הי!

לפניכם חידה של בנייה בסרגל ובמחוגה שהציע לנו פינאקי מונדל, פוסט-דוקטורנט במחלקה למתמטיקה, מכון ויצמן למדע:

ברשותכם סרגל ומחוגה בלבד ואתם מעוניינים לשרטט קו ישר בין שתי נקודות מרוחקות שהמרחק ביניהן עולה על אורכו של הסרגל. איך תוכלו לבצע את המשימה?

הסרגל בחידה זו הוא כלי המאפשר יצירת קו ישר, אך אינו מתאים למדידה. אין לו יכולת מדידה!


תמונה: Shutterstock

בהצלחה!

סקובידו


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום. אנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

10 תגובות

  • רמי

    פתרון 3 - מפתח מחוגה לא מוגבל

    פתרון שלישי – מפתח מחוגה לא מוגבל
    המחוגה בחידה לא הוגבלה במפתחה ולכן ניתן לפתוח אותה לכל גודל שנרצה!
    יהא אורך הסרגל K.
    טענות בשימוש בסרגל ומחוגה הנתונים :
    טענה 1 : כל קטע ניתן להמשכה לכל אורך שנרצה
    טענה 2 : לכל קטע סופי ניתן למצוא את נקודת האמצע שלו.
    טענה 3 : ניתן לחלק קטע סופי ל 3 חלקים שווים באורכם.

    1) נציב שתי נקודות A ו B כך שהמרחק ביניהן AB גדול מ K
    2) נצייר מעגל סביב נקודה B עם מפתח מחוגה בערך בגודל מעט קטן מ K/2 וגדול מ K/3 (טענות 2 ו 3)
    3) נצייר מעגל סביב נקודה A עם מפתח מחוגה בגודל מעט קטן מ AB-K/3 וגדול מ AB-K/2 (טענות 2 ו 3)
    4) נסמן את שתי הנקודות בהן נחתכו המעגלים ב C ו D ונחבר אותן בעזרת הסרגל (המרחק בין C ל D קטן מ K )
    5) נחצה את קטע CD ונסמן את נקודת החציה ב E (טענה 2).
    6) נחבר נקודה B ל E עם הסרגל (המרחק בין C ל D קטן מ K/2 ).
    7) נמשיך קטע BE לכיוון מ B ל E עד הפגשו עם נקודה A (טענה 1).
    8) מ.ש.ל.

  • סקובידו

    איור

    הינה האיור לפתרון 3 שרמי שלח לי. הקישו על התמונה כדי להגדיל אותה.

  • רמי

    פתרון נוסף - קטע אמצעים

    יהא K אורכו של הסרגל
    יהיו A ו B הנקודות המרוחקות שיש לחבר קו ביניהן
    טענות בשימוש בסרגל ומחוגה הנתונים :
    טענה 1 : כל קטע ניתן להמשכה לכל אורך שנרצה
    טענה 2 : לכל קטע סופי ניתן למצוא את נקודת האמצע שלו.
    טענה 3 : ניתן להעתיק זוית מנקודה לנקודה אחרת.

    1) יצירת קטע 1 מנקודה A לכיוון נקודה B
    2) המשכת הקטע 1 עד מעבר לנקודה B (טענה 1)
    3) יצירת קטע 2 מנקודה B לכיוון נקודה A
    4) המשכת הקטע 2 עד חיתוכו עם הקטע 1 שתחילתו ב A. נסמן את נקודת החיתוך ב C .(טענה 1) התקבל משולש ACB.
    5) חלוקת קטע AC לשני אורכים שווים. נסמן את נקודת האמצע ב D1 (טענה 2)
    6) חלוקת קטע BC לשני אורכים שווים. נסמן את נקודת האמצע ב E1 (טענה 2)
    7) נסמן x=1
    8) אם המרחק בין Dx לבין Ex קטן מאורך הסרגל נסמן קו זה ונעבור לשלב 12
    9) נחלק את הקטע CDx לשני אורכים שווים. נסמן את נקודת האמצע D(x+1) (טענה 2)
    10) נחלק את הקטע CEx לשני אורכים שווים. נסמן את נקודת האמצע E(x+1) (טענה 2)
    11) המשך לסעיף 8
    12) נעתיק זוית CDxEx לנקודה A (זוית CAB) (טענה 3)
    13) נמשיך את קו הזוית עד נקודה B.
    14) מ.ש.ל.

  • סקובידו

    יפה מאוד!

    זהו פתרון יפה מאוד ודומה לפתרון של ממציא החידה!

  • סקובידו

    איור: חיבור שתי נקודות עם סרגל קצר ומחוגה

    הינה איור נוסף שרמי שלח לי (הקישו על התמונה כדי להגדיל אותה):

  • סקובידו

    איור: חלוקת קטע לשני חלקים שווים

    הינה איור שרמי שלח לי (הקישו על התמונה כדי להגדיל אותה):

  • סקובידו

    קיים פתרון נוסף!

    הפתרון של רמי יפה, מעניין ושונה מהפתרון של ממציא החידה.
    קיים פתרון נוסף ללא שימוש באנכים. מצאו פתרון זה!

  • רמי

    פתרון

    יהא K אורכו של הסרגל
    יהיו A ו B הנקודות המרוחקות שיש לחבר קו ביניהן
    טענות בשימוש בסרגל ומחוגה הנתונים :
    טענה 1 : כל קטע ניתן להמשכה לכל אורך שנרצה
    טענה 2 : מקטע נתון ניתן לעלות אנך מכל נקודה שעליו
    טענה 3 : מנקודה כלשהי (מספיק קרובה) ניתן להוריד אנך לקטע נתון
    טענה 4 : לכל קטע סופי ניתן למצוא את נקודת האמצע שלו.
    טענה 5 : לקטע נתון ניתן להעביר קטע מקביל לו
    (הוכחת הטענות תנתן על פי דרישה)

    תהליך שרטוט קו בין שתי נקודות מרוחקות :
    1) מנקודה A נסמן קטע לכיוון נקודה B . נאריך קטע זה עד כמה שיותר קרוב ל B (טענה 1)
    2) אם המרחק בין הקו שנוצר לנקודה B מספיק קטן (במגבלות אורך הסרגל K), נוריד אנך מנקודה B לקו הנ"ל (טענה 3)
    3) אחרת, ניצור קו מקביל לקו הנ"ל, שיתקרב לנקודה B (במגבלות אורך הסרגל K) ונחזור לסעיף 2. (טענה 5)
    4) נמשיך את האנך (מסעיף 2) עד חיתוכו עם הקו שיצא מנק' A. תהא C נקודת החיתוך. (טענה 1)
    5) מנקודה B ניצור אנך לאנך שנוצר בסעיף 2 ונאריך אותו מספיק. (טענות 1 ו 3)
    6) מנקודה A ניצור אנך לקו שנוצר בסעיף 1 ונמשיכו עד חיתוכו עם הקטע שנוצר בסעיף הקודם 5. תהא D נקודת החיתוך. (טענה 1)
    7) קיבלנו מלבן ACBD.
    8) נמצא את אמצע הקטע CB, להלן E (טענה 4)
    9) נעביר קטע מקביל לקטע AC מנקודה E עד הפגשו עם קטע AD בנקודה F (טענה 5)
    10) נמצא את אמצע הקטע EF, להלן G (טענה 4) . נקודה זו נמצאת על הקו המחבר נקודות A ו B !!!!
    11) כעת נשאר לחבר את הנקודות A ו G, וגם את B ו G. אם המרחק ביניהם קטן מ K, אזי להשתמש בסרגל וסיימנו, אחרת, להפעיל את אותו האלגוריתם להקטנת המרחק בין הנקודות A ו G וגם עבור B ו G.

  • סקובידו

    איור

    הינה איור שרמי שלח לי. הקישו על התמונה כדי להגדיל אותה.

  • סקובידו

    פתרון יפה!

    פתרון יפה! יש לי שתי שאלות: האם תוכל לצרף איור או לשלוח לי איור שאצרף? האם תוכל להסביר איך לחלק קטע לשני קטעים שווי אורך?