המתמטיקה של הפרעונים

לכבוד חג הפסח המתקרב החלטנו לתת לכם כמה טעימות מהעולם המתמטי של הפרעונים במצרים.

קצת רקע על הפרעונים
"פרעה" הוא התואר של מלכי מצרים העתיקה, שנחשבו לאלים בעיני בני תקופתם. ראשיתה של מלכות מצרים העתיקה היא בסביבות שנת 3000 לפנה"ס וסופה בשנת 30 לספירה, כשמצרים הפכה לפרובינציה רומית תחת שלטונו של הקיסר אוגוסטוס. מלכות מצרים מתחלקת לכמה תקופות ושושלות. רעמסס השני, שמזוהה כפרעה מסיפור יציאת מצרים, שלט במצרים בשנים 1213-1279 לפנה"ס, לתקופה ממושכת של כ-66 שנים.

מידע רב על המתמטיקה של הפרעונים אנחנו לומדים מפפירוסים שבהם הם כתבו בעיות שהעסיקו אותם.

איך נכתבו המספרים בכתב ההירוגליפים?
בכתב ההירוגליפים המצרי, שמבוסס על ציורים של גרמי שמים, תופעות טבע, חיות, צמחים ואלים, הופיעו גם סימנים של מספרים. בתרשים הבא מופיעים הסימנים שבהם השתמשו המצרים.

את כל המספרים כתבו המצרים באמצעות הסימנים האלה. המספרים נכתבו בשני הכיוונים (משמאל לימין וגם מימין לשמאל) ולפעמים גם מלמעלה למטה. להבדיל מצורת המספור המוכרת לנו, שבה הערך המספרי של כל ספרה תלוי במקומה במספר, שיטת המספור המצרית התבססה על כפולות של המספר 10.

המצרים כתבו את המספרים כך שהסימנים עם הערך הגדול ביותר הופיעו בהתחלת המספר, ואז המשיכו בסדר יורד. נסתכל לדוגמה איך נכתב המספר 3,546. במספר הזה יש שלושה אלפים, חמש מאות, ארבע עשרות ושש יחידות, ולכן הוא נכתב כך:

שיטת הכפל המצרית
שיטת הכפל המצרית מבוססת על הכפלה חוזרת ב-2 של המספר שאותו רוצים לכפול ("המספר הנכפל") ומזכירה במידה מסוימת את שיטת "החיבור החוזר". בשיטה הזו כותבים את המספר הנכפל ליד הסימן 1 ואז מוסיפים אותו לעצמו. את התוצאה כותבים ליד הסימן 2. ממשיכים בתהליך הזה עד שמגיעים לסימן גדול יותר ממחצית המספר שבו כופלים ("המספר הכופל"). לאחר מכן מתחילים לחסר את הכפולות (1, 2, 4 וכו') מהכופל כדי למצוא איזה מספרים לחבר בשביל לקבל את התוצאה הרצויה.

נשמע מסובך? בואו נסתכל על דוגמה של הכפולה$11 \times 27$:

מה קרה כאן? בתרגיל זה בוחרים ב-27 למספר הנכפל ואת 11 למספר הכופל. 8 הוא המספר הראשון שגדול יותר מחצי של 11, ולכן תהליך הכתיבה של התרגיל נפסק בשורה הרביעית. ההפרש בין 8 ל-11 (המספר הכופל) הוא 3, ואת המספר הזה אפשר לקבל על ידי חיבור של 1 ו-2. לכן, בשביל לקבל את התוצאה הסופית של התרגיל, מחברים את התוצאות של הכופלים 8, 2 ו-1, שמהווים פירוק של המספר 11. כלומר, עושים את תרגיל החיבור הבא: 27+54+216=297 ומקבלים את התוצאה הרצויה.

נסו למצוא בשיטה זו את תוצאות הכפולות הבאות:$8 \times 19, 21 \times 23, 12 \times 24\mkern+2mu$.

בחלוף השנים התייחסו לשיטת הכפל הזו כשיטה "מגושמת ומוזרה", אבל כפי שאתם רואים היא פועלת. ככל הנראה היו למצרים שיטות אריתמטיות מתקדמות.

שברים
בשיטת הסימון שלהם המצרים סימנו רק שברי יחידה, כלומר שברים שהמונה שלהם הוא 1. יוצא דופן היה השבר $\dfrac{2}{3}$, ובמקורות מסוימים מופיע גם השבר $\dfrac{3}{4}$. במקום קו שבר השתמשו המצרים בסימון ההירוגליפי (פה פתוח) מעל המספר. למשל, המספר הבא הוא השבר $\dfrac{1}{21}$: .  בהתאם לסימון הזה, כל השברים נכתבו כסכום של שברי יחידה שונים זה מזה. לדוגמה: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\mkern+1mu$ או $\dfrac{6}{7} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{14} +\dfrac{1}{28}\mkern+2mu$.  אמנם כל שבר מהצורה $\dfrac{m}{n}\mkern+1mu$ אפשר להציג כ-$m$ חזרות של השבר  $\dfrac{1}{n}\mkern+1mu$ אבל המצרים ניסו – והצליחו – לבטא את השברים השונים כסכום של שברי יחידה שונים.

איך מוצאים ייצוג כזה? ניקח לדוגמה את השבר $\dfrac{2}{5}$ ונחפש את שבר היחידה הקטן הקרוב ביותר אליו, שהוא $\dfrac{1}{4}$. נחשב את ההפרש ביניהם:$\dfrac{2}{5}- \dfrac{1}{4} = \dfrac{8-5}{20} = \dfrac{3}{20}\mkern+2mu$. עכשיו נחפש את שבר היחידה הקטן הקרוב ביותר להפרש, שהוא $\dfrac{1} {7}$. נבדוק שוב מה ההפרש:$ \dfrac{3}{20}- \dfrac{1}{7} = \dfrac{21-20}{140} = \dfrac{1}{140}\mkern+2mu$, וקיבלנו ש: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1} {140}\mkern+2mu$.

נסו לרשום את השברים הבאים כסכום של שברי יחידה: $\dfrac{3}{11} , \dfrac{4}{15}\mkern+1mu$.

למעשה, מתברר שלייצוג השברים בשיטה המצרית יש יתרונות על פני ההצגה המוכרת לנו כיום:$\dfrac{m}{n}$. למשל, כשרוצים להשוות גודל של שברים, הרבה פעמים קל יותר להסתכל על החלוקה של כל אחד מהשברים לסכום של שברי יחידה ולהשוות ביניהם. לדוגמה, מי מהשברים הבאים גדול יותר? $\dfrac{4}{5}$ או $\dfrac{3}{4}$?
לפי שיטת השברים המצרית, $\dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\mkern+1mu$ ואילו $\dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{20}\mkern+2mu$, ולכן, קל לראות ש- $\dfrac {4}{5} > \dfrac{3}{4}\mkern+1mu$

הצגנו כאן רק טעימה קטנה מהמתמטיקה המצרית העתיקה, שיש בה עוד הרבה דברים יפים ומעניינים. שיהיה לכולם חג פסח שמח!

יעל נוריק
המחלקה להוראת המדעים
מכון ויצמן למדע

הערה לגולשים
אם אתם חושבים שההסברים אינם ברורים מספיק או אם יש לכם שאלות הקשורות לנושא, אתם מוזמנים לכתוב על כך בתגובה לכתבה זו ואנו נתייחס להערותיכם. הצעות לשיפור וביקורת בונה יתקבלו תמיד בברכה.