אביגיל ופנינה, שתי חברות שסיימו את התיכון יחד, נפגשו כעבור שנים והעלו זיכרונות מכל מה שלמדו יחד.
אמרה אביגיל, "אני זוכרת הכל ממש במעורפל. לדוגמה, אני זוכרת שלמדנו איך לחבר שברים אבל לא זוכרת איך עושים את זה".
ענתה פנינה, "גם אני לא זוכרת נוסחאות, אבל אני זוכרת איך חושבים בצורה מתמטית. אני זוכרת איך כופלים שברים, ולכן לפי דעתי כל שעלינו לעשות הוא להשתמש באנלוגיה – להחליף את סימן הכפל בסימן החיבור ונמצא את הנוסחה לחיבור שברים.
הנוסחה לכפל שברים היא: a/b*c/d=ac/bd, לכן נוסחת חיבור השברים היא כנראה: (a/b+c/d=(a+c)/(b+d”.
"נראה לי שאת טועה, אף על פי שזה נשמע הגיוני", פקפקה אביגיל. "אני נזכרת כעת במטושטש שהנוסחה הייתה מוזרה ומורכבת יותר. נראה לי משהו כזה: a/b+c/d=(ad+bc)/bd”.
כיוון שלא הגיעו להסכמה החליטו אביגיל ופנינה לפנות לרחל, שהייתה המצטיינת של הכיתה, כדי שתכריע בין הגרסאות. רחל חייכה ואמרה, "במדעי הטבע בודקים את הנוסחאות בעזרת ניסויים. הבה נבחר באופן מקרי את ערכי ארבעת האותיות ונבדוק. נבחר למשל את הערכים האלו: a=1, b=2, c=-9, d=6”.
השתיים חישבו:
בנוסחה הראשונה: 1-=(2+6)/(9-+1)
בנוסחה השנייה: 1-= 12/(6-18)
"אותה תוצאה!” אמרה אביגיל בשמחה. "המשוואות שלנו שקולות!"
"לא הייתי ממהרת להסיק מסקנות מניסוי יחיד", חייכה רחל. "הבה נעשה ניסוי נוסף: הפעם את תבחרי את a ו-b, ואני את c ו-d".
וכך עשו: אביגיל בחרה ב-a=-3 ו-b=8, ורחל בחרה ב-c=24 ו-d=27. לאחר מכן הציבו בנוסחאות ואכן התוצאה שוב הייתה זהה: ¾. (בידקו!)
"אין ספק", קבעה אביגיל. "המשוואות שקולות!"
"כדי להסיר כל ספק", הציעה רחל, "הבה נגדיל את מקריות הבחירה: אביגיל תבחר את b ו-c, פנינה תבחר את d, ואני אבחר את a", ואכן השתיים בחרו באופן שרירותי ביותר: b=10, c=12, d=5, ורחל בחרה a=48, ושוב התקבלה תוצאה זהה בשתי הנוסחאות: 4.
"אין ספק" הצהירה הפעם פנינה. "שתי המשוואות שקולות ואמיתיות. בחירת הערכים הייתה כל כך מקרית והתוצאות תמיד שוות. שלושה ניסיונות כאלו היו משכנעים כל חוקר מדעי הטבע".
רחל חייכה: "נראה שכן, אבל יש כמה שאלות שיש לשאול:
א) האם הדוגמאות באמת היו מקריות?
ב) האם ההנחה ששתי המשוואות שקולות משמעה שהן אמיתיות?
ג) האם המשוואות אכן שקולות?
ד) האם המתמטיקה דומה לשאר מדעי הטבע, או שאולי היא דורשת קריטריונים יותר חמורים לפני שמכריזים בה על משפט כמשפט אמיתי?"
חישבו על השאלות האלה בהקשר לדוגמאות שהובאו כאן, ונמשיך בדיון בבלוג הבא.
אמנון ז'קוב
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק, או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. התעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בשמחה.
