם n אי-זוגי
    עבור ערכים גדולים של n, ההסתברות היא בקירוב 0.5.

    לכל n, נסמן על ידי f(n את מספר המספרים הראשוניים השייכים לקבוצה {1,...,n}.
    עבור ערכים גדולים של n, הפונקציה f(n היא בקירוב n/ln(n.
    ההסתברות לכך שסכום של שני מספרים שונים השייכים לקבוצה {1,...,n} הוא ראשוני היא:
    P(prime) = (sum{f(k)|n+1

    לכל n גדול/שווה 8, מתקיים P(prime)

    עבור הנתונים שבחידה
    P(prime)..........P(even)..........n
    6..............2/5..................7/15
    7..............3/7..................3/7
    8..............3/7..................11/28
    9..............4/9..................7/18

  • רמי

  • אבנר מרט

    תשובה לחידת שני הקלפים

    ההסתברות למכפלה פלוס אחד היא 4 חלקי 9 שזאת ההסתברות שהקלף השני יהיה מאותו סוג כמו הראשון. בקרו בתאר האלגברה שלי www.tiger-algebra.com

  • עטרה

    חידה - שורשי יחידה מסדר 3

    בגינה יש קרוסלה, שאחד הכיסאות שלה בצבע אדום, והיתר בצבע ירוק. ליד הקרוסלה מונחים חמישה עשר כרטיסים. על חמישה מהם כתוב "סיבוב 120 מעלות נגד כיוון השעון", על חמישה אחרים כתוב "סיבוב 120 מעלות עם כיוון השעון", ועל השאר כתוב "ללא סיבוב". מוציאים שלושה כרטיסים באופן אקראי, ומבצעים את הפעולות הכתובות עליהם.
    מה ההסתברות לכך, שאחרי ביצוע שלוש הפעולות, הכיסא האדום יימצא במיקום שהיה בו לפני ביצוע הפעולות?

  • עטרה

    נוסחה

    נוסחה עבור ההסתברות לכך שהכיסא האדום יימצא במיקום שהיה בו לפני ביצוע הפעולות:
    יהא C מספר הכרטיסים מכל סוג.
    יהא S מספר הכרטיסים שאנו בוחרים מהערימה.
    אם S מתחלק ב 3, אז ההסתברות היא
    choose(c,(s/3))/choose((3*c),s) * 2/3 + 1/3
    אם S אינו מתחלק ב 3, אז ההסתברות היא 1/3.

  • רמי

    תשובה לקרוסלה

    יש 4 מצבים של שלושה כרטיסים המביאים את הכסא האדום למקומו: (120- 120- 120-) (0 0 0) (120 120- 0) (120 120 120).
    הסתברויותיהם בהתאמה : 2/91 2/91 20/91 2/91 .
    סכום ההסתברויות 2/7 הוא ההסתברות שהכיסא האדום יימצא במיקום שהיה בו לפני ביצוע הפעולות.

  • עטרה

    כמעט

    ההסתברות של המאורע {0, 120, 120-} אינה 20/91.

  • רמי

    נכון. טעות חישובית שלי.

    ההסתברות של המאורע {0, 120, 120-} היא למעשה 25/91.
    ולכן ההסתברות שהכיסא האדום יימצא במיקום שהיה בו לפני ביצוע הפעולות היא 31/91.

  • יערה

    פתרון

    מוציאים את הכרטיס הראשון. יש 50% שהוא יהיה 1 ו-50% שהוא יהיה 1-.
    מוציאיםאת הכרטיס השני. שוב יש את אותם הסיכויים. אבל ביחס לכרטיס הראשון, יש 4 מקרים: 1,1 1,1- 1-,1 ו- 1-,1-. לכל מקרה יש 25% שהוא יתקיים.
    2 אפשרויות מתוך ה-4 נותנות לנו את התוצאה 1, ולכן הסיכוי הוא 50%

  • רמי

    סיכויי הכרטיס השני

    לאחר שמוציאים כרטיס אחד נשארים 9 כרטיסים. 4 כרטיסים עם סימן כמו של הכרטיס שהוצא ועוד 5 כרטיסים עם סימן הפוך.
    נראה שכעת הסיכויים להוציא כרטיס עם סימן הפוך גדולים מ 50% : 5/9 ,לעומת הסיכויים להוציא כרטיס עם הסימן של הכרטיס שהוצא : 4/9 .

  • יערה

  • יערה

  • רמי

    חידת המשך

    נוסיף לשקית 5 כרטיסים עם הערך i רשום על כל אחד מהם.
    i - היחידה המדומה - מוגדר כשווה לשורש של מינוס אחד (1-).
    נוציא באקראי 3 כרטיסים מתוך השקית עם ה 15 כרטיסים, ונכפיל את 3 המספרים הרשומים בהם.
    מהי ההסתברות שהתוצאה היא (1+) ?

  • עדי

    תשובה

    יש עשרה מקרים שונים של כרטיסים. מתוכם רק בשלושה מקרים ההכפלה תביא (1+) אז ההסתברות היא 10\3

  • עדי

    תיקון?

    ישנם 27 מקרים אם מתייחסים לסדר ההוצאה של הפתקים ו 10 אם לא.
    שלושת המקרים שמביאים אחד הם:[1,-1,-1]
    [1,1,1]
    [-1,i,i]
    לשניים הראשונים מתוך 27 מקרים יצאו כל אחד 3 פעמים והאחרון יצא רק פעם אחת סך הכל 7 פעמים מתוך 27

  • רמי

    הסתברות כל מקרה לגופו

    יש באמת 10 מקרים שונים, אך האם כל המקרים הם בעלי הסתברות זהה?
    האם הסתברות מקרה [1,1-,i] שווה להסתברות מקרה [1,1,1] ?

  • roy the king רו...

    תשובה

    20/45

  • יהונתן

    ליתר דיוק

    4/9