אם אתם נוהגים להשתתף בפסטיבלים של מוזיקה אתם מכירים בוודאי מקרוב את הבעיה הכאובה (והריחנית) הבאה: אתם צריכים להתפנות, ומנסים לבחור ברע במיעוטו. אל חשש - המתמטיקה כאן לרשותכם!
אתם בפסטיבל, כיף לכם. פתאום "הטבע קורא" לכם להתפנות. כעת אתם ניצבים מול שורה ארוכה של תאי שירותים. עליכם לזהות את הרע במיעוטו – אבל איזו אסטרטרגיה תיתן לכם סיכוי גבוה לבחור את הכי נקי, בלי שתצטרכו לעבור על כל שורת התאים?
הסרטון הבא יספק את התשובה המתמטית לשאלה המאתגרת (תורגם ע"י צוות תקשורת המדע):
בעיית המזכירה
בעיית השירותים ידועה דווקא כ"בעיית המזכירה". הבעיה פשוטה לניסוח, ולמרות שיש לה פיתרון קל, הוא גם מעניין ומפתיע למדי. הניסוח המדויק של הבעיה הוא:
ייש לנו n מועמדים. ההנחות הבאות מתקיימות:
- קיים סדר עדיפות שלפיו מדורגים המועמדים, מהטוב ביותר לגרוע ביותר, ואין שני מועמדים עם דירוג זהה.
- המועמדים מגיעים זה אחרי זה וסדר הגעתם אקראי.
- כשמועמד מגיע אנחנו יכולים לקבוע את דירוגו רק יחסית למועמדים שכבר ראינו. איננו יכולים לקבוע את דירוגו המוחלט.
- מטרתנו היא לבחור את המועמד הטוב ביותר. איננו מתפשרים על פחות מהטוב ביותר.
- אם דחינו מועמד, איננו יכולים להתחרט ולבחור בו בכל זאת.
- מספר המועמדים n הוא ידוע מראש.
אין ספק שההנחות שלנו לא מציאותיות, אך הבעיה הזו משמשת הקדמה נחמדה לתורת ההחלטות. מהי האסטרטגיה האופטימלית? מה ההסתברות למצוא את המועמד המיטבי כשאנחנו משתמשים באסטרטגיה הזאת? מה קורה לאסטרטגיה ולהסתברות ההצלחה ככל ש-n גדל?
בסרטון בחרה ד"ר סימונדס באסטרטגיה הבאה: היא בחנה 37 אחוז מהמועמדים בלי לבחור את אף אחד מהם. לאחר מכן נבחר את המועמד הראשון שיהיה טוב יותר מכל המועמדים שראינו עד בואו.
המספר 0.37 הוא למעשה קירוב למספר .1/e המספר הזה הוא גם שיעור המועמדים שעלינו לבדוק לפני שאנחנו מתחילים לבחור מועמד וגם ההסתברות שנבחר במועמד האופטימלי. איך הגענו למספר הזה?
תוכלו לצפות בפירוט המתמטי בסרטון ההמשך של ד"ר סימונדס (אנגלית):
