אבן, נייר ומספריים

"אבן, נייר ומספריים, המנצח בין השתיים – אחת, שתיים, שלוש!" מי מאיתנו לא שיחק במשחק הזה בילדותו. בוודאי לא דמיינו לעצמנו שמאחורי המשחק הזה מסתתר עיקרון מתמטי חשוב, שיש לו משמעות אפילו בנושא אקטואלי כמו בחירות!

חוקי המשחק - שני ילדים מתחרים עומדים זה מול זה וכל ילד יכול ליצור בכף ידו אחת משלוש צורות:

• אבן – הילד מאגרף את כף ידו.
• נייר – הילד פורש את כף ידו.
• מספריים – הילד מושיט קדימה שתי אצבעות בצורה של מספריים.

סופרים עד שלוש וכל ילד בוחר באיזו צורה להשתמש. לאחר מכן מסתכלים באיזו צורה בחר כל ילד ולפי זה רואים מי ניצח.

• אם שני הילדים בחרו באותה צורה, אין מנצח. התוצאה היא תיקו).
• אם אחד בחר בנייר והשני במספריים, בעל המספריים מנצח (המספריים גוזרים את הנייר).
• אם אחד בוחר בנייר והשני באבן, בעל הנייר מנצח (הנייר עוטף את האבן).
• אם אחד בוחר באבן והשני במספריים, בעל האבן מנצח (האבן שוברת את המספריים).

אחת התכונות המעניינות של משחק זה היא שיש בו מערכת יחסים מעגלית בין השחקנים: אבן מנצחת מספריים, מספריים מנצחים נייר ונייר מנצח אבן. מערכת יחסים מעגלית מכונה בשפה מתמטית מערכת יחסים לא טרנזיטיביים.

יחסים לא טרנזיטיביים הם רק סוג אחד של יחסים. סוג אחר הוא היחס הטרנזיטיבי, שבו אם שחקן א' מנצח את ב' ושחקן ב' מנצח את ג', אזי ברור שגם שחקן א' מנצח את ג'. סיטואציה כזאת יכולה להתרחש למשל כששלושה אנשים זורקים קובייה והמנצח הוא זה שקיבל את המספר הגבוה יותר.

יש אליפות

נחזור למשחק "אבן, נייר ומספריים" ונשאל את השאלה הבאה: נניח ששלושה חברים משחקים את המשחק מספר רב של פעמים ברצף. איך יסתיים רצף המשחקים? התשובה די ברורה – אם היריבים מכירים זה את זה טוב מספיק ועוקבים אחרי התגובות של יריביהם, סביר להניח שלאחר זמן רב, בממוצע,  המשחקים יסתיימו בתיקו – כלומר, כל אחד מהשחקנים ינצח מספר דומה של משחקים.

למרות זאת, המשחק הפך ללהיט גדול עד כדי כך שהוקם ארגון בינלאומי שמארגן תחרויות "אבן, נייר, מספריים" רשמיות! האליפות הקרובה צפויה להתקיים במהלך חודש יוני. בשנה שעברה זכתה בה האמריקאית אנדריאה פרינה.

מתמטיקאים חיפשו דרך להוסיף עניין למשחק. הם החליטו להרחיב את המשחק בכך שיוסיפו לו גורמים נוספים, נוסף על השולשה המוכרים (אבן, נייר ומספריים). שני הגורמים שהוספו כונו לטאה ו"ספוק", על שם דמות נערצת מתוכנית הטלוויזיה הפופולרית הוותיקה "מסע בין כוכבים".

כללי המשחק החדש הם:

• מספריים מנצחים נייר.
• נייר מנצח אבן.
•  לטאה מנצחת את ספוק.
• ספוק מנצח מספריים.
• מספריים מנצחים לטאה.
• לטאה מנצחת נייר.
• נייר מנצח את ספוק.
• ספוק מנצח אבן.
• אבן  מנצחת מספריים.

הגרף הבא מתאר את כללי המשחק. כאשר גורם אחד מנצח גורם אחר, החץ מופנה לכיוון המפסיד.

עקב ריבוי האפשרויות, הרבה יותר קשה לשחק אבן, נייר, מספריים, לטאה, ספוק. ואם בכל זאת מצליחים, יש הרחבות גם למשחקים שיש בהם 15 ואפילו 25 דמויות ססגוניות!

צירופים מכריעים

דוגמה נוספת למערכת יחסים לא טרנזיטיביים היא משחק בקוביות שממוספרות באופן מיוחד. קוביות המשחק האלו מכונות "קוביות אפרון", על שם הסטטיסטיקאי האמריקאי ברדלי אפרון שהמציא אותן. בהמשך נסביר איך ממספרים את הקוביות, אך ראשית נפרט את כללי המשחק:

• נותנים ליריב לבחור קובייה
• בוחרים באחת מהקוביות הנותרות.
• שני השחקנים זורקים, כל אחד את הקובייה שלו, וזה שקיבל מספר גבוה יותר מנצח.

כשמשחקים את המשחק בקוביות רגילות, לכל שחקן יש סיכוי שווה לנצח במשחק (50 אחוז), כך שבסדרה של 12 משחקים כל שחקן ינצח שישה משחקים בממוצע. אך אם ממספרים את הקוביות באופן מיוחד, אפשר לשנות את הסיכויים לנצח במשחק לטובת אחד השחקנים, כך שבסדרה של 12 משחקים רצופים או יותר אותו שחקן ינצח כמעט תמיד בסדרה כולה. כל שהשחקן צריך לעשות הוא לבחור בקובייה הנכונה.

נראה דוגמה עם ארבע קוביות:

נראה מהם סיכויי הניצחון של אחד מזוגות הקוביות. בשורה הראשונה פרושה הקובייה הראשונה ובעמודה הראשונה פרושה הקובייה השנייה. בתוך הטבלה רשום איזו קובייה תנצח לפי המספר שמופיע בשורה ובעמודה המתאימים.

קובייה א' מול קובייה ב':

מהטבלה אפשר לראות שמתוך 36 המצבים האפשריים, ב-24 מקרים קובייה א' מנצחת ורק ב-12 מקרים קובייה ב' מנצחת, לכן אנו מגדירים את היחס בין שתי הקוביות כניצחון של קובייה א'. בפועל זה אומר שהסיכוי של מי שבוחר בקובייה א' לנצח הוא שני שליש, לכן אם שחקן אחד בחר בקובייה א' והשני בקובייה ב', השחקן שבחר בקובייה א' ינצח בממוצע בשמונה משחקים מסדרה של 12 משחקים.

המיוחד בקוביות אפרון הוא שאם נבחר את קובייה ב' מול קובייה ג' נמצא בדיוק אותו דבר – קובייה ב' מנצחת את קובייה ג' ב-24 מקרים מתוך 36. אם נבחר בקובייה ג' מול קובייה ד' נמצא גם כאן בדיוק אותו דבר – קובייה ג' מנצחת את קובייה ד' ב-24 מקרים מתוך 36. ולבסוף, אם נשחק בקובייה ד' מול קובייה א' נמצא שקובייה ד' מנצחת את קובייה א' שוב ב-24 מתוך 36 מקרים.

קוביות אפרון, אם כן, מתייחסות זו לזו באופן לא-טרנזיטיבי - א' מנצחת את ב', שמנצחת את ג', שמנצחת את ד', שמנצחת את א', ותמיד הניצחון הוא באותו סיכוי של שני שליש.

פרדוקס הבחירות

יחסים לא טרנזיטיביים יכולים ליצור גם פרדוקסים בעייתיים. אחד המפורסמים שבהם הוא פרדוקס הבחירות, שמיוחס למרקיז דה-קונדורסט. נתבונן בטבלה הבאה, המראה תוצאות התמודדות בין שלושה מועמדים לראשות מפלגה, עמי, רמי ותמי:

הבוחרים התבקשו לדרג את המועמדים לפי סדר עדיפות, וכך הם אכן עשו. בשורות שבטבלה מצוין מה אחוז האוכלוסייה שבחר בסדר העדיפות המתואר באותה שורה. כך, השורה הראשונה מראה ששליש מהבוחרים מעדיפים את המועמדים בסדר הבא: עמי, רמי ותמי. השורה השנייה מראה ששליש אחר מעדיפים את המועמדים בסדר הבא: רמי, תמי ועמי. ובשורה השלישית שליש מהבוחרים מעדיפים את תמי לפני עמי ורמי, בסדר הזה.

עיון בטבלה מלמד אותנו דבר מעניין ביותר: אילו היה עמי מתמודד מול רמי לבדו, ברור לגמרי ששני שליש מהאוכלוסייה מעדיפים אותו (כדי לראות זאת פשוט מחקו את השם תמי מהטבלה ותראו שעמי מקדים את רמי פעמיים מתוך השלוש). אילו רמי היה מתמודד מול תמי לבדו, רמי היה זוכה להעדפתה מצד שני שליש מהבוחרים. אך אם תמי מתמודדת מול עמי, שני שליש מהאוכלוסייה יעדיפו אותה על פניו.

אז את מי באמת רוצים הבוחרים? הרי עמי מנצח את רמי, שמנצח את תמי, שמנצחת את עמי. פרדוקס הבחירות היא עוד דוגמה למערכת יחסים לא-טרנזיטיביים.

הסימפסונס

לא נוכל לסיים טור בנושא "אבן, נייר ומספריים" בלי להזכיר שגם המשפחה המצוירת מסדרת הטלוויזיה "משפחת סימפסון" התייחסה למשחק. באחת התוכניות כתבו ליסה ובארט ביחד תסריט לסרט והם מנסים להחליט מי מה יופיע ראשון ברשימת כותבי התסריט. הנה תרגום חופשי של הדו-שיח ביניהם:

ליסה: "תראה בארט, יש דרך אחת בלבד ליישב את זה: אבן, נייר ומספריים". ליסה מהרהרת. "בארט כל כך צפוי. הוא תמיד יבחר 'אבן'".

במקביל בארט חושב, "אבחר 'אבן'. אבן היא הכי חזקה ושום דבר לא ינצח אותה!" בארט מושיט יד פרושה: "אבן!" ליסה מאגרפת את ידה: "נייר!"

בארט: "אוף!"