שלום לכם,

שמונת אבירי השולחן העגול החליטו להזמין פיצה. ארבעה מהם מעדיפים פטריות לתוספת וארבעת האחרים מעדיפים זיתים. הם שלחו יונת דואר לכפר האיטלקי השכן והזמינו פיצה משפחתית של שמונה משולשים. ארבעה מהם עם פטריות וארבעת האחרים עם זיתים.
השמונה התישבו סביב השולחן העגול
והמתינו לפיצה. כשהשליח הגיע הוא הניח את הפיצה העגולה על השולחן העגול, כך שכל משולש פיצה נמצא מול אחד האבירים. אולם משולש הפיצה שנמצא מול האביר אינו בהכרח עם התוספת שבחר מאחר שהאופים פיזרו את התוספות על המשולשים בסדר אקראי, וגם שמונת האבירים ישבו על השולחן בסדר אקראי, ולאו דווקא לפי התוספות המועדפות עליהם.

במצב שנוצרף חלק מהאבירים היו מרוצים משום שקיבלו את התוספת שרצו וחלקם אינם מרוצים. האבירים יכולים לסובב את מגש הפיצה כך שחתיכות פיצה אחרות יימצאו מולם. האם קיים מצב של מגש הפיצה שבו לפחות חצי מהאבירים יקבלו משולש פיצה עם התוספת שהזמינו?

שבוע טוב וחג פורים שמח!

סקובידו



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

11 תגובות

  • אלון

    לא בדיוק הבנתי את השאלה - אבל התשובה היא כנראה - אני יבדוק אח"כ

    שכולם לא מקבלים את מה שהזמינו
    ואז לפחות 4 יקבלו את מה שהזמינו אחרי סיבוב אחד.
    הסיכוי שזה יקרה:1-((1/70)+(5/70)+(15/70)+(35/70)) = (14/70) = (1/5) = 0.2

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • אמיר

    הצעת פתרון

    ישנן 8 אפשרויות לסיבוב הפיצה, כל אביר נהנה בדיוק בארבע מתוך 8 האפשרויות.
    מכאן, ממוצע האבירים המרוצים מכל אפשרות הוא 4 שזה 50% מהאבירים.
    במקרה ה"גרוע", בכל אחת מ-8 האפשרויות, בדיוק ממוצע האבירים היה מרוצה, הרי שיש אפשרות שבה חצי מהאבירים מרוצים.
    במקרה אחר, לפחות באפשרות אחת יש פחות מ-50% אבירים מרוצים, הרי שמטבעו של ממוצע, יש לפחות אפשרות אחת שלה יש יותר מ-50% אבירים מרוצים (נניח 6 אפשרויות שבהן 50% מרוצים, אפשרות אחת 25% מרוצים, בהכרח באפשרות השמינית 75% יהיו מרוצים.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

    נכון!

    התשובה של ישראל מפורטת יותר - כדאי לך לקרוא אותה ולהשתכנע שאתה צודק... :)

  • ישראל

    הצעת פתרון - מתאימה גם לשאלה כללית יותר

    נתייחס לסידור כלשהו של משולשי הפיצה, למשל פפזפזזזפ (פ=פטריות, ז=זיתים). מכיוון שאפשר לסובב את הפיצה העגולה כך שתהיה בשמונה מצבים שונים, נכתוב שמונה שורות שכל אחת מייצגת סיבוב אחר של הפיצה. בדוגמה שלנו:
    פפזפזזזפ
    פזפזזזפפ
    זפזזזפפפ
    פזזזפפפז
    ... (עוד 4 שורות)

    הטורים בטבלה שנוצרה מייצגים את הפיצות שיעברו מול כל אביר (טור 1 עבור אביר 1, טור 2 לאביר 2 וכו') במהלך סיבוב שלם של הפיצה. מכיוון שבסיבוב שלם יעברו מול האביר ארבעה משולשי פטריות וארבעה משולשי זיתים, ברור שיש בכל טור בדיוק 4 התאמות למה שרצה האביר המתאים לכל טור. בסך הכל יש בטבלה 8 טורים ו- 4 התאמות בכל טור, כלומר 32 התאמות.

    עכשיו אפשר לשאול האם קיים סיבוב (כלומר שורה בטבלה) שיש בו לפחות 4 התאמות. נניח שלא: אם כך יש לכל היותר 3 התאמות בשורה, ובסך הכל ב- 8 השורות יש 24 התאמות; אבל יש 32 התאמות ולכן ההנחה אינה יכולה להיות נכונה, ומכאן שקיים לפחות סיבוב אחד עם לפחות 4 התאמות.

    לא השתמשנו כאן בנתון שארבעה אבירים מעדיפים פטריות וארבעה מעדיפים זיתים. לכן האם פתרון זה מתאים גם לכל חלוקה של ההעדפות בין האבירים.

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןפזיה

  • מיכאל

    הצעת פתרון

    מקרה א: יש לפחות 2 פיצות מאותו סוג שצמודות זו לזו, ולכן יש לפחות 2 פיצות צמודות מהסוג האחר, כי נותרו 4 פיצות מסוג ב לסדר ב4 מתוך 6
    מקומות.
    מקרה ב': הפיצות מסודרות לסירוגין.
    הערות למקרה א
    *אם האבירים מסודרים לסירוגין - לפחות 4 מהפיצות מסודרים לסירוגין, ולכן אחרי מספר סיבובים ארבעה אבירים יהיו מרוצים.
    *בכל התת-מקרים האחרים במקרה א', יש לפחות 2 אבירים צמודים שהזמינו אותו סוג, ולכן 2 יש לפחות 2 אבירים צמודים שהזמינו סוג אחר, מאותו
    נימוק במקרה א, ולכן אחרי מספר סיבובים, אבירים אלה יתרצו.
    הערות למקרה ב
    *אם האבירים מסודרים לסירוגן במקרה ב, אחרי סיבוב אחד כולם מרוצים.
    *בכל התת-מקרים האחרים במקרה ב' חייבים להיות לפחות 4 אבירים מסודרים לסירוגין, ולכן אחרי מספר סיבובים ארבעת אלה יהיו מרוצים.

  • עטרה

    פיצה נוספת

    האבירים מאוד נהנו מהפיצה, ומיד הזמינו עוד אחת. ראש האבירים אמר, שכעת הוא מעדיף פטריות, ולא זיתים. חברו כעס עליו: "הקטנת את הסיכוי לכך שכולנו נהיה מרוצים, כי כעת יש הרבה מנות מסוג אחד, ורק מעט מהסוג האחר". "אתה טועה", ענה ראש האבירים, "אני הגדלתי את הסיכוי לכך שכולנו נהיה מרוצים". מי צודק?

  • עטרה

    חידת המשך

    האופים החליטו להרגיז את האבירים, ולכן רצו לסדר את התוספות על המשולשים, כך שמספר האבירים המרוצים יהיה מינימלי. האופים לא ידעו באיזה סדר ישבו האבירים סביב השולחן העגול. באיזה סדר סידרו האופים את התוספות?

  • אלון

    אקראי * אקראי = אקראי

    לכן, זה בכלל לא חשוב הסידור של האופים (בלי הסיבוב)
    אם הסיבוב אז אני מנחש שזה צריך להיות זוג זוג צמודים
    ואז 4 מעורבבים.

    אני בכיוון?

  • פנינה פרי