קשה לנו לדמיין מהו האינסוף. אנחנו יודעים שקיימים אינסוף מספרים טבעיים, למשל, מכיוון שתמיד אפשר להמשיך לספור. האם מספרם של המספרים הזוגיים זהה למספר המספרים הטבעיים או קטן ממנו? האם ישנם כמה סוגים של אינסוף שגודלם שונה?

המתמטיקאי הגרמני גאורג קנטור (1918-1845) שהיה אבי תורת הקבוצות, חקר את השאלות האלה לעומק ומסקנותיו הצליחו לעורר את חמתם של חבריו המתמטיקאים. צפו בסרטון המצורף ותגלו דברים מפתיעים על האינסוף.

צפייה מהנה!

אחרי הפעלת הסרט תוכלו לבחור כתוביות בעברית בלחיצה על המלבן האדום שבתחתית הנגן ובחירת Hebrew.
 

ובכן, קנטור גילה שגודלה של קבוצת המספרים הטבעיים שווה לגודלה של קבוצת המספרים הזוגיים. בתורת הקבוצות, גודלה של קבוצה נקרא "עוצמה". כל קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמתה של קבוצת המספרים הטבעיים נקראת קבוצה בת מנייה. כך יוצא שהמספרים הזוגיים הם בני מנייה וכך גם המספרים האי-זוגיים, והכפולות של 10, למשל. קנטור, שאביו היה יהודי, סימן את העוצמה הזו בסימן 0א (אלף אפס), וכך זכתה האות העברית א' לתהילת עולם. עוצמת המספרים הממשיים מסומנת על ידי הסימן א', וכפי שראינו בסרטון הוכח שא' גדול מ-0א.

 

אם תרצו להרחיב את ידיעותיכם בנושא המספרים הרציונליים, המספרים האי-רציונליים וייצוגם כמספרים עשרוניים, אתם מוזמנים להציץ בפרק 2 של חוברת ההעשרה המצורף בקישור משמאל.

הסרטון הופק במסגרת פרויקט TED-ED.
שיעור: דניס ויילדפוגל; אנימציה: יוג'נבליק סטודיוס
תורגם בידי יפעת בן יעקב מצוות דוידסון און-ליין

יפעת בן יעקב
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע


הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

4 תגובות

  • אנונימי

    בגלל השאין סוף של המספרים

    בגלל השאין סוף של המספרים העשרוניים גדול מהאין סוף של המספרים הטבעיים אז חייה להיות סוף למספרים הטבעיים בכדי שקבוצה המספרים העשרוניים תהיה יוצר גדולה מקבוצת המספרים הטבעיים? וגם בגלל שהאין סוף של המספרים הרציונליים הוא יותר גדול מהאין סוף של השברים אז חייב להיות סוף לאין סוף של השברים בכדי שקבוצה המספרים הרציונליים תהיה יוצר גדולה? וגם אין סוף לא יכול לה יותר יותר גדול מאין סוף כי אין סוך הוא הקבוצה הלא הסופית הגדולה שקיימת ושום דבר לא יכול להיות יוכל לעקוף את האין סוף?

  • אנונימית

    לא הבנתי איך זה אפשרי. אינסוף

    לא הבנתי איך זה אפשרי. אינסוף הוא מקסימלי כי הוא בעצם לא מספר אלא בהגדרה שלו.... שום דבר לא יכול להיות גדול מהמקסימום!

  • עופר אחיטוב

    סוגי אינסוף

    בהרצאה ששמעתי לאחרונה על ידי פרופסור זייפמן הוזכר שאריסטו דיבר על כמה סוגי אינסוף.
    לא מצאתי בגוגל תימוכין לכך ואשמח אם תאירו את עיני.
    האם יש עוד אנשים שדיברו על הסוגים האלה לפני קנטור?

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןיפעת אדלר

    סוגי אינסוף

    כן היו מתמטיקאים לפני קנטור שדיברו על כמה סוגי אינסוף. להלן קישור למאמר שמצטט חלקים מכתביו של אריסטו על האינסוף ובהם הוא גם מדבר על כמה סוגי אינסוף. http://www.philosophie.uni-
    muenchen.de/lehreinheiten/philosophie_3/personen/hasper/verg_sem/lv_sose_2011/unendlichkeit/hasper_aris_infin.pdf כפי שניתן לראות הדיון הוא יותר פילוסופי ולא דיון מתמטי פורמלי ומדוייק. גם אוילר כתב ספר שעוסק ב"אינסוף אינסופים". שמו בתרגום לאנגלית: On the infinity of infinities of orders of the
    infinitely large and infinitely small קישור לספר:
    https://arxiv.org/pdf/0905.2254v2.pdf קנטור, שפיתח את יסודות תורת הקבוצות, איפשר להגדיר באופן פורמלי מושגים שונים ולבסס את מושג האינסוף. משפט קנטור מוכיח שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת תתי-הקבוצות שלה. המשמעות של משפט זה היא שלכל אינסוף יש אינסוף גדול ממנו.
    ומכאן נובע גם קיומם של סוגי אינסוף שונים. להלן סקירה קצרה על קנטור - "האיש שאילף את האינסוף":
    http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf בברכה,
    יפעת