שלום לכם,

בקניון התקינו דרגנוע.

כשהדרגנוע עומד, מצליחות פזיתי ואחותה התאומה פזיקי (הזהה לה בכל) לרדת מהר יותר מאשר לעלות. נערכת תחרות: פזיתי עולה ויורדת בדרגנוע עולה, ופזיקי עולה ויורדת בדרגנוע יורד.

מי תגיע ראשונה?

 

חידה זו נשאלה בתחרות הערים הבינלאומית ה-19 במתמטיקה תשנ"ח, והוצגה בכתב העת "אתגר" גליון מס' 45.

שבוע טוב!

סקובידו


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

8 תגובות

  • אריאל

    פיתרון נטול חישובים מתמטיים

    הדרגנוע מעכב את שירלי כשהיא יורדת, ומעכב את מירלי כשהיא עולה. לא צריך כל חישוב. בגלל שמהירות הירידה של פזיתי גדולה ממהירות העלייה של פזיקי, הרי שפזיתי מתעכבת במשך פחות זמן. (באותו האופן ניתן להתייחס גם לעד כמה הדרגנוע עוזר להתקדמות. הוא עוזר לפזיתי בעלייה ועוזר לפזיקי בירידה. הואיל והעלייה איטית יותר, הרי שהוא עוזר לפזיתי במשך יותר זמן)

  • ישראל

    תשובה

    פזיתי, שעולה ויורדת בדרגנוע עולה, תגיע ראשונה.

    אפשר להראות את זה אלגברית על ידי חישוב זמני העליה והירידה, אבל אפשר גם להשתמש בטיעון איכותי: נניח שמהירות העלייה (בדרגנוע עומד) גדולה רק במקצת - נאמר בס"מ אחד לשנייה - ממהירות התנועה של דרגנוע נע. פזיקי, העולה בדרגנוע יורד, מגיעה אם כך למהירות עלייה שקולה (הפרש בין מהירות העלייה בדרגנוע עומד לבין מהירות הדרגנוע) של ס"מ אחד לשנייה, כך שאם הדרגנוע באורך 3.6 מטר היא תסיים את העלייה אחרי 6 דקות מייגעות. לפי הנתון, הירידה בדרגנוע עולה מהירה יותר (כי מהירות הירידה של התאומות גבוהה ממהירות הירידה). לכן קל לראות שזמן העלייה בדרגנוע יורד הוא הגדול ביותר מכל מרכיבי הזמנים של עליית וירידת שתי התאומות (וכמובן אפשר להניח גם הפרשים קטנים יותר - אפילו ס"מ אחד לשעה!) ולכן הוא השולט בהשוואת הזמנים של התאומות.

    זוהי אינה הוכחה מלאה (שכאמור אפשר לקבל מכתיבת משוואות התנועה ופיתוח אלגברי שלהן), אבל אם אנחנו מבינים מהשאלה שהתשובה קבועה ואינה תלויה בגדלים הכמותיים של מהירויות, אז מספיק שראינו דוגמה אחת בה פזיתי מהירה יותר כדי להסיק שהיא תמיד מהירה יותר.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    יפה מאד

    ההסבר שלך ממחיש באופן אינטואיטיבי את התשובה שאפשר לקבל גם במהלך מתמטי כפי שעשתה נגה.

  • noga

    תשובה

    פזיתי היא זו שתגיע ראשונה.
    נסמן ב u את מהרות העלייה כשהדרגנוע במנוחה, ובd את מהירות הירידה במצב זה. נסמן בv את מהירות הדרגנוע.
    הזמן שייקח לפזיתי לעלות ולרדת (כאשר הדרגנוע עולה):
    x/(u+v)+x/(d-v)=x*(d+u)/(ud-v^2+v(d-u))
    הזמן שייקח לפזיקי לעלות ולרדת (כאשר הדרגנוע יורד):
    x/(u-v)+x/(d+v)=x*(d+u)/(ud-v^2+v(u-d))
    כעת, מאחר ונתון d>u
    נקבל כי המכנה בחישוב הזמן של פזיתי גדול מזה בחישוב הזמן של פזיקי, ומכאן שפזיתי תעשה דרך זו בזמן קצר יותר.

  • רפי

    הסתייגות

    כל זה נכון בתנאי ש-|d|>|v| וגם |u|>|v|. אחרת, לפחות אחת מן המתחרות לא תגיע ליעדה לעולם.

  • רפי

    תיקון להסתייגות

    כדי שמישהי תנצח בתחרות מספיק ש-|d|>|v| או |u|>|v|.
    אם |d|

  • noga

    תגובה להסתייגות

    יצאתי מנק' הנחה שלפחות אחת מהן כן מגיעה לנק' הסיום.
    אם כמו שכתבת d ככה שבכל מקרה אין אופציה שפזיקי תנצח..

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה