יעקב טרכטנברג נולד בעיר אודסה שברוסיה בשנת 1888. הוא היה מהנדס מוכשר מאוד והתמנה לראש המספנות באזור מגוריו. עם עליית הקומוניזם ברוסיה בשנת 1919 הוא נאלץ לברוח לגרמניה בגלל דעותיו הפוליטיות, כמתנגד לקומוניזם.

בגרמניה חי טרכטנברג חיים שלווים והפך למומחה גדול לשפות זרות, כמו גם לפוליטיקה הרוסית של תקופתו. אך שלוותו לא האריכה ימים. כשעלו הנאצים לשלטון בגרמניה, הגולה הרוסי התנגד בכל לבו להיטלר, אף שלא היה יהודי, והפך לאויב השלטון. בסופו של דבר, אחרי שהצליח להימלא כמה פעמים מידי הנאצים, טרכטנברג נעצר ונכלא במחנה ריכוז.

שם, בתנאים קשים ובלי נייר וכלי כתיבה, המציא טרכטנברג שיטה מתמטית שמאפשרת לבצע חישובים מתמטיים בעל פה ובמהירות הבזק!

טרכטנברג החל לפתח שיטות שיאפשרו לו לחבר ולחסר מספרים גדולים בעל פה ובלי צורך בדף נייר, כלי כתיבה או מחשבון. לאחר שעלה בידו לעשות זאת הוא הרחיב את שיטותיו והחל לפתח שיטות להכפלת מספרים גדולים, וכן שיטות לביצוע חילוק מהיר ולהעלאה בחזקה במהירות הבזק. טרכטנברג עשה זאת כדי להעסיק את מוחו במקום לשקוע בייאוש מהחיים הקשים במחנה הריכוז, ובמהלך שבע שנים של מאסר כבר היו בידיו (או שמא נאמר במוחו) שיטות חישוב מהירות רבות בכל תחומי המתמטיקה.

רגעים ספורים לפני שעמדו להוציא אותו להורג הצליחה אשתו של טרכטנברג לחלץ אותו ממחנה הריכוז. אחרי תום המלחמה הוא הקים מוסד מתמטי בציריך שבשוויץ, שם החל ללמד את שיטותיו ברבים. עד מהרה התפשטה השמועה והשיטות שלו הפכו לנחלת הכלל.

שיטות טרכטנברג לחישובים בסיסיים במתמטיקה היו כה מוצלחות עד שגם אנשים שהתקשו עד אז במתמטיקה הצליחו לבצע חישובים מורכבים אחרי שלמדו את השיטה. טרכטנברג אף כתב ספר ובו הסברים על שיטותיו במתמטיקה בסיסית.

"חשבנים מהירים"

טרכטנברג עצמו לא היה הראשון שעסק בחישובים מהירים במתמטיקה. למען האמת, לכל אורך ההיסטוריה עסקו אנשים בחישובי בזק. בין המפורסמים שבהם היו המתמטיקאי גאוס, שהמציא שיטה לחיבור מהיר של טור מספרים, והמתמטיקאים המילטון ופון-נוימן.

אבל לא רק מתמטיקאים עסקו בחישובים מתמטיים במהירות הבזק. למעשה, במאה ה-19 פרחה תופעת ה"מחשבונים המהלכים"  אנשים, בדרך כלל נערים, שהיו מסוגלים לבצע חישובים מתמטיים מסובכים בתוך שניות ספורות. לא פעם "המחשבונים המהלכים" ערכו הופעות בפני קהל במעין דו-קרב מתמטי תיאטרלי. שחזור של דו-קרב כזה נערך רק לפני כשנה במכון ויצמן למדע, במסגרת סדנאות החוג הבינלאומי למתמטיקה בהתכתבות.

שני "מחשבונים מהלכים" מפורסמים כאלה היו זרח קולבורן האמריקאי וג'ורג' פארקר בידר האנגלי. קולבורן, בן ה-14 ובידר בן ה-12 אף נפגשו לדו-קרב מתמטי שנערך בתיאטרון ויקטוריאני בלונדון בשנת 1818. גם חוואי האנגלי בן המאה ה-17 בשם ג'דידיה בקסטון ניחן ביכולת מדהימה בביצוע חישובים מתמטיים מהירים בעל פה.

המפורסם בין ה"מחשבוניים המהלכים" הוא ללא ספק אלכסנדר קרייג אייתקין, שהיה פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת אדינבורו בסקוטלנד עד למותו בשנת 1967. בין השאר ידע קרייג להכפיל מספרים גדולים מאוד בלי הנד עפעף. תוך שתי דקות וחצי הוא היה מדקלם בדיוק מלא את אלף הספרות הראשונות של המספר פאי – הקבוע המפורסם שמבטא את היחס שבין היקף המעגל לקוטרו.

לא לגמרי ברור איך הצליחו כל אותם "מחשבונים מהלכים" לבצע את החישובים, אך ככל הנראה מדובר בשילוב של זיכרון מפותח לשיטות עבודה מסודרות.

הדרך המהירה אל היעד

הנה למשל שיטתו של טרכטנברג לריבוע של מספרים דו ספרתיים.

1. העלו את ספרת האחדות בריבוע.
2. רשמו את ספרת האחדות של הסמפר שקיבלתם בשלב הקודם וזכרו את ספרת העשרות.
3. הכפילו את ספרת האחדות של המספר המקורי בספרת העשרות של המספר המקורי וב-2 והוסיפו את המספר שזכרתם.
4. רשמו את ספרת האחדות במספר שקיבלתם בשלב הקודם וזכרו את ספרת העשרות.
5. העלו את ספרת העשרות של המספר המקורי בריבוע והוסיפו את המספר שזכרתם. זו התוצאה המבוקשת.

דוגמא לשימוש בשיטה הזאת כדי לחשב את 872:

49=72 רשמו את 9 כספרת האחדות של התוצאה וזכרו 4.

116=112+4; 112=2*7*8 רשמו את 6 כספרת העשרות של התוצאה, וזכרו 11

75=64+11; 64=82 התוצאה היא 7,569!

לפעמים אפשר להיעזר בביטויים אלגבריים כדי לחשב ביטויים מסוימים במהירות הבזק. אחד הידועים מבין הביטויים האלה הוא:  , שבעזרתו אפשר לחשב בקלות את הביטוי: 542-462. הפתרון הוא: 800=8*100=(46-54)(46+54)=542-462.

לפעמים איננו יכולים לדעת במדויק תשובה מהירה לבעיית חישוב כלשהי, אולם ניתן להגיע למספר הדרוש בקירוב רב. דוגמה טובה לכך היא שיטה המבוססת על ניחוש. נניח שנתון לנו מספר (x) ואנו רוצים למצוא את השורש הריבועי שלו:

1. ראשית, ננחש מספר (y) שנראה לנו קרוב לתשובה האמיתית.
2. נחלק את x בניחוש (y) ונקבל מספר חדש (z).

3. ננחש מספר חדש (y1) בין (z) ו-(y) ונחלק אותו שוב ב-x.

4. אם נמשיך להפעיל תהליך זה שוב ושוב נתקרב יותר ויותר לתשובה הנכונה. בהנחה שהשורש אינו מספר שלם, לעולם לא נגיע לתשובה מדויקת לחלוטין, שכן מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית הוא אינסופי.

דוגמה: מהו השורש הריבועי של 576?

ננחש: 23.

נחלק: 576/23 ונקבל ...25.04.

ננחש שוב: 24 (מספר שהוא בין הניחוש המקורי   3, לבין תוצאת החילוק). נחלק 576/24 ונקבל 24. במקרה הזה מצאנו את השורש המדויק, שכן הוא מספר שלם!

המדען הבריטי המפורסם סר אייזק ניוטון הציע גרסה משופרת לשיטה הזו, ביחד עם עמיתו ג'וזף רפסון. הצעתם ידועה בשם "שיטת ניוטון-רפסון". במקום לנחש "סתם" מספר y1 שנמצא בין y ו-x, הם הציעו לבחור את המספר בצורה הבאה: y1=y+(x-y2)/2y. השיטה הזו ייעלה את תהליך החישוב ונמצאת עד היום בשימוש בשלל חישובים מדעיים.

לא תמיד צריך לחשב ממש את השורש. לעתים מספיק להיעזר בתכונות של השורש כדי למצוא במהירות שורש של ביטוי אלגברי מסוים, במיוחד בבעיות שמוגבלות לתחום הממשי (כלומר בעיות שבהן אנו מצהירים שאיננו מעוניינים בשורשים של מספרים שליליים). כך זה למשל בבעיה הבאה: מצא את x, אם ידוע ש-x הוא מספר ממשי, ו:  .

שני הביטויים (30-x) ו-(4+2x) צריכים להיות גדולים מאפס או שווים לאפס, ומכאן אפשר להגיע לאי-השיוויונים הבאים:

(2x+4 גדול או שווה לאפס וגם x גדול או שווה ל-2-); (x-30 גדול או שווה לאפס וגם x גדול או שווה ל-30), ומכאן ש-x=30 או x>30.

אם נניח ש-x=30, אז נקבל תשובה נכונה:  .

אם נניח ש- x>30, זה אומר ש-   וגם . אם כך, ברור ש, אבל זה סותר את מה שנתון לנו בבעיה (שסכום השורשים הללו שווים ל-8). כלומר אין למשוואה הזו פתרון אם x גדול מ-30. לפיכך התשובה הנכונה היא 30=x.

אפשר כמון לשאול אם פרט לשעשוע שבעניין, אנחנו באמת צריכים בכלל לדעת לחשב חזקות בלי שימוש במחשבון בעידן המודרני? תשובתנו היא שמחשבים ומחשבונים הם כמובן כלים שימושיים ביותר, אולם גם אותם מישהו צריך לתכנת! שיטות חישוב במהירות הבזק משמשות פעמים רבות כאלגוריתמים במחשבים ובמחשבונים לחישוב מהיר של ביטויים אלגבריים רבים, כמו חישובי שורש, לוגריתמים או חישובים טריגונומטריים. וחוץ מזה, די ברור שלימוד השיטות האלה ויישומן באופן נכון מפתח את החשיבה, ואף מהנה! (לפחות חלק מאיתנו...)

החידה ראתה אור במקור בכתב העת למדע ולמחשבה גליליאו.

יוסי ומיכל אלרן
מכון דוידסון לחינוך מדעי
מכון ויצמן למדע



הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בפורום ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.

0 תגובות