קחו דף גדול וקפלו אותו לשניים במרכזו. חזרו על הפעולה שוב ושוב. כמה פעמים תוכלו לדעתכם לחזור על זה? ומה יהיה עוביו של הדף שיתקבל?
נניח שאין גבול למספר הקיפולים שאנו יכולים לבצע או לגודל הדף – כמה קיפולים כאלה נדרשים לדעתכם כדי לקבל דף שעוביו יגיע מכדור הארץ עד לירח? יש לכם הערכה? צפו בסרטון הבא וגלו אם הייתם קרובים למספר הנכון.
צפייה מהנה! אחרי הפעלת הסרטון תוכלו לבחור בכתוביות בעברית.
הסרטון תורגם בידי מארק פריהוף. מנחה: אדריאן פיאנזה, אנימציה: TED-Ed. השיעור הופק במסגרת פרויקט TED-Ed
אז כמה פעמים אפשר לקפל פיסת נייר לשניים, שוב ושוב?
נניח שיש לנו דף A4 סטנדרטי באיכות של 90 גרם למ"ר (איכות הנייר נקבעת על פי צפיפותו). אורך הדף הוא כ-300 מ"מ ועוביו כ-0.05 מ"מ. אחרי קיפול אחד אורכו יהיה 150 מ"מ ועוביו 0.1 מ"מ. אחרי הקיפול השני אורכו יהיה 75 מ"מ ועוביו 0.2 מ"מ.
אחרי הקיפול השמיני, אם בכלל תצליחו לבצע אותו, יתקבל גוש נייר שאורכו 1.17 מ"מ אבל עוביו 12.8 מ"מ. כעת עוביו גדול מאורכו ואם תנסו לקפלו תגלו שיש לו שלמות מבנית דומה לפלדה.
עד שנת 2001 הדעה הרווחת הייתה שאי אפשר לקפל דף לחצי יותר משמונה פעמים, גם אם גודלו של הנייר המקופל יהיה כגודלו של אצטדיון כדורגל. ב-2001 חלה פריצת דרך בנושא. בתיכון בפומונה שבקליפורניה קיבלו התלמידים אתגר מתמטי לפיצוח. המורה למתמטיקה הבטיח בונוס לתלמיד שיצליח לקפל נייר 12 פעמים.
תלמידה בשם בריטני גָליוון נענתה לאתגר וניסתה לקפל ניירות מסוגים שונים ומשונים, אך נכשלה. בסופו של דבר החליטה להשתמש בריקוע זהב דק ביותר שעוביו רק 0.28 מיליוניות המטר. היא התחילה בריבוע בגודל של 10*10 ס"מ. בנחישות רבה ואחרי אימונים רבים ארוכים ושימוש בסרגלים, מברשות צבע רכות ומלקחיים, הצליחה בריטני לקפל את ריקוע הזהב באמצעו 12 פעמים. התוצאה היתה ריבוע מיקרוסקופי של זהב, אבל המורה למתמטיקה שלה טען שקל מדי לקפל ריקוע זהב 12 פעמים – המטלה הייתה לקפל נייר 12 פעמים.
גליוון לא התייאשה והמשיכה לחקור את הבעיה לעומק. היא הגיעה לשני פתרונות מתמטיים.
הפתרון הראשון הוא בשיטה של קיפול לסירוגין של נייר בצורת ריבוע – פעם לאורך ופעם לרוחב. גליוון מצאה נוסחה המקשרת בין מספר הקיפולים האפשריים (n) לרוחב הנייר (w) ולעובי הנייר (t):
הפתרון השני מתייחס לקיפול בכיוון אחד בלבד. זה המקרה כשמנסים לקפל נייר צר וארוך. המתמטיקאית הצעירה מצאה נוסחה המקשרת בין מספר הקיפולים האפשריים לכיוון אחד (n) לאורך האפשרי המזערי של הנייר (l) ולעוביו (t):
$$l = {1 \over 6} \cdot \pi \cdot t \cdot (2 ^ n + 4)(2^n-1)$$
כיום המשוואות האלה קרויות משוואות גליוון, על שמה.
לפי הנוסחה השנייה, כדי לקפל בהצלחה נייר 12 פעמים צריך להתחיל עם גליל נייר שאורכו כ-1.2 ק"מ. אחרי חיפושים נרחבים מצאה בריטני נייר טואלט שהתאים למטרותיה. בינואר 2002 היא הלכה עם הוריה לקניון המקומי בפומונה, שם הם גלגלו את נייר הטואלט הענקי, סימנו את נקודת האמצע וקיפלו את הקיפול הראשון. הדבר דרש זמן רב מכיוון שהדרך מקצה אחד לקצה השני היתה ארוכה. לאחר מכן היא קיפלה את הנייר פעם שנייה, ושלישית...
בתום שבע שעות קיפלה בריטני גליוון את הקיפול ה-11 וקיבלה גוש ברוחב של כ-80 ס"מ ובגובה של 40 ס"מ. היא הצטלמה עם הגוש (תוכלו לראות את התמונה כאן) ואז קיפלה אותו פעם אחת נוספת וקיבלה את נקודות הבונוס המובטחות במתמטיקה.
גליוון תיארה את מחקריה בספרון בן 40 עמודים בשם "איך לקפל נייר באמצע 12 פעמים: 'אתגר בלתי אפשרי' פתור ומוסבר". והיא סיכמה שם, "העולם היה מקום נפלא אחרי שקיפלתי את הקיפול ה-12."
וכך שברה תלמידת תיכון מוסכמות, ובנוסף שברה ביום אחד את שיא קיפולי הנייר ל-9, 10, 11 ו-12 פעמים.
אילוסטרציה: שאטרסטוק
ובכן... כנראה בכל זאת לא נגיע לירח באמצעות קיפולי נייר. חזרה, אם כך, לכדור הארץ. בסרטון ראינו שגידול מעריכי צומח במהירות מסחררת. גם בחיי היומיום אנו נתקלים בגידול מעריכי. לדוגמה, אם תראו בעיתון הצעה מפתה להלוואה בריבית של 10 אחוז בחודש בלי ערבים ובלי ביטחונות, האם ההצעה אכן מפתה כמו שהיא נשמעת? הבה נבדוק מה קורה להלוואה של אלף שקלים.
אחרי חודש נצטרך להחזיר את הסכום המקורי + 10 אחוזים, כלומר, 1.1 של הסכום המקורי. במילים אחרות, בכל חודש ההלוואה תגדל פי 1.1, וזהו גידול מערכי.
אחרי חודש אחד הסכום יהיה 1.1*1,000 שקלים, שהם 1,100 שקלים. לא נורא. נכון?
אחרי חודשיים הסכום יהיה 1.1*1.1*1,000 שקלים, שהם 1,210 שקלים.
אחרי שלושה חודשים: 1.13*1,000 שקלים, שהם 1,331 שקלים
אחרי שנה (12 חודשים): 1.112 *1,000 שקלים, שהם 3,138.4 שקלים.
אחרי שנתיים (24 חודשים): 1.124*1,000 שקלים, שהם 9,849.7 שקלים.
אחרי חמש שנים (60 חודשים): 1.160*1,000 שקלים, שהם 304,481.6 שקלים.
כלומר אחרי שנה הסכום גדל פי שלושה, אחרי שנתיים כמעט פי עשרה, ואחרי חמש שנים האדם שלקח הלוואה של אלף שקלים יצטרך להחזיר 304 אלף שקלים – יותר מפי 300. נשמע הרבה פחות מפתה. לא?
עדכון: השיא נשבר והוא כיום עומד על 13 קיפולים.
יפעת בן יעקב וד"ר סבינה סגרה
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.
