שורש המילה "הגדרה" הוא "גדר". הפסל "הגדרת פירמידה" של אהוד פקר, שמוצג במוזיאון תל אביב, מראה את גדרות הפירמידה שיצר. הפירמידה הזו עשויה מאוויר ונמצאת בעצם ברווחים שבין שני חלקי הפסל. יש מי שחושב שפירמידה "אווירית" כזו נראית משוכללת יותר מפירמידה חומרית, ואכן הפירמידה בתצוגה של פקר היא פירמידה משולשת משוכללת: ארבעון משוכלל, או "טטרהדרון" ביוונית.


הגדרת פירמידה | צילום: באדיבות משפחת האמן


ארבעון, או "טטרהדרון" ביוונית | תרשים: קיאל אנדרה, ויקיפדיה

אם ברצונכן להעמיק או לרענן את הידע שלכם על צורות הנדסיות, אתם מוזמנים לצפות בפרק השני של סדרת הסרטונים "ממדים".

הארבעון המשוכלל הוא אחד מחמשת הגופים האפלטוניים שנקראים גם פאונים משוכללים. פאון משוכלל הוא גוף קמור המוגבל על ידי מצולעים משוכללים, כך שבכל קודקוד שלו נפגש מספר שווה של צלעות, ולכל פאה יש מספר שווה של פאות שצמודות לה.

ארבעון קובייה תמניון דודקהדרון איקוסהדרון

חמשת הגופים האפלטוניים | תרשים: קיאל אנדרה, ויקיפדיה

אפלטון, שכתב על הגופים הללו בדיאלוג "טימאוס", ראה בהם את שלמות היופי ואמר שהם מסמלים את ארבעת היסודות: אש, אדמה, מים ואוויר, ואת היקום כולו.

פקר רואה בעבודתו את שלושת הגופים האפלטוניים הראשונים: הארבעון, הקובייה והתמניון. צפו בסרטון שבסוף הכתבה כדי לגלות את הקובייה ואת התמניון נוסף על הארבעון שכבר ראינו. את שני הגופים האפלטוניים הנוספים: התריסרון והעשרימון, שבהם מופיע יחס הזהב, הוא רואה כקבוצה נפרדת.

בשנת 2014 תרם האמן את הפסל "הגדרת הפירמידה", העשוי מעץ לבוד ומאקריליק, למוזיאון תל אביב.

הפירמידה המשולשת המשוכללת שאפשר לדמיין בצילום למטה נמצאת בין שני פאונים בעלי צלע משותפת. ארבע פאות הפירמידה הן משולשים שווי צלעות, ששניים מהם הם גם פאות של הפאונים שביניהם נוצרת הפירמידה. שימו לב שהצלע העליונה של הארבעון היא חוט שמתוח בין קצות הפאונים.


ארבעון שמוגדר בין שני פאונים. ברקע מימין נמצא האמן

בתמונות למטה נראים הפריסה של אחד משני הפאונים שיוצרים את הארבעון והפאון עצמו (אחרי הקיפול). המלבן ABCD הצבוע בצבע חום הוא הפאה שמונחת על הקרקע. אורכי הצלעות הארוכות של המלבן (AB ו-CD) אינם חשובים להגדרת הארבעון. המשולש הכחול (ADI) הוא משולש שווה צלעות והוא קובע את אחת מפאות הארבעון.

בדמיונכם קפלו את המצולעים האפורים ואת המשולש הכחול כלפי מעלה (CD'F'G, BEC, AFGB ו-ADI), כך שהנקודות E', G' ו-G ייפגשו וייצרו קודקוד, וכך גם הנקודות I, F ו-'F.

הקישו על הפריסה כדי לצפות באנימציית הקיפול או על סמל המשקפיים לראיית תלת-ממד של אנימציה שמתאימה למשקפיים הללו (אדום-ציאן-כחול).

הקישו על שרטוט הפאון למטה כדי לפתוח חלון חדש עם תמונה אינטראקטיבית שאפשר לסובב.
בחלון החדש הזה הקישו על הכפתור הימני ביותר () ולאחר מכן תוכלו לסובב את הפאון בעזרת העכבר.

פריסת הפאונים שביניהם נוצר הארבעון


שרטוט הפאונים שמגדירים ארבעון ביניהם

להלן כמה תכונות מעניינות של הפאונים שמגדירים את הארבעון.

נניח שאורך צלעות הארבעון הוא 2 (ביחידות מתאימות). במשולש שווה צלעות שאורך צלעותיו הוא 2, הגובה הוא 3√. לכן אורך הקטע F0F הוא 3√, וכך גם אורכי הקטעים BG ו-C'G (כי BG מקביל ל-F0F).

המשולש החיצוני של הפאון (שאינו פאה של הארבעון, באיור: BEC) הוא משולש שווה שוקיים. אורך הבסיס שלו הוא 2, אורך השוקיים שלו 3√ וגובהו הוא 2√.

אם מתייחסים גם לנקודה 'E שמחלקת את אורך הבסיס BC לשניים, רואים בפסל את סדרת השורשים 1√, 2√, 3√ ו-4√. המשולש החיצוני (BEC) מאונך לקרקע. המשולש הצמוד לארבעון (ADI) אינו מאונך לקרקע, אלא נטוי.

להנאתכם, אתם מוזמנים לצפות בסרטון התרשמויות מהפסל.

לסיום, שתי שאלות לגולשים:

מהו ערך הזווית α (בפריסה למעלה מופיעה הזווית α בירוק)?

מהי הזווית בין המשולש הנטוי (ADI) לקרקע?

שני שולחי התשובות הנכונות הראשונים יזכו במשקפי תלת-ממד!

ד"ר סבינה שטוקר-סגרה
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

5 תגובות

  • רמי

    פתרון הזווית בין המשולש הנטוי (ADI) לקרקע

    נסמן את הזווית בין המשולש הנטוי (ADI) לקרקע ב- β. טענה : 54.73561=β הסבר : 1) נשתמש בסימונים של התמונה "שרטוט הפאונים שמגדירים ארבעון ביניהם" 2) מסתכלים על המשולש שהחוט (בפסל "הגדרת פירמידה") הוא צלע אחת I-I1 (אורך 2), והצלעות האחרות באורך 3√ (שורש 3) היוצאות מהקודקודים I ו- I1 לאמצע הצלע שמולן (לצלע AD). 3) גובה המשולש 2√ (שורש 2). 4) הזווית בין הצלע שאורכה 3√ (שורש שלוש) לצלע באורך 2 זהה לזווית β. נסתכל במשולש (2√ 3√ 1) ונראה כי מתקיים : 2√ = (tan (β ומכאן נקבל כי 54.73561=β מ.ש.ל

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    ניתן להקיש על השרטוט בתגובה של רמי כדי לראות אותו בחלון חדש!

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    מעולה!

    רמי - תודה רבה על הפתרון היפה. גם אתה תקבל משקפי תלת-ממד!

  • דן-1

    מהי הזווית α בין המשולש הנטוי (ADI) לקרקע?

    הסינוס של אלפא הוא מחצית שורש שלוש.כלומר אלפא שווה :60 מעלות. :)
    שנה טובה
    ו... מקווה שלא טעיתי בחישוב בראש.
    דן-1

  • מומחה מצוות מכון דוידסוןסבינה

    יפה מאוד!

    יפה מאוד! אנא שלח לנו את כתובת הדואר שלך, ונשלח לך את משקפי התלת-ממד. שנה טובה וגמר חתימה טובה, סבינה