כבר נכתב בעבר במדור על משפטים שנדרשו שנים רבות להוכיח אותם, כמו משפט פרמה. למשפט פרמה ולמשפטים רבים אחרים נמצאה בסופו של דבר הוכחה, אך עדיין נותרו משפטים שלא הוכחו ושנחשבים השערות בלבד. אחד מהם הוא השערת גולדבך.
השערת גולדבך טוענת שכל מספר זוגי שגדול מ-2 אפשר להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים. לדוגמה: $8=3+5$, $14=11+3=7+7$, $22=11+11=5+17=3+19$. הטענה הזו נשמעת פשוטה ואלגנטית, אך אף אחד לא הצליח להוכיח אותה כבר כמעט 300 שנים.
תחילתו של הסיפור על השערת גולדבך בהתכתבות בין המתמטיקאי הגרמני כריסטיאן גולדבך למתמטיקאי המפורסם לאונרד אוילר בשנת 1742. בהתכתבות ביניהם העלה גולדבך כמה השערות בנוגע לכתיבת מספרים כסכום של מספרים ראשוניים. אוילר טען שכל ההשערות הללו נובעות מההשערה של גולדבך שכל מספר שלם זוגי הוא סכום של שני מספרים ראשוניים. מכיוון שבאותו זמן המספר 1 נחשב ראשוני, הטענה היתה נכונה גם עבור המספר 2, ששווה לסכום 1+1. היום אנחנו מדקדקים ומנסחים את ההשערה כך: כל מספר שלם זוגי גדול מ-2 הוא סכום של שני מספרים ראשוניים.
מכתב מגולדבך לאוילר מ-7 ביוני 1742 | תמונה: ויקיפדיה
אוילר כתב לגולדבך שהוא מאמין שההשערה נכונה אך אינו יודע איך להוכיח אותה. מתמטיקאים נוספים ניסו למצוא הוכחה ולא הצליחו, אבל כמו במקרים אחרים הניסיונות שלהם תרמו בדרכים אחרות לעולם המתמטיקה. אחת התוצאות היא הגרסה החלשה של השערת גולדבך, שלפיה כל מספר שלם אי-זוגי הגדול מ-5 הוא סכום של שלושה מספרים ראשוניים. תוצאה אחרת, שההוכחה שלה אינה מדויקת, היא נוסחה למספר הדרכים השונות שבהן אפשר לכתוב מספר שלם זוגי כסכום של שני מספרים ראשוניים. לפי הנוסחה הזו, ככל שהמספר גדול יותר עולה גם מספר הדרכים שבהן אפשר לכתוב אותו כסכום של שני מספרים ראשוניים.
התפלגות מספר הייצוגים האפשריים לכתיבת מספר זוגי (מ-4 עד 60) | תרשים: Oleg Alexandro, ויקיפדיה
הדרך להוכחה
מתמטיקאים שונים הצליחו להוכיח שהשערת גולדבך נכונה עד למספר $N$ מסוים. לדוגמה, נילס פיפינג הוכיח ב-1938 שההוכחה נכונה לכל מספר $N\leq10^5$. כמו בבעיית ארבעת הצבעים, גם כאן המחשב סייע להוכחת ההשערה. עד כה הצליח המתמטיקאי אוליביירה אה סילבה להוכיח באמצעות מחשב את ההשערה לכל $N\leq4 \times 10^{18}$.
נחזור קצת למתמטיקה שמאחורי ההשערה: השערת גולדבך שייכת לתורת המספרים, תחום במתמטיקה שעוסק בתכונותיהם של המספרים הטבעיים 1, 2, 3, ... ההשערה מתייחסת לפירוק מספרים לסכום של מספרים ראשוניים, שנחשבים אבני הבניין של עולם המספרים.
בתורת המספרים אפשר למצוא משפטים רבים שנוגעים למספרים ראשוניים. אחד מהם הוא "המשפט היסודי של האריתמטיקה", שמדבר על פירוק של מספרים למכפלת מספרים ראשוניים. לפי המשפט הזה, כל מספר טבעי $N$ גדול מ-1 אפשר להציג כמכפלה של מספרים ראשוניים, בהצגה יחידה (עד כדי סדר). לדוגמה, $24=2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$ או $2034=2 \times 3 \times 3 \times 113 = 2 \times 3^2 \times 113$.
תורת המספרים היא אחד הענפים הוותיקים בעולם המתמטיקה ושורשיה נטועים עוד ביוון העתיקה בטענות על שלשות פיתגוראיות. אפשר למצוא בענף הזה בעיות רבות שהניסוח שלהן פשוט אך ההוכחה שלהן קשה והשערת גולדבך היא אחת מהן. הוכחה להשערה תתקשו כנראה למצוא, אבל בינתיים אתם יכולים לחשוב, לשחק עם מספרים שונים ולמצוא להם פירוק לסכום של מספרים ראשוניים. מה למשל עם המספר 320? וכמה דרכים תמצאו לפירוק המספר 102?
יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע
הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.