בבלוגים הקודמים (75, 76, 77) עוררנו שאלות רבות על מספרים קסומים שונים ומשונים וחלקן נותרו פתוחות. עכשיו הגיעה השעה לפתור אותן. נתחיל בהצגה נוספת של מערכת המשוואות המופלאה היוצרת פתרונות סימטריים ונשאל מה יוצר את הסימטריה הזאת והאם היא מתקיימת בכל תנאי?
סביר להניח שתלמידים של היום יתקשו לענות על השאלה, אך לפני 50 שנה כל תלמיד ערני היה עונה עליה בקלות, פשוט משום שאז לא היו להם מחשבונים. באותם ימי קדם פרימיטיביים נאלצו התלמידים לבצע במו ידיהם פעולות של כפל ארוך, מול עיניהם הרואות, כך שמה שראה תלמיד פרימיטיבי באופן יומיומי, התלמידים המתוחכמים של היום כבר לא מכירים כלל!
כדי לא להסתבך, נבחר בדוגמה פשוטה יחסית:
111
*
111
--------
111
111
111
-------------
1 2 3 2 1
אפשר לראות בבירור שטורי האחדות גדלים בקפיצות של 1, מגיעים לשיא השווה לאורך המספר שהעלינו בריבוע (בדוגמה הוא 3), ואחרי כן יורדים בהדרגה. כך יקרה בכל אורך. בטבלה אנחנו מגיעים עד 9, אך מה יקרה אם האורך יהיה 10?
לפנינו שתי אפשרויות:
הראשונה, אם נרצה לשמור על התבנית, היא לעבור לבסיס גדול מ-10, ואז "10" ישמש סמל לספרה נוספת שהתוצאה תטפס אליה ואז תרד שוב באותה תבנית סימטרית ויפה.
האפשרות השנייה היא להישאר בבסיס המקורי. נדגים מה קורה בעזרת הדוגמה שהבאנו לעיל, של 1112. הספרה הגדולה ביותר בדוגמה הזו היא 3, ולכן עבור כל בסיס הגדול מ-3 לא נצטרך לשנות את הכתוב אלא רק לפרש אותו בשפת הבסיס שבחרנו. לדוגמה, בבסיס 4 ערכו העשרוני של 111 הוא 21 ובריבוע: 441, והתוצאה בבסיס 4 היא 12321 (הוכחה: 1*256+2*64+3*16+2*4+1=441). אך אם הבסיס הוא 3 אנחנו יכולים להשתמש רק בספרות 0, 1 ו-2, ובמקום הביטוי הסימטרי 12321 נקבל 20021. לו היינו בוחרים בבסיס 2, התוצאה הייתה 110001.
לכן הכלל הוא שהתוצאה של העלאה בריבוע של ביטוי הכתוב באחדות ואורכוn היא ביטוי סימטרי באורך 2n-1 כל עוד הבסיס גדול מn-. אם הבסיס קטן מ-nאו שווה לו, הסימטריה תנוח על משכבה בשלום ותחדל להתקיים.
עכשיו נפתור את הקושייה השניה: מה סוד קסמו של המספר 9 בבסיס העשרוני? והאם יש מספרים קסומים שונים בבסיסים שונים?
נזכיר: בבסיס העשרוני כל מספר מתחלק ב-9 אם ורק אם סכום ספרותיו מתחלק ב-9.
הראינו בבלוגים קודמים שהדבר נכון גם לבסיסים נוספים. בבסיס 37, למשל, סכום ספרותיו של הביטוי 81 הוא 9, וערכו העשרוני הוא 297, שאכן מתחלק ב-9. מהו הסוד?
ובכן, הסוד הוא שהמספר 9 אינו מיוחד ושאותו "סוד" נכון לכל a-1 בבסיס a, כפי שהוא נכון ל-9 בבסיס 10. הסיבה לכך שיכולנו להראות את זה גם בבסיס 37 היא העובדה ש-36 מתחלק ב-9, והכלל נכון גם לכל מחלקי a-1. מיד נוכיח את זה ונסביר מדוע זה קורה.
ההסבר נעוץ בשוויון הידוע: an-1/a-1 = an-1+an-2+…+1.
כלומר: a-1ה הוא מחלק של an-1, a-1/an-1 הוא שלם, ולכן החלוקה a-1/an תיתן שארית 1. כך נקבל ששארית של מחובר מהצורה bak היא המקדם b (על כל ak השארית היא 1, ולכן עבור b כפולות כאלו השארית היא b. לדוגמה, השארית של 13/3 היא 1 והשארית של 26/3 היא 2).
נמשיך: אם ביטוי הוא סכום ביטויים, אז סכום השאריות של הביטויים שווה לשארית הביטוי הכולל. למשל ערך הביטוי 234 בבסיס 10 הוא 2*102+3*10+4, ולכן שאריתו בחלוקה ל-9 תהיה פשוט סכום המקדמים 2+3+4=9, כי כפי שהסברנו קודם, עבור כל bak השארית היא b. יוצא שאם סכום הספרות מתחלק ב-9 אז גם סכום השאריות מתחלק ב-9, ואם שארית הביטוי מתחלקת ב-9 אז מובן שהביטוי עצמו מתחלק ב-9 (ובעצם אין שארית...).
כל זה נכון לא רק ל-9 בבסיס 10, אלא לכל a-1 בבסיס a.
לגבי מחלקי a-1: יהי k המחלק את a-1. נסמן a-1=km, אזי לפי השוויון הידוע
an-1/km=(an-1+an-2+…+1) ולכן an-1/k=m(an-1+an-2+…+1). כפי שהסברנו קודם, החלוקה an/ k תיתן שארית 1, ולכן מספר שסכום ספרותיו מתחלק ב-k (שהוא מחלק של n) יתחלק גם הוא ב-k.
דוגמאות:
עבור בסיס 37, הכלל יחול על שמונת המחלקים של 36: 0=36 ,2,3,4,6,9,12,18
עבור בסיס 8 הוא יחול רק על המספר 7, שהוא ראשוני ולכן אין לו מחלקים.
במספר 234, סכום המקדמים הוא 2+3+4=9, ולכן אם נבחר את הבסיסa=37 ונציב אותו בביטוי, התוצאה תתחלק ב-9 ולכן גם ב-3, שהם מחלקים של 36. אבל אם נבחר את הבסיס 8, הערך לא יתחלק ב-7 כי השארית של 9 לגבי 7 אינה אפס. בידקו והיווכחו.
אמנון זקוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק, או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בשמחה.
