נתבונן בציר האינסופי של המספרים הממשיים. במבט ראשון נדמה שאין בתבל יצורים דמוקרטיים ושוויוניים יותר מההמון הזה, הצפוף כסרדינים, ושכל מספר דומה לרעהו. גם אם נסמן ביניהם את אינסוף המספרים השלמים, השוויוניות תשגשג. אך השקט הזה ישרור רק עד הרגע הטראומטי שבו ננחית עליהם פעולות מתמטיות! לפתע פתאום יתחולל כאוס שלעומתו מהומת האלוהים בכנסת אינה אלא מוזיקת לילה חרישית! נגלה אינסוף מפלגות יריבות לוחמות האחת ברעותה: רציונליים מול אי-רציונליים, שלמים מול שברים, חיוביים מול שליליים, זוגיים מול אי-זוגיים. כל מפלגה מתפלגת לשפע של סיעות. השלמים, לאלה המתחלקים ב-1, 2, 3, 4... אינסוף סיעות! וכדי שהמבוכה תהיה מושלמת, כמעט כל מספר חבר בכמה סיעות שונות, לדוגמה: 12 חבר בסיעות החלוקה הבאות: 2, 3, 4, 6, 12, ורק המספרים הראשוניים, ה"סנובים", חברים בסיעת יחיד של עצמם (בקטגוריית "סיעות החלוקה"). 

האם נוכל להוציא מכל הסבך הזה קבוצה קטנה של מספרים שעליהם נוכל לאמר: אלה מיוחדים שבמיוחדים ואין דומה להם?

נבהיר: כל מספר שונה מרעהו במובנים רבים (בראש ובראשונה הגודל שלהם שונה), אך שוני שמאפיין כל איבר אינו קנה מידה ראוי למיוחדות. אנו מחפשים תכונה ייחודית למספר שאינה קיימת במספרים אחרים.

נתחיל בדוגמה הטבעית ביותר: המספר 10 משמש בסיס לשיטה העשרונית. האם העובדה הזו מעידה על מיוחדותו?

ודאי שלא! הרי קיימים בסיסים רבים. למשל הבסיס 2 שולט ביד רמה בפעולות הנעשות במחשב. בעיקרון אנו יכולים לבחור כבסיס בכל מספר הגדול מאפס, ואפילו במספר לא שלם ולא רציונלי, המפורסם שבהם, שחשיבותו עצומה, הוא e=2.718…. ועוד נחזור אליו בבלוגים הבאים.

אבל מיוחדותו של 10 קיימת, ואינה נובעת מעצם הבחירה בו כבסיס, אלא בגלל תכונה שנראית ייחודית רק לבסיס 10: כל מספר שלם שסכום ספרותיו מתחלק ב-3 או ב-9 מתחלק בו בהתאמה ב-3 או ב-9! קל לראות שהכלל הזה אינו תקף לגבי בסיס 11, למשל. הביטוי 18 בבסיס זה, ערכו (בבסיס 10) הוא 19, וסכום ספרותיו הוא 9, אך הוא אינו מתחלק לא ב-3 ולא ב-9. למעשה, אם נבדוק את הביטוי 18 נגלה שבאף אחד מהבסיסים 18-11 הוא אינו מתחלק ב-9.

אם כך, אולי לא 10 הוא הייחודי אלא 3 ו-9?

נסו לחשוב מי פה ייחודי, ואולי אינו "פה" אלא "שם". והשאלה היא: היכן מצוי ה"שם"?
התשובה – שאולי תפתיע חלק מכם – בבלוג הבא.

אמנון זקוב



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק, או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בשמחה.

0 תגובות